热点3-3 解三角形及其应用（8题型+高分技法+限时提升练）（教师版）

热点3-3解三角形及其应用三年考情分析2025考向猜测解三角形及其应用是高考数学的高频考，在选择题、填空题及解答题中都有消灭．命题侧重考查正弦定理、余弦定理和面积公式的应用，难度适中。也与三角恒等变换、三角函数等学问结合、留意考查解三角形在实际问题中的应用．正弦定理和余弦定理及其变形照旧是2025年高考的重点内容．题型包括选择题、填空题和解答题，难度多为中档，除利用正、余弦定理解三角形外，还可能结合三角形的中线、高线、角平分线等性质考查三角形的面积、周长、最值和范围问题．题型1利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理．2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较简单，要留意依据式子结构特征机敏化简．3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并留意利用数形结合求出三角形的边、角或推断出三角形的外形等．1．（24-25高三上·陕西西安·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（

）A．2 B．3 C．1 D．4【答案】C【解析】由正弦定理得:，则又由于，所以，所以，在中由余弦定理得:.代入得:.解得:或，又由于，则，故，故选：C.2．（24-25高三上·河南·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】，由正弦定理得，即，，，，，，由余弦定理得：；故选：3．（24-25高三下·山东淄博·开学考试）的内角，，的对边分别为，，，且，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，所以，所以，所以，所以，由于，所以.故选：B.4．（24-25高三上·贵州·月考）在中，内角所对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由题可得，，，当且仅当取等号，所以.故选：B.题型2利用正、余弦定理推断三角形外形1、通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如，等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行推断。此时留意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如，；或等．2、利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行推断．3、留意无论是化边还是化角，在化简过程中消灭公因式不要约掉，否则会有漏掉一种状况的可能．1．（23-24高三下·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（

）A．为直角三角形 B．为锐角三角形C．为钝角三角形 D．的外形无法确定【答案】A【解析】由，可得，则，，，即，由，故只能为锐角，可得，由于，所以，.故选：A.2．（24-25高三上·四川绵阳·月考）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则肯定是（

）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形【答案】A【解析】，由正弦定理得，则，又，可得，为三角形的内角，，所以肯定是等腰三角形.故选：.3．（24-25高三上·江苏扬州·月考）在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的外形是（

）A．等腰三角形但肯定不是直角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形但肯定不是等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】由得：，且，，且，，，化简整理得：，即，或，又，是直角三角形但肯定不是等腰三角形．故选：．4．（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的外形为（

