重难点2-4 导函数与原函数混合构造（10题型+高分技法+限时提升练）（教师版）

重难点2-4导函数与原函数混合构造三年考情分析2025年考向猜测导函数与原函数构造问题在高考中多以选择题和填空题形式消灭，题目难度适中．通过构造函数，利用导数争辩函数的单调性，进而比较函数值的大小及解不等式，重点考查同学对导数与原函数关系的理解和应用力量．2025年高考估计仍主要以选择题和填空题为主，重点考查通过构造函数，利用导数争辩函数的单调性、极值等性质解决不等式问题及比较函数值大小问题．题型1构造型函数对于不等式，构造对于不等式，构造对于不等式，构造1．（23-24高三下·湖南娄底·月考）已知定义在上的可导函数，当时，恒成立，且对任意的实数，都有，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，当时，，所以在0,+∞单调递增，，所以为偶函数，所以，两边平方解得.故选：C2．（24-25高三上·河南安阳·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】构造函数，，，即函数在R上单调递减，等价于，解得.即的解集为.故选：D3．（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式等价于，可得，即可得；令函数，可得，又可得恒成立，因此在上单调递减，又，所以等价于，即；解得，所以不等式解集为.故选：C4．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，所以，得到，由于，所以，令，g0=f所以，由于，所以，所以为奇函数；，当时，单调递减，因此在上单调递减；，，所以，由于，所以即，所以，由于在上单调递减，所以，解之得.故选：D题型2构造或对于不等式，构造对于不等式，构造1．（24-25高三上·全国·专题练习）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是．【答案】【解析】、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f−x=−令，则，因此函数在R上是奇函数，当时，，在上单调递增，在上单调递增，且，，由于，，所以时，，时，，时，，时，，不等式的解集是.2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数是R上的奇函数，函数是R上无零点的偶函数，若，且在恒成立，则的解集为．【答案】【解析】由于，设，可知hx的定义域为，关于原点对称，由题意可得：，可知hx为奇函数，又由于，且在恒成立，即，可得h'x>0在恒成立，可知hx可知hx在0,+∞又由于，可得，则，对于不等式，明显x=0不合题意，则有：若，可得，即，解得；若x∈0,+∞，可得，即，解得；综上所述：的解集为.3．（23-24高三下·江西新余·模拟猜测）（多选）已知定义在上恒正且可导的函数与满足，，则（

