乘除何以相通？-八年级数学《分式的乘除》单元起始课教学设计

乘除何以相通？——八年级数学《分式的乘除》单元起始课教学设计一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》视角审视，本节课隶属于“数与代数”领域中的“数与式”主题，是学生从数的运算迈向式的运算、从整式过渡到分式的关键节点。知识技能图谱清晰：核心概念为分式的乘法法则与除法法则，关键技能是能正确、熟练地进行分式乘除运算，并将结果化为最简形式，认知要求达到“理解”和“应用”层级。它在单元知识链中承上启下：上承分式基本性质与约分，下启分式的乘方、加减及混合运算，是构建完整分式运算体系的基石。过程方法路径上，课标强调的模型思想、运算能力和推理能力在本课有鲜明体现。我们计划将“法则的归纳”转化为学生从具体数字运算到一般字母表示的数学探究活动，引导其经历“观察特例—提出猜想—符号表示—验证解释”的完整过程，亲历法则的“再发现”。素养价值渗透方面，本课是培养数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养的绝佳载体。在探索“何以分式的乘除与分数的乘除形式一致”的过程中，蕴含了从特殊到一般、化归转化的数学思想，这不仅是数学之美，更是理性精神的彰显；而运算过程中对符号、约分严谨性的要求，则是培养学生细致、规范科学态度的契机。

基于“以学定教”原则进行学情研判。已有基础与障碍：学生已熟练掌分数的乘除运算、整式的乘除运算及因式分解，这为类比学习提供了坚实的“最近发展区”。然而，潜在障碍亦存：一是从“数”到“式”的抽象飞跃，学生可能对字母表示的普遍性心存疑虑；二是在运算过程中，符号处理、因式分解与约分的综合运用容易出错，特别是当分子、分母为多项式时，如何“看成一个整体”进行约分是思维难点。过程评估设计：将通过课堂设问（如“你认为分式乘法与分数乘法最大的不同是什么？”）、巡视观察学生探究过程、分析随堂练习中的典型错误等方式，动态把握学生对算理的理解深度与算法的掌握程度。教学调适策略：针对上述诊断，对抽象思维较弱的学生，提供更多从具体数值例子到一般式子的“脚手架”，并鼓励其用语言复述算理；对运算易出错的学生，设计“错例诊断”环节，强化运算程序与规范；对学有余力者，则引导其思考法则的合理性证明或探索更复杂的变形问题。二、教学目标

知识目标：学生能够理解并自主归纳出分式乘除法的运算法则，明确其与分数乘除法则的一致性及内在逻辑；能准确叙述法则的符号语言表达，并理解将除法转化为乘法的原理；最终能依据法则，规范、熟练地进行分式乘除运算，并自觉将结果化为最简分式。

能力目标：学生通过经历从具体到抽象的探究过程，提升数学抽象与符号表征能力；在运算过程中，能综合运用因式分解、约分等技能，发展数学运算的核心能力；通过小组讨论与错例辨析，增强数学交流与批判性思维能力。

情感态度与价值观目标：学生在类比、猜想、验证的活动中，体验数学探索的乐趣与严谨性，形成敢于猜想、乐于探究的科学态度；在合作学习中，学会倾听、表达与互助，感受团队协作的价值。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的类比思维与化归思想。引导其将分式乘除问题化归为熟悉的分数运算问题，将除法运算化归为乘法运算，并能运用“从特殊到一般”的归纳方法发现数学规律。

评价与元认知目标：学生能够依据“步骤清晰、过程完整、结果最简”的运算量规，对自我或同伴的解题过程进行初步评价；能在课堂小结时，反思本课学习的关键步骤与思维方法，梳理“遇到新问题如何转化为旧知识”的策略。三、教学重点与难点

教学重点：分式乘除运算法则的理解与应用。确立依据在于：从课标看，该法则是“数与式”主题下必须掌握的核心“大概念”，是后续进行分式混合运算、解分式方程、研究函数性质的运算基础；从学业评价看，分式运算是中考的高频考点，且常以综合题形式出现，直接考查学生的运算能力与代数变形能力。

