统计决策理论

1Chp12：统计决策理论用不同方法可能得到多个不同的估计，哪个估计更好一些？统计决策理论：比较统计过程的形式化理论/sundae_meng2损失函数损失函数：度量真值与估计之间的差异损失函数举例平方误差损失绝对误差损失损失0-1损失Kullback-Leibler损失/sundae_meng3风险函数注意：估计是数据的函数，有时记为风险函数：平均损失估计的风险定义为对平方误差损失，风险为MSE风险是的函数比较不同的估计，转化为比较不同估计的风险但并不能清楚地回答哪个估计更好/sundae_meng4风险比较例12.3：令，损失函数：平方误差损失估计1：极大斯然估计：偏差bias=0，所以/sundae_meng5风险比较例12.3（续）:估计2：贝叶斯估计，先验为，则估计为风险为当时，，其中/sundae_meng6风险比较没有一个估计的风险在所有的p值都超过另外一个/sundae_meng7风险比较风险函数的两个单值概述最大风险贝叶斯风险其中为θ的先验。/sundae_meng8风险比较例12.5：最大风险函数：，所以根据最小最大风险，更好一些/sundae_meng9风险比较例12.5：贝叶斯风险：先验为当时，所以根据最小贝叶斯风险，更好一些问题：需要先验，尤其对复杂问题的话，确定先验可能很困难/sundae_meng10决策规则

(DecisionRules)决策规则是估计的别名最小化贝叶斯风险的决策规则称为贝叶斯规则或贝叶斯估计，即为对应先验f的贝叶斯估计其中下界是对所有的估计计算最小化最大风险的估计称为最小最大规则其中下界是对所有的估计计算/sundae_meng11贝叶斯估计估计的后验风险：贝叶斯风险与后验风险：其中为X的边缘分布

为最小化后验风险的θ的值则为贝叶斯估计给定一个模型（先验和似然）和损失函数，就可以找到贝叶斯规则/sundae_meng12证明：/sundae_meng13贝叶斯估计一些简单损失函数对应的贝叶斯规则若，则贝叶斯规则为后验均值若，则贝叶斯规则为后验中值若为0-1损失，则贝叶斯规则为后验众数(MAP)/sundae_meng14最小最大规则找最小最大规则、或者证明一个估计是最小最大估计是一件很困难的事情。本节主要讲述一个简单的方法：有些贝叶斯估计（风险为常数）是最小最大估计令对应先验f的贝叶斯估计：假设则

为最小最大估计，且f

称为最小受欢迎先验(leastfavorableprior)。上述结论一个简单的结论：如果一个贝叶斯规则的风险为常数，则它是最小最大估计。/sundae_meng15正态分布的最小最大规则定理12.14：令，则是关于任意损失函数的最小最大规则且这是唯一有此性质的估计/sundae_meng16MLE为近似最小最大估计对满足弱正则条件的参数模型，极大似然估计近似为最小最大估计。对均方误差损失，通常根据Cramer-Rao不等式，这是所有无偏估计的方差的下界。/sundae_meng17MLE为近似最小最大估计因此对所有估计，有对大数n，MLE为近似最小最大估计。因此，对大多数参数模型，当有大量样本时，MLE近似为最小最大估计和贝叶斯估计。ManyNormalMeans情况不成立（不是大样本）/sundae_meng18可接受性

(Admissibility)一个估计如果在θ所有值上都比其它估计的风险大，则该估计不是我们所希望的。如果存在一个其它的规则，使得则该估计是不可接受的。否则，是可接受的。/sundae_meng19贝叶斯规则是可接受性可接受性是与其他表示估计好坏的方法有何关系？在一些正则条件下，如果为贝叶斯规则且有有限风险，则它是可接受的。定理12.20：令，在均方误差损失下，是可接受的。风险为/sundae_meng20可接受性如果的风险为常数且是可接受的，则它是最小最大估计。定理12.22：令，在均方误差损失下，是最小最大估计。风险为虽然最小最大估计不能保证是可接受的，但它是“接近可接受的”。/sundae_meng21多正态均值

(ManyNormalMeans)ManyNormalMeans是一个原型问题，与一般的非参数估计问题等价。对这个问题，以前许多关于极大似然估计的正面的结论都不再满足。令，表示数据，表示未知参数，c>0，这里参数的数目与观测数据的数目一样多/sundae_meng22ManyNormalMeansMLE为，损失函数为MLE的风险为最小最大估计的风险近似为，且存在这样一个估计

能达到该风险。

存在风险比MLE更小的估计，因此MLE是不可接受的。因此对高维问题或非参数问题，MLE并不是最优估计。另外在非参数场合，MLE的鲁棒性也不是很好。/sundae_meng23底线根据这些工具，怎样选择估计呢？如果一