行走的数学相遇的智慧-‘相遇问题’模型建构教学设计与实施（小学四年级数学）

行走的数学，相遇的智慧——‘相遇问题’模型建构教学设计与实施（小学四年级数学）一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数量关系”主题下，强调引导学生在具体情境中识别数量关系，用数学模型（如路程=速度×时间）解决实际问题，初步形成模型意识和应用意识。本节课的“相遇问题”，是“路程、速度、时间”三者关系综合应用的一个典型且承上启下的载体。从知识图谱看，它上承学生对速度概念及单一物体运动问题的理解，下启后续更复杂的工程问题、追及问题，是培养学生建立动态过程模型的关键节点。其认知要求已从“识记、理解”跃升至“分析、综合与应用”，要求学生能主动从复杂的生活情境中抽象出数学要素，并灵活运用数量关系进行推理和求解。从过程方法看，本节课天然蕴含了“数学建模”这一核心思想方法。教学应引导学生亲历“识别情境抽象要素建立模型解决问题解释应用”的完整建模过程，将“相遇”这一动态生活事件，逐步抽象为“速度和×时间=总路程”这一静态数学模型。在素养价值上，此过程不仅锻炼学生的逻辑推理和符号意识，更在一次次合作探索与问题求解中，培育其科学严谨的探究精神和运用数学眼光观察现实世界的理性态度。基于“以学定教”原则，对学情研判如下：学生已牢固掌握速度、时间、路程各自的含义及单一物体情境下的基本公式，具备初步的线段图绘制能力。然而，从“单一物体运动”到“两物体相对运动”的思维跨越，是普遍的认知障碍点。学生容易混淆“单个速度”与“速度和”，或对“同时出发、相向而行、相遇”等关键条件缺乏敏感性。此外，面对文字叙述的复杂情境，如何有序提取信息、将文字转化为直观图示（线段图），亦是能力上的难点。因此，教学前测将通过一个简单的动画情境，快速诊断学生对“同时、相向、相遇”等动态过程的理解程度。在教学中，我将设计多层次、可选择的探究“脚手架”，如提供情境卡片、图形化信息整理表、分步骤的线段图绘制指南等，支持不同思维风格与认知水平的学生。通过小组合作中的观察、倾听与针对性提问，动态评估学生建模进程，对理解迅速者提供变式挑战任务，对存在困难者进行“一对一”或小组内的二次讲解与图示演示，确保所有学生都能在最近发展区内获得成功体验。二、教学目标知识目标：学生能深刻理解“同时出发、相向而行、相遇”等运动状态的核心特征，并能在具体情境中准确识别。他们能主动从相遇问题中抽象出“路程和”概念，自主探索并归纳出“路程和=速度和×相遇时间”这一基本模型，并能用规范的数学语言（如“先求…，再求…，根据…关系”）解释自己的解题思路。能力目标：学生能通过合作探究，将复杂的文字情境系统性地转化为线段图，并借助线段图清晰地分析数量关系，发展“数形结合”的分析与解决问题能力。他们能在不同的相遇问题变式中（如求路程、求时间、求其中一个速度），灵活选择并应用数学模型进行准确计算，提升信息处理与逻辑推理能力。情感态度与价值观目标：在模拟演示与小组讨论中，学生能体验到数学与现实生活的紧密联系，激发主动探究的兴趣。通过协作解决挑战性问题，培养团队合作中的倾听、表达与互助精神，并在此过程中获得解决问题的成就感，增强学好数学的信心。科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的“模型建构”思维。引导他们亲历从具体生活原型（两人行走）中，通过抽象、简化、符号化，构建出普适性数学模型的全过程。同时，强化“数形结合”思维，将抽象的“速度和”“相遇时间”等概念与线段图中的直观长度、部分与整体关系建立深刻联系。评价与元认知目标：学生能够依据清晰的评价量规，对同伴绘制的线段图、列出的等量关系进行互评，并提出建设性意见。在课堂小结环节，能通过绘制思维导图反思自己的学习路径，说出“我原来以为…，现在明白了…”的认知转变，初步形成监控和调整自我学习策略的意识。三、教学重点与难点教学重点：建立并理解“路程和=速度和×相遇时间”这一相遇问题的基本数学模型，并能运用该模型解决基础的相遇求路程问题。确立此为重点，源于其在课标知识图谱中的枢纽地位。相遇问题模型是“路程、速度、时间”关系网络的深化与集成，是后续学习所有“多人运动”类复杂问题的基石。