高等数学例题微积分及习题教学幻灯片

第四章例题及习题例1.

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为第一节例2.求解:

原式=例3.

求解:

原式=例5.

求解:

原式=例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=思考与练习1.

证明2.

若提示:提示:3.

若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??4.

求下列积分:提示:5.求不定积分解：例1.

求解:

令则故原式

=注:

当时第二节例2.

求解:令则想到公式例3.

求想到解:(直接凑微分)例4.

求解:类似例5.

求解:∴原式

=常用的几种配元形式:万能凑幂法例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=例9.

求解法1解法2两法结果一样例10.

求解法1解法2同样可证或例11.

求解:

原式=例12.

求解:例13.

求解:∴原式=例14.

求解:

原式=分析:

例15.

求解:原式小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?2.

求提示:法1法2法3例16.

求解:

令则∴原式(切记变量还原)例17.

求解:

令则∴原式例18.

求解:令则∴原式令于是原式例19.

求解:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.（倒代换）小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲2.常用基本积分公式的补充(P205)(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令解:

原式(P205公式(20))例20.

求例21.

求解:(P205公式(23))例22.

求解:

原式=(P205公式(22))例23.

求解:

原式(P205公式(22))例24.

求解:

令得原式例25.

求解:

原式令思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令2.求下列积分:3.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得分子分母同除以4.求不定积分解:令原式例1.

求解:

令则∴原式思考:

如何求提示:

令则原式第三节例2.

求解:

令则原式=思考:

如何求例3.

求解:

令则∴原式思考:

如何求例4.

求解:

令,则∴原式再令,则故原式=说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5.

求解:

令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例6.

求解:

令,则原式=例7.

求解:

令则原式令例8.

求解:原式=∴原式=例9.

求解(法一):令∴原式=例9.

求解(法二):令则∴原式=例10.

求解:

令则得递推公式说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,例11.

证明递推公式证:注:或说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,

解出积分后加

C)3)对含自然数n

的积分,通过分部积分建立递推公式.例12.

求解:令则可用表格法求多次分部积分uv求导积分例13.

求解:

令则原式原式

=例1.

将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法第四节(2)用待定系数法故对比分子系数，解得原式=（3）例2.

求解:

已知例3.

求解:

原式思考:如何求提示:变形方法同例3,并利用上一节例9.说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例4.求解:原式例5.求解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁例6.求解:

令则例7.

求解:

令则原式例8.

求解:

为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令例9.

求解:

令则原式内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.

特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,四种典型部分分式的积分:

分子变为再分项积分习题课一、求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法

第四章重点：不定积分的概念及性质、不定积分的基本公式以及不定积分的换元积分法和分部积分法。难点：不定积分的计算。一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法

第一类换元法

第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)3.分部积分法使用原则:1)由易求出v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为计算格式:列表计算例1.

求解:原式例2.

求解:原式分析:例3.

求解:原式分部积分例4.

设解:令求积分即而例5.

求解:例6.

求解:取说明:此法特别适用于如下类型的积分:例7.

设证:证明递推公式:例8.设解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换