）A．等边三角形 B．钝角三角形C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】由于向量，共线，则，由正弦定理可得：，则，由于，则，可知，，，均不为，可得，则，即；同理由向量，共线可得：；综上所述：.所以的外形为等边三角形.故选：A题型3与三角形面积有关的问题1、常用的三角形面积公式：在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心．（1）（2）（3）（4）2、与三角形面积有关问题的解题策略（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；（2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由于，，所以，又，即，所以，所以，所以，由于，即，又（其中），所以，则，即，又，即，即，又，所以，解得，所以，解得，所以.故选：B2．（24-25高三上·贵州安顺·模拟猜测）已知的内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，即，得到，又，则，所以，解得.（2）由（1）知，又，所以，又，所以，又，所以.3．（24-25高三上·浙江·期末）在中，角对应的边分别为，.(1)求角A；(2)若，，求的面积.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由及正弦定理，可得，故，由余弦定理，可得，由于，故，（2）由（1）可知，所以由于，所以所以，由所以，所以所以.4．（24-25高三下·安徽·月考）在中，角的对边分别为．(1)求；(2)若为边上一点，且的面积为，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）由，则，所以，，则.（2）由，可得（负值舍），则，而，所以，即，得证.题型4平面多边形中的解三角形问题将简单的多边形分割成若干个三角形，通过逐一解决每个三角形的问题，求解整个多边形的边长和角度，有时还需结合三角恒等变换逐步．1．（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且．(1)求证：为等边三角形；(2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）由于，，成等差数列，则，又由于，由余弦定理可得，即，解得，所以为等边三角形.（2）设，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，即，由正弦定理可得.2．（24-25高三上·甘肃酒泉·月考）如图，已知的内角所对的边分别是，，且的外接圆面积为.(1)求边；(2)若，延长至，使得，求.【答案】(1)7；(2)5【解析】（1）设的外接圆半径为，由题意，解得.由和正弦定理，可得：，又由余弦定理，可得，由于，故由正弦定理，；（2）由（1）已得，则，化简得：，解得，（舍去）.由余弦定理，可得，所以.由，可得.故，在中，由正弦定理，,即得.3．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形中，，，平分.(1)若，，求；(2)若，求.【答案】(1)；(2)【解析】（1）∵平分，∴，故，∵，，∴，，在中，由余弦定理得.（2）设，则.设，则，，在中，由余弦定理得，∵，∴，∴，，∴.4．（24-25高三上·浙江·月考）如图，四边形中，．(1)求；(2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，两式作差得：，解得，由于，所以．（2）由于由（1）知，可得，且，则所以，在中，可得，所以，在中，可得，在中，可得，可得,所以，则，所以，解得，设的外接圆半径为，由正弦定理得，解得，所以的外接圆半径为．题型5解三角形中的中线问题1、中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2、向量法：AD【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD1．（24-25高三上·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)设D为边AB的中点，若，且，求a．【答案】(1)；(2)或【解析】（1）在中，由及正弦定理得，即，即，而，即，则，又，所以.（2）依题意，，则，或，当时，由，得，在中，由正弦定理得，，则，在中，由余弦定理得，因此，当时，，，，所以或.2．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足(1)求B；(2)若的面积为，，求中线BD的长．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，又由于所以，，得，所以，由余弦定理得，又B为三角形内角，所以，（2）由于的面积为，，，所以，，所以，又，由于BD为的中线，所以，，所以，，所以3．（24-25高三上·海南海口·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，，.(1)求的最大值；(2)若的面积为为中点，求的值.【答案】(1)12；(2)【解析】（1）由余弦定理，由于，即，整理，得，即.由于，则.∵，∴当且仅当时，等号成立∴的最大值为12（2）由题知，，平方可得，，联立得：，且，即联立解出，∴，∴.4．（24-25高三上·山东济南·期末）记的内角的对边分别为，已知(1)求A的值；(2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）在，由于，由正弦定理得：即即由于所以而所以整理得由于中所以又所以（2）由于AM是边BC的中线，所以则不妨设则所以即解得或舍所以在中即即，解得即所以，在中又易知，P是重心，所以所以题型6解三角形中的角平分线问题如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，1、利用角度的倍数关系：∠2、内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则AB说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量学问解决起来都较为简捷．3、等面积法：由于S∆ABD+S∆ACD整理的：AD=2bccosA1．（24-25高三上·湖北武汉·月考）在中，角的对边分别为且满足.(1)求；(2)若的角平分线与交于点，，，求.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，由正弦定理可得，即，又，所以，，所以，所以；（2）如图，由题意得，，所以，即，又，代入解得，由余弦定理，可得，即，所以．2．（24-25高三上·河南·期末）记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形.【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）由于，所以.由余弦定理，得，又由于，所以.（2）由于是的平分线，所以，设的边上的高为，则由，得，即，由余弦定理，得，所以，从而，故为直角三角形.3．（24-25高三上·湖南衡阳·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以,即,即,由于，所以.（2）.所以，从而，所以，由于外接圆半径为，所以外接圆直径为，由正弦定理得，所以由于的角平分线为，所以，所以在中，由正弦定理得，即，解得4．（24-25高三上·安徽宣城·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）由已知及正弦定理有，即，由余弦定理有，，则.（2）由（1）可知，则①，由基本不等式有，可得，又，则，∵，∴，可得，由①有，令，则在上单调递增，所以AD的最大值为.题型7测量距离、高度、角度问题1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，假如都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再依据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能精确     找到这些角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，留意正、余弦定理的综合应用．