从能力立意看，掌握此模型标志着学生从解决静态、单一对象问题，向分析动态、多对象交互问题的思维跃迁，是培养学生综合运用数量关系能力的关键节点。教学难点：学生独立、准确地根据题意画出线段图，并借助线段图分析、建构数量关系。难点成因在于，这需要学生克服从“文字叙述”到“图形表征”的认知跨度。他们必须同步处理多个信息：两个物体的起点、方向、速度差异、运动结果等，并在二维线段图中进行一维线性表达。常见的错误包括线段长度与速度不匹配、未标注关键信息、对“相遇点”位置判断不清等。突破方向在于提供结构化、阶梯式的绘图引导（如先画什么、再标什么），并鼓励多样化的初始尝试，通过对比、优化，逐步掌握用线段图“翻译”和分析问题的思维工具。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含情境动画、可拖拽的人物图标与线段图工具）；实物磁性教具（两人物模型、可拼接的磁条代表路程）；课堂学习任务单（分层设计）。1.2情境与资源：准备23个贴近学生生活的相遇问题情境卡片（如上学、公园晨跑、快递配送）；设计小组合作探究记录表。2.学生准备复习速度、时间、路程的关系；准备直尺、铅笔和彩笔。3.环境布置教室座位调整为46人合作小组式；黑板分区规划，预留核心模型、学生作品展示区。五、教学过程第一、导入环节1.情境激趣，提出问题：“同学们，看！我们的两位老朋友小明和小红来了。（播放动画：两人从屏幕两端同时出发，沿同一条路面对面行走，最终在中点附近相遇）谁能用一句话描述刚才发生了什么？”学生可能回答“他们碰面了”、“他们面对面走遇到了”。教师肯定并提炼：“数学上，我们把这种‘两人同时从两地出发，面对面行走，最终碰面’的情况，叫做‘相遇’。”紧接着抛出驱动性问题：“猜一猜，在这个相遇过程中，他们两人走的路程和这条路的全长有什么关系呢？我们能不能用学过的数学知识，精准地计算出这条路的长度？”1.1唤醒旧知，明确路径：教师引导学生回顾：“要计算路程，我们需要知道哪些信息？”（速度和时间）“现在有两个人在动，信息变复杂了。这节课，我们就化身‘小小数学家’，一起来研究这个有趣的‘相遇问题’。我们将通过‘演一演’、‘画一画’、‘算一算’三个步骤，找到其中隐藏的数学规律，揭开这个谜底。”第二、新授环节任务一：模拟演示，感知“同时、相向、相遇”教师活动：邀请两名学生作为“演员”，根据教师的指令进行模拟。清晰发出指令：“请A同学站到教室左边（标记为‘小明家’），B同学站到右边（标记为‘小红家’）。请你们‘同时’出发。”强调同时。“面对面走，也就是‘相向而行’。”观察学生行走方向是否正确。“一直走到相遇为止。”待相遇后，提问全体学生：“在刚才的演示中，有哪些词是描述他们怎么走的数学关键信息？”引导学生圈出“同时”、“两地”、“相向”、“相遇”。接着追问：“他们走的时间有什么关系？”“从出发到相遇，他们各自走的路程，和这段路的全长有什么关系？”鼓励学生初步猜想。学生活动：两名学生进行模拟演示，其他学生专注观察并倾听指令。演示后，集体讨论并提炼关键动作词。思考并回答教师提问，可能说出“走的时间一样多”，“小明走的路加上小红走的路等于总路长”。即时评价标准：1.模拟演示是否准确体现了“同时”、“相向”的要求。2.观察者能否准确提炼出至少三个关键词（如同时、相向、相遇）。3.能否基于观察，初步表达出“两人路程之和等于总路程”的关系。形成知识、思维、方法清单：★核心概念澄清：“相遇问题”包含几个必备条件：同时从两地出发、相向（面对面）而行、最终相遇。▲过程性理解：从出发到相遇，两人所用的时间是相同的，这是建立等量关系的基础。●关系猜想：两人运动的路程之和，等于两地之间的总路程。这是一个基于直观感知的重要猜想，为后续建模奠基。任务二：信息整理，引入线段图直观化教师活动：呈现一个具体情境：“小明和小红同时从家出发，相向而行。小明每分钟走70米，小红每分钟走60米，4分钟后相遇。他们两家相距多少米？”提问：“信息有点多，有什么好办法可以让我们看得更清楚？”引导学生想到画图。教师示范：“我们可以用一条线段代表总路程，左边点代表小明家，右边点代表小红家。（画出线段，标端点）‘同时出发’怎么表示？