7.1 为什么要证明 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

北师大版2024·八年级上册第七章证明7.1为什么要证明认识证明认识证明的必要性，掌握检验数学结论的常用方法（实验、推理、举反例）。理解“仅靠特例或观察不能确定结论正确性”，学会构造反例反驳错误猜想。素养目标体会观察、猜想的局限性，理解证明的必要性，初步掌握推理、反例验证的思维方法。感悟数学结论需严谨论证，形成“实验—猜想—验证—证明”的认知模式。培养质疑意识，能通过反例或推理判断结论的正确性。壹目录肆叁贰情境导入

如果有一天有人这样告诉你：“你可以沿着一段一直向上的台阶(或楼梯)走，最终能回到出发点.”你会怎样回答?彭罗斯阶梯埃舍尔的著名版画作品《升与下降》叁叁肆叁壹情境导入问题1：两图的中间圆大小一样吗？壹问题2：观察下面图片，是运动的还是静止的？你的感悟是什么?仅仅通过观察得到的结论不一定正确.情境导入壹新知初探贰新知初探探究一：数学的结论必须经过严格的论证贰ab(1)线段

a

与线段

b

哪个比较长？(2)图中的四边形是正方形吗？问题3：aba=b探究方法：观察验证方法：实验验证观察得出的结论不一定正确是正方形新知初探贰有时候视觉受周围环境的影响，往往误导我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论.归纳总结新知初探贰问题4

如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（把地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？解：设赤道周长为

cm，则铁丝与地球赤道之间的间隙为它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.新知初探贰问题5(2)如图，在△ABC

中，点

D，E

分别是

AB，AC

的中点，连接

DE.DE

与

BC

有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.ADEBC位置关系：DE∥BC数量关系：验证方法：测量推理测量得出的几何结论不一定正确

你能肯定你的结论对所有的

△ABC

都成立吗？与同伴进行交流.新知初探贰费

马

对于所有自然数

n，

的值都是质数当

n=0，1，2，3，4时，=3，5，17，257，65537都是质数.欧

拉当

n=5时，=4294967297=641×6700417.举反例是说明数学结论错误的有效方法.大数学家也有失误新知初探贰

这个故事告诉我们：1.学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.归纳总结新知初探贰判断一个数学结论是否正确，仅靠观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步、有根有据的推理.归纳总结总结：(1)直觉有时会产生错误，不一定可信；(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；(3)少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立．新知初探贰探究二：检验数学结论的常用方法【类型一】实验验证例1

先观察再验证．(1)图①中的实线是直的还是弯曲的？(2)图②中两条线段

a与

b哪一条更长？(3)图③中的直线

AB与直线

CD

平行吗？新知初探贰解：通过观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的.(2)a更长一些.(3)AB与

DC不平行.而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的.(2)a与

b一样长.(3)AB平行于

CD.新知初探贰【类型二】推理证明例2

如图，从点

O

出发作出四条射线

OA、OB、OC、OD，已知

OA⊥OC，OB⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD

的度数；(3)由(1)、(2)你发现了什么？(4)你能肯定上述发现吗？分析：由于∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，故可根据∠BOC的度数求得∠AOB与∠COD的度数，进而归纳出两角之间的关系.新知初探贰(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；解：(1)因为

OA⊥OC，OB⊥OD，所以∠AOC＝∠BOD＝90°.所以∠BOC＝30°，所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.新知初探贰(3)由(1)、(2)你发现了什么？(4)你能肯定上述的发现吗？解：(3)发现∠AOB＝∠COD.(4)因为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠COD＋∠BOC＝∠BOD＝90°，

所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.

所以∠AOB＝∠COD.【方法总结】检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论．新知初探贰

代数式

n2

-

n+11的值是质数吗？取

n=0，1，2，3，……，10试一试，你能否由此得到结论：对于所有的自然数n，n2

-

n+11的值都是质数？n012345678910n2-n+11质数/合数11111317233141536783101质数质数质数质数质数质数质数质数质数质数质数当

n=11时，n2

-

n+11的值为121=112，所以，对于所有自然数

n，n2

-

n+11的值未必都是质数.【类型三】举出反例新知初探贰当堂达标叁1.下列结论中你能肯定的是（

）A.今天下雨，明天必然还下雨B.三个连续整数的积一定能被6整除C.小明在数学竞赛中一定能获奖D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人B当堂达标叁当堂达标2.下列判断正确的是（

）A．一个中学学校里不可能有同月同日生的同学B．若a＞b，则a2＞b2C．不论a为何值，总有a2＞0D．任何一个整数平方后的末位数字都不会是2或3D叁3.在一次1500米跑步比赛后，甲说：“丙第一，我第三”乙说：“我第一，丁第四．”丙说：“丁第二，我第三．”若每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是

(  )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁B当堂达标叁4.在学习中，小明发现：当

n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数．于是小明猜想：当

n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．解：不正确．理由：当

n＝6时，