教学难点：一是法则探究过程中，如何实现从具体数值运算到抽象符号表示的思维跨越；二是运算过程中，对分子、分母是多项式时的正确处理，特别是准确、彻底地进行因式分解与约分。预设依据源于学情：八年级学生的抽象概括能力尚在发展，符号意识有待强化；同时，因式分解的熟练度与“整体观”的缺乏，易导致约分不彻底或错误。突破方向在于搭建循序渐进的探究阶梯和强化“先分解，后约分”的程序性训练。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件，包含生活情境导入动画、探究活动指引、分层练习题及动态演示约分过程。1.2学习材料：设计并印制《分式的乘除》学习任务单（含探究记录区、分层练习区、反思区）。1.3环境预设：黑板划分为“法则发现区”、“运算示范区”、“我的疑问区”三部分。2.学生准备2.1知识回顾：复习分数乘除法则、因式分解（提公因式、公式法）及整式乘法。2.2学具：准备好笔、练习本及数学教材。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设：同学们，假设我们班要举办一个科学小实验展示会，需要配制一种特定浓度的溶液。已知原溶液的浓度是(2x)/(x+1)克/毫升，现在需要量取(3y)/2毫升原溶液进行稀释。大家想想看，我们如何计算所取出的溶质质量呢？（稍作停顿）对，这涉及到浓度与体积的乘法。这是一个我们生活中可能遇到的真实数学问题。

1.1问题提出：但这里出现的(2x)/(x+1)和(3y)/2不是我们熟悉的分数，而是分式。那么，分式与分式之间该如何进行乘除运算呢？它的运算规则会和分数一样吗？这就是我们今天要共同探究的核心问题：“乘除何以相通？”——探寻分式与分数在乘除运算上的内在联系。