（画两个箭头从两端同时出发）‘相向而行’呢？（箭头方向相对）‘4分钟后相遇’，相遇点画在哪？（让学生估计）为什么不一定在正中间？”引导学生理解速度不同，相遇点会靠近速度慢的一方。接着，在线段图上分段标注小明和小红各自走的路程。学生活动：聆听问题，思考整理信息的方法。观察教师绘制线段图的过程，理解每一部分的含义。尝试回答关于相遇点位置的问题，理解其与速度的关系。在自己的任务单上模仿绘制线段图。即时评价标准：1.绘制的线段图是否包含两个端点、两个方向相对的箭头、一个相遇点。2.是否尝试标注出速度、时间等已知信息。3.能否口头解释图中每一部分代表什么。形成知识、思维、方法清单：★核心工具引入：线段图是分析行程问题的“金钥匙”，它能将动态过程转化为静态的、可视化的几何结构。▲绘图规范要点：先画线段定总长与端点，再标方向示运动，最后定相遇点并分段。●数形结合思维：线段长度可以直观表示路程，线段的分割点（相遇点）位置隐含了速度比的信息。老师可以提示：“画图时，别忘了当个小老师，检查信息标全了没。”任务三：算法探究，从分步到综合教师活动：指着线段图引导分析：“要求总路程，也就是求整条线段的长度。从图上怎么看？”学生答：“是小明走的那段加上小红走的那段。”教师：“好，那我们先分别算算他们各走了多少米。怎么列式？”引导学生列出：70×4=280（米），60×4=240（米）。“然后再求总路程：280+240=520（米）。谁能把这两个式子合并成一个综合算式？”板书：(70×4)+(60×4)。进一步启发：“观察这个算式，有没有更简便的理解方式？可以怎样计算？”运用乘法分配律引导思考：(70+60)×4。“70+60求的是什么？”（每分钟两人靠近的距离，即“速度和”）“这个‘速度和’再乘时间4分钟，求出的又是什么？”（4分钟一共靠近的距离，也就是总路程）。学生活动：跟随教师引导，理解分步计算的意义。尝试列出分步算式和综合算式。观察综合算式，思考其算理。回答关于“速度和”意义的问题，理解“速度和×时间=总路程”的几何意义（即每分钟缩短一段距离，几分钟就缩短完全程）。即时评价标准：1.能否正确列出分步算式并计算。2.能否将分步算式转化为正确的综合算式。3.能否理解“速度和”的含义，并解释“(速度和)×时间”与总路程的关系。形成知识、思维、方法清单：★核心模型建立：相遇问题的基本数量关系是：总路程（路程和）=速度和×相遇时间。这是本节课最重要的数学模型。▲算法多样化与优化：解决问题可以先分步再综合，而“速度和×时间”是更简洁高效的核心算法。●模型理解：“速度和”表征了两人单位时间内共同推进的进度，是衡量“合作效率”的一个量。可以打比方说：“它就像两个人一起‘吃掉’这段路程的速度。”任务四：变式初探，模型初步应用教师活动：改变问题条件：“如果知道两家相距520米，小明速度70米/分，小红速度60米/分，他们同时出发，多久后会相遇？”引导学生思考：“现在求的是什么？（相遇时间）我们刚发现的模型还能用吗？怎么用？”鼓励学生利用模型逆向思考：总路程÷速度和=相遇时间。让学生尝试列式解答：520÷(70+60)。再呈现另一个变式：“如果知道总路程520米，相遇时间4分钟，和小红的速度60米/分，能求出小明的速度吗？”引导学生根据模型推导：速度和=总路程÷时间，从而小明速度=速度和小红速度。学生活动：识别问题类型的改变（求时间、求速度）。回顾核心模型，尝试进行公式变形。独立或小组合作完成两个变式问题的列式与计算。分享解题思路。即时评价标准：1.能否识别问题所求，判断是模型的哪种应用形式。2.能否正确进行公式变形并列出算式。3.计算过程是否准确。形成知识、思维、方法清单：★模型的可逆性：数学模型是双向的。已知总路程和速度和，可求时间；已知总路程和时间，可求速度和，进而求单个速度。▲问题识别策略：遇到行程问题，先判断是否属于“相遇”结构（同时、相向、相遇），再确定模型中哪个量是未知的。●代数思维萌芽：将模型视为一个等式，通过已知量求解未知量，体现了初步的方程思想。提醒学生：“看，这个模型像个万能钥匙，能打开好几把不同的锁呢。”任务五：对比归纳，结构化认知教师活动：将本节课解决的几个问题（求路程、求时间、求速度）及其算式并列呈现。