1．（24-25高三上·江西·月考）南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人预备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可得，，，则在中，，即，在中，，由正弦定理得，即，所以.故选：D.2．（24-25高三上·海南·月考）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，由正弦定理可知：，则，即，在直角中，由，得，故选：A.3．（24-25高三上·福建·期末）如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，，所以在中，由于，，由正弦定理可得：，则，解得：，在中，所以，所以在，由余弦定理可得：，所以.故选：A.4．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则．【答案】【解析】由于在点测得，的俯角分别为，，所以，，由于在点测得，的俯角分别为，，所以，，在中，已知，由正弦定理得，所以；由于，则，所以，在中，由余弦定理得，所以，由于，，故，在中，由余弦定理得：，故，所以题型8解三角形与三角函数综合应用1．（24-25高三上·天津·期中）设函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递增区间及对称轴；(3)在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围.【答案】(1)；(2)单调递增区间是，对称轴为，；(3)【解析】（1）所以函数的最小正周期为；（2）令，得，，所以函数的单调递增区间是.令，，得，，所以函数的对称轴为，.（3）锐角中，，，解得，所以，所以，所以的取值范围是.2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，在中，内角、、所对的边分别为、、，且.(1)求函数在区间上的值域；(2)求角；(3)若，求的面积.【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）依据题意，可得，当时，，所以，，故，所以函数在区间上的值域为.（2）由（1）得，即.由于，，所以，可得.（3）由余弦定理得，若，则，由于，所以，可得，即.由正弦定理，得，，所以，结合，可得.所以的面积.3．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知函数是偶函数，且其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为.(1)求的单调递增区间；(2)在中，其内角的对边分别为，已知2，且，求的面积.【答案】(1)；(2)【解析】（1），所以由函数为偶函数，知.又，所以，即有.由于，所以有.所以.又其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为，且，所以有，解得.所以的单调递增区间为.（2）由正弦定理，及，得，化简可得，即.又，所以.由，及余弦定理，得，解得或（舍去），所以.又由于，所以.所以.4．（24-25高三上·江苏扬州·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.(1)推断的外形；(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.①当时，求线段长的最小值；②是否存在常数和，对于全部满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.参考公式：，.【答案】(1)直角三角形或等腰三角形；(2)①；②成立，，【解析】（1）在中，由于，且，所以，即，，所以或者.当时，所以，为直角三角形；当时，所以，为等腰三角形.综上所述，为直角三角形或等腰三角形.（2）①由于，所以，又，，所以，.如图，设，，方法一：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.由于，所以，故当，即时，.方法二：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.由于，所以，故当，即时，.方法三：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.所以，由于，所以，故当，即时，.②假设存在常数，，对于全部满足题意的，，都有成立，则存在常数，，对于全部满足题意的，，利用参考公式，有.由题意，是定值，所以，是定值，对于全部满足题意的，成立，故有，由于，从而，即，，所以.故，.（建议用时：60分钟）一、单选题1．（24-25高三上·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由正弦定理，得，所以，又，所以，所以.故选：A.2．（24-25高三上·河南濮阳·月考）在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】由题设有，故，故，由余弦定理可得，故，故三角形外接圆的半径为，故选：B.3．（24-25高三上·云南昆明·期末）在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当为钝角时，由余弦定理得，所以，解得，由于，所以，所以；当为钝角时，由余弦定理得，所以，解得，由于，所以，所以，故选：D4．（24-25高三上·广东·一模）如图，已知，，，，则（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】，，，所以.，，，，解得或（舍）故选：D5．（24-25高三上·甘肃张掖·一模）在中，内角的对边分别为，记的面积为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，所以．结合余弦定理，得，所以．所以，解得．由于，所以，所以．故选：B.6．（24-25高三上·福建福州·月考）在中，已知分别为角的对边.若，且，则（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由及余弦定理得：，则，由正弦定理得：，由二倍角公式可得：，移项并利用和差化积公式整理可得：，又，所以，解得或，由于，所以.故选：C.7．（24-25高三上·重庆·月考）在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，则（

）A．4049 B．4048 C．4047 D．4046【答案】A【解析】在中，，可得，即，故，即，所以，所以，即，所以故.故选：A.8．（24-25高三上·江苏·月考）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，，又，则，设，则，在中，由正弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，即，又，解得，则，所以，故选：B二、多选题9．（24-25高三下·广西·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（

）A．的外接圆直径为 B．C．的面积为 D．的周长为【答案】ABD【解析】由于，由正弦定理可得外接圆直径，故A正确；由易得，所以等价于，所以，由正弦定理得，故B正确；由余弦定理可得，代入，解得，的面积为，故C错误，所以的周长为，D正确.故选：ABD.10．（24-25高三上·福建福州·月考）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，，，则有两解C．若，则为锐角三角形D．若，则为等腰三角形或直角三角形【答案】ACD【解析】对于A，，则，由正弦定理可得，，故A正确；对于B，由正弦定理，，此时无解，故B错误；对于C，，又且，，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；对于