内蒙古包头区2025-2026学年度高一年级上学期期末教学质量检测数学试题（原卷版+解析版）

2025-2026学年度第一学期高一年级期末教学质量检测数学注意事项：1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定位置.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1.若全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.下列不等式中成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（）A. B. C. D.4.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.函数的图象如图所示.则可能是（）A. B.，C.， D.，6.已知正数满足，则的最小值为（）A.4 B. C.5 D.7.已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（）．A. B.C.或 D.8.已知，则大小关系为（）A.c>a>b B.c>b>a C.b>c>a D.a>c>b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的充分不必要条件C.“，”的否定是“，”D.命题“，”是假命题10.下列结论正确的是（

）A.若角为锐角，则角为钝角B.是第三象限角C.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为D.周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2rad11.对于任意表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A.函数的图象关于原点对称B.函数的值域为C.对于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角的终边经过点，若，则______.13.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，当，________．14.已知函数，则不等式的解集是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求值；（2）已知，，用，表示.16.（1）若，且，求的值.（2）已知，求的值.17.对于函数.（1）探索函数的单调性；并证明.（2）是否存在实数使函数为奇函数?如果存在求出值，如果不存在说明理由.18.大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．（1）假设小王将上述10万元只用于经销产品，则他能获得的收益是多少？若只用于经销产品，他的收益是多少？（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．19.若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知．（1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由；（2）若，求的最小值；（3）设函数，求证：其定义域内有且仅有两个零点．

2025-2026学年度第一学期高一年级期末教学质量检测数学注意事项：1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定位置.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1.若全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】因为，集合，所以，，则.故选：B2.下列不等式中成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】对A和C，根据条件，通过取特殊值检验，即可判断出正误；对B和D，根据条件，通过作差法，即可判断正误.【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，因为，又，则，所以，得到，所以B错误，对于C，取，显然满足，此时，不满足，所以C错误，对于D，因为，又，则，所以，得到，所以D正确，故选：D.3.用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二分法可得答案.【详解】已知

，，根据零点存在定理，函数在区间

内有零点，区间中点

，，由，，及零点存在定理知：零点位于区间

内，下一步应考察的区间为

.故选：A4.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的对称轴，依题意可得或，解得即可.【详解】函数的对称轴为，依题意或，解得或，所以实数的取值范围是.故选：C5.函数的图象如图所示.则可能是（）A. B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】用排除法和特殊值，逐一排除不符合的选项，即可得出结果.【详解】由图象过，，知不正确，由，，知不正确，由图象为曲线，是一次函数，图象为直线，知D不正确，显然该图象符合对数函数解析式.故选：A.6.已知正数满足，则的最小值为（）A.4 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为正数满足，所以，即，当且仅当时取等号，因此当时，的最小值为.故选：B7.已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（）．A. B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】由关于x的不等式的解集为或，可得到，化简，解不等式，即可求得答案.【详解】由关于x的不等式的解集为或，可知，且-2和1是方程的两根，故由根与系数的关系得，即得，又，故不等式为，即，解得，故选：B8.已知，则的大小关系为（）A.c>a>b B.c>b>a C.b>c>a D.a>c>b【答案】B【解析】【分析】由换底公式求出，对数函数单调性判断出，与分别与比较，可判断出大小关系.【详解】，，，∵，，，，，∴.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的充分不必要条件C.“，”的否定是“，”D.命题“，”是假命题【答案】ABD【解析】【分析】从充分性，必要性两个方面分析可判断AB；利用全称命题的否定规则可判断C；利用一元二次方程判别式以及存在命题的真假性可判断D.【详解】对于A选项：若

，则必有

，充分性成立；反之，若

，不一定有

（例如

且

），必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，A正确；对于B选项：若

，则

，不等式两边同乘以，得，即，充分性成立；反之，取

，满足

，但不满足

，必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，B正确；对于C选项：全称命题“”的否定应为“”，而选项给出“”，C错误；对于D选项：方程

的判别式

，无实数根，故命题“”为假，D正确.故选：ABD10.下列结论正确的是（

）A.若角为锐角，则角为钝角B.是第三象限角C.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为D.周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2rad【答案】CD【解析】【分析】利用举反例可判断A项错误；找到与终边相同的角即可判断B项；利用扇形弧长与面积公式，借助于二次函数的值域即可判断C，D两项.【详解】对于A，若取为锐角，但也是锐角，故A错误；对于B，，即与终边相同，为第二象限角，故B错误；对于C，设扇形半径为，依题，，解得，则扇形面积为，故C正确；对于D，设扇形半径为，弧长为，则，扇形面积为，故当时，扇形面积最大，此时，，扇形圆心角为rad，故D正确.故选：CD.11.对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A.函数的图象关于原点对称B.函数的值域为C.对于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】结合取整函数定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项.【详解】对于A：当时，，当时，，所以，不是奇函数，即函数图象不是关于原点对称，故A错误；对于B：由取整函数的定义知，，所以，，函数的值域为，故B正确；对于C：由取整函数的定义知，，，所以，故C正确；对于D：由得，解得，结合取整函数的定义可得，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角的终边经过点，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函数定义求值即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以，所以，故答案为：13.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，当，________．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合奇函数的性质，即可求解.【详解】当时，，因此，因为函数是定义在R上的奇函数，所以.故答案为：.14.已知函数，则不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】利用函数解析式判断的单调性，令，应用奇偶性的定义判断的奇偶性，进而确定的对称中心，再由单调性和对称性求不等式的解集.【详解】因为均在上单调递增，则也是增函数，且向左平移1个单位得，的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，所以可化为，结合单调递增可知，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求的值；（2）已知，，用，表示.【答案】（1）7；（2）【解析】【分析】（1）通过对已知条件平方，利用完全平方公式求出；（2）利用对数的换底公式与运算法则，将转化为用和表示的形式.【详解】（1）∵，两边平方得.∴.（2）.16.（1）若，且，求的值.（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的范围与三角恒等式，可求得，再对所求式子进行齐次化处理，代入运算即可；（2）根据三角函数诱导公式进行变形，代入运算即可.【详解】（1），，则.所以.（2）因为，所以.17.对于函数.（1）探索函数的单调性；并证明.（2）是否存在实数使函数为奇函数?如果存在求出值，如果不存在说明理由.【答案】（1）增函数，证明见详解；（2），理由见详解.【解析】【分析】（1）用函数单调性定义证明即可；（2）利用函数奇偶性的定义，列出方程，即可求解.【小问1详解】函数在上是增函数，证明如下：因为的定义域为，任取且，则，因为在上单调递增且，所以，即，又因为，所以，即，所以函数在上是增函数.【小问2详解】因为函数为奇函数，所以，即，即，解得，所以存在实数，使函数是奇函数.18.大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．（1）假设小王将上述10万元只用于经销产品，则他能获得的收益是多少？若只用于经销产品，他的收益是多少？（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．【答案】（1）12万元；2万元；（2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元．【解析】【分析】（1）将代入求值即可.（2）利用基本不等式与二次函数在给定区间上值域的求法，分别求分段函数的值域，再进行比较，可得答案.【小问1详解】因为投入10万元，即，若只经销商品，则所获得收益为万元；若只经销商品，则所获得的收益为万元.小问2详解】设商品投入万元，则商品投入万元，可知总收益，若，则，当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元；若，则，可知的图象开口向下，对称轴为，则，所以在上的总收益最大值小于万元；因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元．19.若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知．（1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由；（2）若，求的最小值；（3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点．【答案】（1）、是；不是，理由见解析（2）12（3）证明见详解【解析】【分析】（1）结合函数新定义逐个判断即可；（2）由（1