组织小组讨论：“仔细观察这几个问题的解决方法，它们之间有什么共同点和联系？”引导学生发现，它们都围绕着“路程和、速度和、相遇时间”这三个量，都源于同一个基本模型。教师用思维导图或公式三角进行总结，清晰展示三者的互逆关系。学生活动：小组内观察、对比、讨论不同问题的解法。尝试用语言描述它们的共同基础。参与构建知识结构图，理解三个量的核心关系。即时评价标准：1.讨论中能否指出不同问题都使用了“速度和”这一概念。2.能否清晰表达出三个量之间的乘法、除法关系。3.小组代表汇报时逻辑是否清晰。形成知识、思维、方法清单：★知识结构化：相遇问题的知识核心是一个包含三个变量的关系组，而非孤立的公式。理解其结构比记忆公式更重要。▲数学建模的价值：建立一个好模型（如路程和=速度和×时间），可以解决一类问题，体现了数学的概括力和力量。●元认知提示：学习结束时，要尝试将新知识“打包”，纳入原有的知识体系，看看它和以前学的“速度×时间=路程”是什么关系？（是它的发展和推广）第三、当堂巩固训练1.基础层（全体必做）：直接应用模型计算。题目：甲、乙两车从相距300千米的两城同时相对开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米。几小时后两车相遇？反馈：学生独立完成，同桌交换批改。教师巡视，重点关注列式是否正确（是否用“路程和÷速度和”），收集典型正确解法进行展示，并请学生讲解。2.综合层（大多数学生完成）：在新情境中综合应用。题目：小张和小李在环形跑道（全长400米）上同时同地反向出发跑步。小张每秒跑5米，小李每秒跑3米。他们第一次相遇时，各跑了多少米？反馈：此题为相遇模型在环形路线中的应用。先小组讨论：“这还是相遇问题吗？总路程变成了什么？”引导学生理解环形跑道反向出发，第一次相遇时两人路程之和就是一圈的长度。教师提供图形化提示（环形图），请学生上台讲解解题思路，强调模型迁移能力。3.挑战层（学有余力选做）：开放探究。题目：小明和小红同时从A、B两地出发相向而行。相遇后，小明继续走到B地用了4分钟，小红继续走到A地用了9分钟。请问他们出发后多久相遇的？反馈：此题涉及比例关系，思维要求高。不要求全体掌握，作为“智慧星”挑战。提供思考提示：“相遇点把总路程分成了两部分，这两部分路程与两人速度有什么关系？”鼓励学生画图深入分析。课后可组织兴趣小组专门研讨。第四、课堂小结1.知识整合：“同学们，这节课的探索之旅就要结束了，你的‘数学行囊’里收获了哪些宝贝？”引导学生以小组为单位，用思维导图或知识树的形式，梳理本节课的核心（相遇条件、线段图工具、基本模型、变式应用）。邀请一组学生展示并讲解他们的成果。2.方法提炼：“回顾一下，我们今天是怎么一步步解决相遇问题这个新难题的？”师生共同回顾：模拟演示感知过程>画线段图整理信息>分析数量关系建立模型>应用模型解决问题>对比归纳形成结构。强调“数形结合”和“建模”思想的重要性。3.作业布置与延伸：“今天的作业有三个‘套餐’，大家可以根据自己的情况选择。”基础性作业（必做）：完成练习册上关于相遇问题求路程、求时间的基础题型各2道。拓展性作业（建议完成）：寻找一个生活中的“相遇”现象（如两列地铁在隧道中交会），尝试编一道相遇问题并解答。探究性作业（选做）：思考：如果小明和小红不是同时出发，或者不是相向而行（比如一前一后同向追逐），问题又会怎样变化？预习下节课可能的内容。六、作业设计基础性作业：1.甲、乙两艘轮船同时从上海和武汉相对开出。上海到武汉的水路长1075千米，甲船每小时行26千米，乙船每小时行17千米。几小时后两船相遇？2.两个工程队共同开凿一条隧道，同时从两端开工。一队每月开凿15米，二队每月开凿12米，10个月后隧道打通。这条隧道长多少米？（设计意图：巩固相遇问题的基本模型，强调识别情境、正确列式，确保全体学生掌握核心知识与技能。）拓展性作业：请从以下两个任务中选择一个完成：任务A（情境应用）：假设你和你的好友住在同一条街的两端，你们约好同时从家出发，相向而行，一起去街中心的书店。请测量或估算你们的速度（如步速），设计一个合理的两家距离，计算你们需要多长时间会合。将你的设计过程和计算结果记录下来。