1.2路径明晰：我们将沿着“回顾旧知—大胆类比—动手验证—总结法则—灵活应用”的路线展开探索。首先，请大家唤醒我们最牢固的记忆：分数的乘除法则是怎样的？让我们一起说出来。第二、新授环节任务一：从“数”到“式”的类比猜想教师活动：首先，教师板书两组算式：①2/3×4/5=?②2/3÷4/5=?请学生口答并回顾法则。接着，教师将数字替换为字母，写出：a/b×c/d=?a/b÷c/d=?“瞧，当我们把具体的数字换成抽象的字母，分数的法则就变成了分式的可能形式。那么，这两个问号后面应该填什么呢？谁愿意根据刚才的类比，当第一个‘猜想家’？”教师鼓励学生大胆说出猜想，并将其板书在“法则发现区”。学生活动：快速口答分数运算结果与法则。观察教师的改写过程，进行类比思考。部分学生能主动提出猜想：“是不是a/b×c/d=ac/bd，a/b÷c/d=a/b×d/c=ad/bc？”其他学生倾听、思考，表示认同或提出疑问。即时评价标准：1.能否准确、流畅地复述分数乘除法则。2.能否主动进行类比，并提出合理的猜想。3.在倾听同伴猜想时，是否表现出思考与判断。形成知识、思维、方法清单：★复习巩固：分数乘除法法则。乘法：分子乘分子，分母乘分母；除法：除以一个数等于乘它的倒数。这是所有类比思维的起点。▲关键思维：类比猜想。数学中，我们常根据两个对象之间的相似性，从一个已知对象的性质去推测另一个对象的性质。这是一种重要的发现方法。教师提示：“但猜想不一定总是对的，接下来我们需要做什么？对，验证！”任务二：举例验证猜想的合理性教师活动：“光猜想可不行，我们需要证据。如何验证我们猜想的‘分式法则’是合理的呢？”引导学生提出验证策略：用具体的数字代替字母，代入分式进行计算。教师示范：取a=2,b=3,c=4,d=5，按照猜想计算(2/3)×(4/5)，结果与直接算分数乘法一致。“这只是特例，能说服所有人吗？请大家在任务单上，自己再另选两组不同的数（特别是包含负数的情况），分别对乘法和除法法则进行验证。”巡视指导，关注学生取值是否多样、计算是否准确。学生活动：理解验证的必要性。跟随教师示范，理解验证方法。独立在任务单上选取不同的数值（如包含分数、负数等），代入字母分式，按照猜想法则进行计算，并与直接数值运算结果对比。小组内交换验证例子，确认猜想是否始终成立。即时评价标准：1.能否理解举例验证的目的与方法。2.举例是否具有多样性（正数、负数、分数）。3.计算过程是否准确、规范。形成知识、思维、方法清单：★探究方法：特殊值验证法。当面对一个关于一般形式的猜想时，代入具体的、特殊的数值进行检验，是判断其合理性的有效手段。▲易错警示：验证的完备性。举例验证可以增强我们对猜想的信心，但不能作为绝对的证明。因为有限的例子无法覆盖所有情况（比如分母为零的情况）。教师可设问：“我们验证了这么多例子都成立，是不是就可以百分百确定法则正确了？想想看，有没有什么情况是我们的例子没覆盖到的？”任务三：借助“形式定义”理解算理教师活动：在学生验证热情高涨时，教师提出更深层问题：“为什么这些例子都成立？背后有没有更根本的道理？别忘了，分式本质上是两个整式相除。我们可以从这点出发来想一想。”以a/b÷c/d为例，教师引导：根据除法的定义，a/b÷c/d就是求一个量，使得它乘以c/d等于a/b。我们可以设这个量为x，即x·(c/d)=a/b。“那么，如何解这个关于x的‘方程’呢？大家结合分数运算经验想想。”启发学生两边同时乘以d/c来求解，从而得到x=(a/b)×(d/c)。“看，这样我们就从除法的定义出发，自然地‘推出’了除法转化为乘法的规则。”学生活动：聆听教师的引导，理解从定义出发的推理视角。跟随教师的步骤，思考如何利用等式性质求解x。感受从“验证”到“说理”的思维进阶，理解法则背后的逻辑依据，而不仅仅是记忆形式。即时评价标准：1.能否跟随教师的引导，理解从定义出发的推理思路。2.是否表现出对算理探究的兴趣，而不仅仅满足于算法结果。形成知识、思维、方法清单：★算理根源：分式的本质与等式性质。分式A/B可看作A÷B。除法法则“除以一个分式等于乘以它的倒数”可以通过设未知数、利用等式性质（两边同乘倒数）严格推导。这赋予了法则逻辑的严谨性，超越了经验归纳。▲学科思想：化归。将分式的除法运算转化为乘法运算，是化陌生为熟悉、化复杂为简单的化归思想典型体现。任务四：归纳与表述运算法则教师活动：经过猜想、验证与说理，教师邀请学生共同完成法则的正式归纳。“现在，我们可以自信地将黑板上的‘猜想’变成‘结论’了。谁能用最精准的数学语言，帮大家总结一下分式乘法和除法的运算法则？”引导学生用文字语言和符号语言两种方式表述。教师完善板书，并用彩笔突出“分子、分母是多项式时，先分解因式，后约分”的关键步骤提示。强调：“法则到手，但用好它，我们还得掌握‘说明书’——接下来的运算程序。”学生活动：踊跃参与法则的归纳与表述。尝试用“分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母”等语言进行概括。同时，准确写出符号表达式。聆听教师对关键步骤的强调，做好笔记。即时评价标准：1.归纳的法则是否完整、准确。2.符号表达是否规范。3.是否关注到教师强调的运算关键步骤。形成知识、思维、方法清单：★核心知识：分式乘除法法则（符号语言）。乘法：(A/B)×(C/D)=(AC)/(BD)(B、D不为零)。除法：(A/B)÷(C/D)=(A/B)×(D/C)=(AD)/(BC)(B、C、D不为零)。★核心程序：运算步骤。①定符号；②除法变乘法；③对多项式分子、分母进行因式分解；④约去分子与分母的公因式；⑤结果化为最简分式或整式。任务五：典例研讨与程序内化教师活动：出示例题：计算(1)(4x³y)/(3z²)·(6z^4)/(2xy²)；(2)(a²4)/(a²4a+4)÷(a+2)/(a2)。“法则清楚了，步骤明白了，现在真刀真枪试一试。请大家先独立完成，注意每一步的规范。”巡视中，重点关注学生的符号处理、因式分解的准确性以及约分的彻底性。选取有代表性的解答（包括正确和典型错误）进行投影展示。学生活动：独立完成两道例题的计算。完成后，与同桌交换检查，讨论异同。观看投影展示，对比自己的解题过程，积极辨认正确做法，指出错误所在并分析原因。即时评价标准：1.解题过程是否遵循既定步骤，书写是否规范。2.因式分解与约分是否准确、彻底。3.在互评中能否清晰指出问题并提供正确思路。形成知识、思维、方法清单：★运算规范：步骤性与整体性。展示规范的解题板演，强调过程完整。▲典型错误预警：①符号错误，尤其在处理负号时；②约分不全，仅约数字部分而忽略字母或因式；③对多项式整体性认识不足，如将(a²4)错误约分。教师点评时需重点剖析：“同学们看，这个错误是不是很像我们小时候算分数时，把‘分子分母同除以一个数’变成了‘同时去掉相同的数字’？在分式里，我们要约去的是‘相同的整式因式’，必须先把它们‘找’出来——也就是因式分解。”任务六：辨析深化与概念辨析教师活动：提出辨析问题链，推动思维深化：1.“分式乘除运算的结果一定要化成最简形式吗？为什么？”（强调数学简洁美和确定性）2.“计算过程中，是先约分还是先做乘法？哪种更简便？”（引导学生对比体验，优化策略）3.“(xy)与(yx)互为相反数，它们在约分时如何处理？”（引出符号处理技巧：提负号转化）。组织学生简短讨论，并总结优化策略。学生活动：思考教师提出的辨析问题，结合自己的计算经验进行回答或讨论。理解“先约分、后相乘”的优化策略。掌握处理互为相反数的因式时，通过提取负号转化为相同因式再约分的方法。即时评价标准：1.对问题的回答是否切中要害，体现对运算本质的理解。2.能否接纳并应用运算的优化策略。形成知识、思维、方法清单：▲优化策略：先约分，后相乘。这可以简化运算过程，提高准确率和效率。▲难点技巧：相反数因式的处理。当分子、分母出现互为相反数的因式时，可通过提取负号（如：yx=(xy)）将其转化为相同因式后再约分，同时注意符号的变化。教师可幽默提示：“这对‘双胞胎’长得有点像但脾气相反，给它们其中一个戴上个‘小帽子’（负号），就能变得一模一样，然后愉快地‘约掉’了。”第三、当堂巩固训练

