第6讲 空间线段以及线段之和最值问题（学生版）

第6讲空间线段以及线段之和最值问题一、单选题1．（2025·高三·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2025·高三·辽宁·期中）已知高为的正四棱台的全部顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（

）A．平面与平面的夹角为B．球的体积为C．的最小值为D．与平面所成角度数的最大值为3．（2025·陕西商洛·模拟猜测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（

）A．圆锥的侧面积为B．三棱锥的体积的最大值为C．的取值范围是D．若，为线段上的动点，则的最小值为4．（2025·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（

）①异面直线与所成的角为45°；②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；③若点为棱上的动点，则的最小值为；④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2025·高一·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四周体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（

）

A． B．C． D．6．（2025·全国·模拟猜测）已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．27．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（

）A．4 B． C． D．8．（2025·北京·模拟猜测）如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．（2025·高三·河南开封·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．10．（2025·高三·河南·期末）已知正方体的棱长为2，E，F，G分别是棱，AB，BC的中点，P是底面ABCD内（包括边界）的动点，平面EFG，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．11．（2025·高二·北京·期末）如图，在长方体中，，点M在平面上，则线段长度的最小值为（

）A． B． C． D．12．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）已知底面边长为2的正四棱锥O-ABCD的侧棱长为，E，F分别为AB，BC的中点，点P，Q在底面ABCD内，且Q在线段DE上，过顶点O平行于底面ABCD的平面为，F在平面内的射影为，长度为，则PQ长度的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题13．（2025·高三·重庆·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点平面，且与所成角是，则下列正确的选项有（

）A．B．点的轨迹是双曲线C．的最小值为4D．直线与平面所成角的最小值为14．（2025·山西临汾·一模）已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（

）A．的最小值为B．动点在面内运动轨迹的长度为C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分D．在正四周体的内部有一个可以任意转动的正四周体，则此正四周体的棱长可以是1.415．（2025·高三·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别是棱，上的动点，，，则下列说法正确的是（

）A．直三棱柱的体积为B．直三棱柱外接球的表面积为C．若，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为D．取得最小值时，16．（2025·江西上饶·一模）在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，的最小值为D．当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为17．（2025·山东聊城·模拟猜测）棱长为2的正方体中，分别是的中点，点在线段上，点在底面内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（

）A．当点在棱上移动时，总存在点，使得成立B．当点在棱上移动时，存在点和，使得成立C．三棱锥体积的最大值是D．的最小值是18．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（

）A．若，则三棱锥的体积为定值B．若，则有且仅有一个点P，使得C．若，则的最小值为6D．若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为19．（2025·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（

）A．若，则四周体的体积为定值B．若，则点的轨迹为一段圆弧C．若的外心为O，则为定值2D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为20．（2025·高三·江苏宿迁·开学考试）在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足，其中，则（

）A．平面平面B．对于任意，三棱锥的体积为定值C．周长的最小值为D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为21．（2025·高三·重庆·阶段练习）已知直棱柱的全部棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（

）A．B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分C．当时，三棱锥的外接球的体积为D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为22．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（

）A．点到平面的距离为定值B．直线与所成角的取值范围为C．的最小值为D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为23．（2025·河南安阳·一模）已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（

）A．三棱柱的体积为4B．以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为C．若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为D．若空间中的一点满足，则的最小值为24．（2025·高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱的全部棱长均为4，点在棱上运动，点在四边形内（包括边界）运动，则下列结论正确的是（

）

A．三棱锥的体积为B．若为的中点，则到平面的距离为C．的周长的最小值为D．若，则点的轨迹的长度为25．（2025·高三·广西·期中）如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱底面，三棱锥的体积为，底面和的中心分别是和是的中点，过点的平面分别交于点F、N、M，且平面是线段MN上任意一点（含端点），是线段上任意一点（含端点），则下列说法正确的是（）A．侧棱的长为B．四棱柱的外接球的表面积是C．当时，平面截四棱柱的截面是五边形D．当和变化时，的最小值为526．（2025·高三·江西·开学考试）如图，棱长为的正方体为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（

）A．平面 B．C．的最小值为 D．的最小值为27．（2025·高三·全国·专题练习）已知一个各棱长均为4（单位：）的正三棱柱容器（容器壁厚度忽视不计），则（

）A．能够将直径为2的球体放入该容器B．能够将棱长为3.9的正四周体放入该容器C．能够将棱长为1.6的正八面体放入该容器D．若点P为线段的中点，则沿该容器的表面从点A到达点P路程的最小值超过5.628．（2025·湖南长沙·模拟猜测）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（

）A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为B．若，则点P的轨迹长度为C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为29．（2025·高三·江西·阶段练习）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到正八面体，则（

）A．四边形为正方形B．平面C．异面直线与所成的角为90°D．若动点P在棱上运动，则的最小值为30．（2025·高二·辽宁·开学考试）化学中经常遇到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（

）

A．正八面体的外接球体积为B．正八面体的内切球表面积为C．若点为棱上的动点，则的最小值为D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值31．（2025·广西柳州·模拟猜测）如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（

）A．与平面有可能平行B．与平面有可能平行C．三角形周长的最小值为D．三棱锥的体积为定值三、填空题32．（2025·高二·河北邯郸·期末）如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为．33．（2025·高三·北京通州·期末）如图，正方形和正方形所在的平面相互垂直.为中点，为正方形内一点（包括边界），且满足，为正方形内一点（包括边界），设，给出下列四个结论：①，使；②，使；③点到的最小值为；④四棱锥体积的最大值为.其中正确结论的序号是.34．（2025·江苏徐州·模拟猜测）已知正方体的棱长为1，点M，N分别在线段上运动，若与底面所成角为，则线段长度的最小值为．35．（2025·高二·河南开封·阶段练习）如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为，动点满足，且，则的最小值为

36．（2025·安徽·模拟猜测）已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为.37．（2025·高一·山西太原·期末）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为．38．（2025·高一·吉林·期末）在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为.39．（2025·高一·浙江金华·阶段练习）在长方体中，，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长的最小值为．40．（2025·河南·一模）三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为