任务B（错题分析与改编）：从练习或网上找一道相遇问题的错题（或自己故意设计一道有常见错误的题，如忽略了“同时”），分析其错误原因，并进行改正。然后，尝试将原题改编成一道求“相遇时间”或求“其中一个速度”的变式题。（设计意图：将数学知识与真实生活关联，或在评价与创造中深化理解，满足大多数学生应用与迁移的需求。）探究性/创造性作业：探究主题：“相遇”的延伸——追及问题初探。要求：1.自学或与家长探讨，了解什么是“追及问题”（两人从同地或异地同时或不同时出发，同向而行，速度快的追上速度慢的）。2.尝试模仿今天的学习过程：用动作模拟、画线段图，分析在追及问题中，两人的“路程差”、“速度差”与“追及时间”可能存在什么关系？并提出你的猜想公式。3.可以录制一个简短的讲解小视频，或绘制一份图文并茂的探究小报告。（设计意图：激发学有余力学生的探究欲，建立知识之间的联系，初步渗透类比学习和自主学习的能力培养。）七、本节知识清单及拓展★1.相遇问题的核心条件：必须同时满足“同时出发”、“相向（相对）而行”、“最终相遇”三个条件，缺一不可。这是判断一个问题是否为标准相遇问题的依据。★2.关键术语理解：“相向”即面对面方向；“相遇时间”指从出发到相遇所经过的时间；“路程和”指两个运动物体在相遇前所走的总路程之和，数值上等于两地间的距离。★3.核心数学模型：总路程（路程和）=速度和×相遇时间。这是解决所有相遇问题的基石公式。需在理解的基础上记忆。▲4.模型的逆向与变形：该模型可变形为：相遇时间=总路程÷速度和；速度和=总路程÷相遇时间。进而，若知一人速度，可求另一人速度。★5.线段图绘制要点：①用一条线段表示总路程并标出两端点（代表两地）；②用两个箭头从端点向中间相对画出，表示“同时相向出发”；③根据速度比预估相遇点位置并标出；④分段标注各段路程对应的速度和时间。口诀：先画路，再标人，定相遇，分路程。●6.速度和的意义：它表示单位时间（如1分钟）内，两个相向运动的物体之间距离缩短的长度。这是一个“合作效率”的概念，是模型的核心。▲7.环形跑道上的相遇：在环形跑道上同时同地反向出发，第一次相遇时，两人路程之和等于跑道一圈的长度。这是直线相遇模型在封闭曲线上的迁移应用。●8.常见错误警示：①忽略“同时”条件，错误计算时间；②将“速度和”误用为单个速度；③画线段图时，相遇点位置与速度关系不符（速度快的应走更长）；④未统一单位直接计算。▲9.与旧知的联系：相遇问题模型是对“速度×时间=路程”的拓展。当其中一个速度为0时（即一人静止），该模型便退化为基本公式。理解这一点有助于知识融会贯通。●10.思想方法提炼：本节课核心思想是“数学建模”和“数形结合”。通过画线段图实现“形”的直观，通过分析数量关系建立“数”的模型，二者结合是解决复杂应用题的利器。八、教学反思一、目标达成度评估：从当堂巩固训练及课后抽样批阅来看，约85%的学生能独立、正确地解决基础性相遇求路、求时问题，表明核心模型建立较为牢固。在绘制线段图方面，约70%的学生能规范、完整地呈现关键信息，但仍有部分学生存在标注不清或相遇点位置随意的问题，这将是后续个别辅导的重点。学生在小组讨论中能积极运用“同时”、“相向”、“速度和”等术语，表明概念理解已初步内化。情感目标方面，模拟演示与挑战任务极大地激发了学生的参与热情，课堂氛围活跃。（一）环节有效性分析1.导入与新授环节：情境动画与真人模拟成功创设了认知冲突，将抽象的“相遇”概念具象化。“他们走的路程和全长有什么关系？”这一驱动问题贯穿始终，导向明确。任务序列（感知画图建模变式归纳）遵循了学生的认知规律，梯度合理。尤其是任务三中，从分步到综合，再到运用乘法分配律引出“速度和”概念，过程自然流畅，学生反映“好像是自己发现了这个公式”。我在巡视时听到有学生嘀咕：“哦！原来是两个人一起在‘吃’掉这段路啊！”这正是对“速度和”意义的生动建构。2.巩固与小结环节：分层练习设计满足了不同学生的需求。基础层巩固效果显著；综合层的环形跑道问题暴露了部分学生模型迁移的困难，通过图形提示和小组讲解得以较好化解；挑战层题目虽有难度，但成功吸引了顶尖学生的兴趣，成为课后的谈资。课堂小结采用学生自主绘制思维导图的形式，有效促进了知识的结构化。看到学生们笔下生出的各具特色的知识树，我深感“教是为了不教”的意蕴。二、