设计分层训练体系，学生在任务单上完成。基础层（全员必做）：直接应用法则的计算题，如(3a²b/5c)×(10c²/9ab³)。综合层（多数学生完成）：分子分母为简单多项式，需先分解因式，如(x²9)/(x²+4x+4)÷(x3)/(x+2)。挑战层（学有余力选做）：①涉及多个分式乘除的连续运算；②与简单实际问题结合的情境题；③开放题：自行设计两个分式，使它们的乘积等于一个指定的整式。

反馈机制：学生完成后，开展“同伴互评”，依据步骤规范性、结果最简化等标准进行核对。教师巡视收集共性疑问，选取有代表性的解答（尤其是综合层和挑战层的不同解法）进行投影讲评。重点讲评综合层题目中因式分解与约分的完整性，分析挑战层题目中的运算策略。对于开放题，展示学生精彩的设计，并给予肯定：“这个设计巧妙，既用到了平方差公式，结果又简洁，很有想法！”第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。知识整合：“请同学们用一分钟时间，在脑海或本子上画一个简单的思维导图，梳理本节课我们从哪里出发，经历了什么，最终获得了哪些核心成果？”邀请学生分享，教师板书关键词形成网络。方法提炼：“回顾探索过程，我们用了哪些‘法宝’来攻克‘分式乘除’这个新堡垒？（类比、猜想、验证、从定义推理、化归）以后遇到新的运算规则学习，你会怎么入手？”作业布置：公布分层作业（详见第六部分），并预告下节课：“今天我们把乘除‘拆开’学会了，如果它们‘联手’出现，再加上加减法，我们该如何应对？下节课我们将进入分式的四则混合运算，敬请期待。”六、作业设计

基础性作业（必做）：教材对应章节后的基础练习题，重点巩固运算法则和基本运算步骤，确保全体学生掌握核心知识与技能。

拓展性作业（建议完成）：1.编写一道包含两个步骤的分式乘除混合运算题，并给出完整解答过程。2.解决一个简单的实际应用问题，例如：“一块长方形花园面积为(x²4)/(x+1)平方米，宽为(x+2)/(x2)米，求它的长。”

探究性/创造性作业（选做）：1.探究：当x取何值时，分式[(x+1)/(x2)]÷[(x²1)/(x²4)]的值为1？2.数学小论文（雏形）：以“类比在数学学习中的力量”为题，结合本节课及以往的学习经验（如整数运算律推广到有理数），谈谈你的体会，字数不限。七、本节知识清单及拓展

★1.分式乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。符号语言：(A/B)×(C/D)=(AC)/(BD)(B≠0,D≠0)。要点：运算的最终结果必须是最简分式。

★2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。符号语言：(A/B)÷(C/D)=(A/B)×(D/C)=(AD)/(BC)(B≠0,C≠0,D≠0)。理解：“颠倒相乘”的本质是乘以除式的倒数。

★3.运算通用步骤：①确定结果的符号；②将除法运算统一为乘法运算；③对分子、分母中的多项式进行因式分解；④约去分子与分母中的所有公因式；⑤将结果写成最简分式或整式的形式。口诀：“一化、二乘、三约、四简”。

▲4.类比思想的应用：分数与分式在形式、基本性质和乘除运算上具有高度相似性。学习新知识时，主动寻找并联系已知的类似结构（如分数），是高效的认知策略。

▲5.因式分解的核心作用：在分式乘除运算中，因式分解是将多项式转化为乘积形式的关键步骤，是准确、彻底约分的前提。不进行因式分解，往往无法进行约分。

▲6.约分的本质与限度：约分的本质是“消去分子和分母的非零公因式”。约分必须彻底，直至分子与分母没有公因式（1除外）。约分是对“整体因式”的操作，不能只约部分字母或数字。

▲7.相反数因式的处理技巧：若分子、分母出现互为相反数的因式，如(ab)与(ba)，可通过提取负号进行转化：ba=(ab)。约分后，注意保留负号。

▲8.运算律的适用性：在分式乘除运算中，乘法交换律、结合律仍然适用。这可用于简化多个分式连乘的运算顺序。

▲9.与分数运算的差异意识：分式运算最终结果的形式可能是一个多项式，而分数运算结果通常仍是一个数。同时，分式中字母的取值有更多限制（分母不为零），需时刻保持定义域意识。八、教学反思

（一）目标达成度分析：从当堂巩固训练与小结反馈来看，大部分学生能准确叙述法则并完成基础运算，知识目标基本达成。能力目标上，通过任务一至三的完整探究链，学生亲身经历了“再发现”的过程，类比与归纳能力得到锻炼；但在综合运算中，部分学生因式分解不熟练导致卡壳，运算能力的精准与自动化仍需后续练习加强。情感与思维目标在探究活动中有所渗透，课堂气氛积极，学生提问“为什么可以这样类比”正是思维深化的表现。

（二）环节有效性评估：导入环节的生活情境引发了真实兴趣，成功搭建了从分数到分式的认知桥梁。新授环节的六个任务层层递进，逻辑清晰。其中，任务二（验证）到任务三（说理）的过渡是关键转折，部分学生在此处表现出从“经验认