）A． B．C．恒成立 D．与的大小关系无法确定【答案】AC【解析】令，则，且与恒正，，单调递增，，即：，故A正确，B错误.法一：，成立，故C正确，D错误.法二：令，，，单调递增，又，故，.故C正确，D错误.故选：AC4．（24-25高三上·全国·专题练习）已知都是定义在R上的函数，，，，在有穷数列中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，故单调递减，所以．又，解得，则数列，其前n项和，由于，所以，故．故选：B题型3构造函数对于不等式，构造（留意的符号）特殊的：对于不等式，构造1．（23-24高三下·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，对任意，，恒成立，即在上单调递减，由可得，，解得，即解集为.故选：A2．（24-25高三上·海南海口·月考）已知函数在上满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，故为偶函数.当时，，所以在上为减函数，由为偶函数得在上增函数.，，，由于，所以，即.故选：C.3．（23-24高三下·上海·月考）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为．【答案】【解析】令，则，当时，，所以当时，，即Fx在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以f−x=所以Fx是偶函数，所以Fx在所以，即不等式等价为，所以，所以．故答案为：．4．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则，由于当时，，所以在上单调递增，又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数，由，得，解得或故选：D.题型4构造函数对于不等式，构造（留意的符号）特殊的：对于不等式，构造1．（24-25高三上·河北张家口·月考）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意，令，求导得，则在上单调递减，由，得，不等式，则或，即或，解得或，所以不等式的解集为.故选：B2．（24-25高三上·重庆·月考）已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】时，即，在上单增，又为奇函数，为偶函数，在0,+∞上单减，，故，所以或时gx<0，当或时gx>0，当时，，；当时，，若则gx<0，，若则gx>0，，若则，，不符合题意；综上，，故选：A.3．（24-25高三上·吉林长春·模拟考试）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，由于，，所以，可得在上单调递减，不等式，即，即，所以，由于在上单调递减，所以，解得：，所以不等式的解集为：，故选：D4．（24-25高三上·河北石家庄·期中）已知定义在上的函数关于对称.，且当时，，则不等式的解集为.【答案】【解析】由于关于对称，故，故，故f−x=−f设，则，其中，故在为增函数，而，故在为偶函数，故在为增函数，而，故当时，；当或时，，故当或时，，当或时，，而等价于或，当时，或时，故或；当时，或，故，故的解集为.题型5构造函数对于不等式，构造特殊的：，构造1．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·月考）已知函数的导函数为，且在R上恒成立，则不等式的解集是.【答案】【解析】令，则故在R上单调递增，由可得，故，解得，故不等式的解集为，2．（24-25高三上·上海·期中）定义在上的奇函数，满足，则不等式的解集为．【答案】【解析】由于是定义在上的奇函数，则.两边求导，得到.已知，可得.令，.由于，又，所以，这表明在上单调递增.不等式可化为.不等式即，即.由于单调递增，所以，解得.故不等式的解集为.3．（24-25高三上·安徽合肥·月考）定义在上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于是奇函数，可得是偶函数，又由于，所以，令，可得，所以在上单调递增，由于且是奇函数，可得，则，所以的周期为的周期函数，由于，所以，则不等式，即为，即，又由于在上单调递增，所以，解得，所以不等式的解集为．故选：C．4．（23-24高二下·安徽滁州·期中）（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】令，所以，由于，所以，所以在上单调递增，所以，即，则，，故AC错误，BD正确．故选：BD．题型6构造函数对于不等式，构造特殊的：构造1．（24-25高三上·吉林·模拟猜测）定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则的定义域为R，且，由于，即，留意到，可得，可知在定义域R内单调递增，且，当时，，即；当x<1时，，即；所以不等式的解集为1,+∞.故选：B.2．（24-25高三上·山西晋中·月考）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为．【答案】【解析】令，所以，由于，所以，化简得，所以是上的奇函数；易知，由于当时，，所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；考虑到，由，得，即，又在上单调递增，得，解得，所以不等式的解集为.3．（24-25高三上·湖南·月考）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为.【答案】【解析】由于为奇函数，定义域为，所以，两边同时求导可得，即且，又由于当时，，所以.构造函数，则，所以当时，在上单调递增，又由于，所以在上大于零，在上小于零，又由于，所以在上大于零，在上小于零，由于为奇函数，所以在上小于零，在上大于零，综上所述，的解集为.4．（24-25高三上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，其导函数为，．若对于恒成立，则不等式的解集为．【答案】【解析】设，则．对恒成立，对恒成立，在上单调递减．由，得．又，，，不等式的解集为．题型7构造与型函数对于不等式，，构1．（24-25高三上·全国·专题练习）已知在上是奇函数，且为的导函数，对任意，均有成立，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．令，则，所以，则在上是减函数．由，且在上是奇函数，得，则，又，所以，即不等式的解集为．故选：D2．（24-25高三上·全国·模拟猜测）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，若对任意的有（是函数的导函数）成立，且，则关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于函数的图象关于点对称，所以函数是奇函数，由于，所以．令，则在R上单调递增．又，，所以，．由于，所以，即，所以，所以．故选：C．3．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·月考）已知是R上的奇函数，且对任意的x∈R均有成立．若，则不等式的解集为．【答案】【解析】由得．令，则，所以在上单调递增，又，为奇函数，所以，，则．故答案为：．4．（23-24高三上·江西宜春·开学考试）已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，设，则.在上单调递增.又为奇函数，..故选：B.题型8构造与型函数对于不等式，构造1．（23-24高三下·重庆·月考）（多选）已知函数在定义域1,+∞内恒大于0，且满足，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，则由得

所以在(1,+∞)上单调递减,所以,即所以,故正确,错误;又,即,所以,故正确,错误.故选：.2．（24-25高三上·全国·专题练习）已知是可导函数，且对于恒成立，则（

）A． B．C．2 D．【答案】B【解析】令，则．当时，由得，所以函数在上是增函数，于是，即，即.化简得，，故选：B.3．（23-24高三上·重庆渝中·月考）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令函数，则，即当时，函数单调递减，由于，所以当时，，当时，.由于当时，，当时，，所以当时，.又，，所以当时，；又为奇函数，所以当时，，所以不等式可化为或，解得，所以不等式的解集为，故选：D.4．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为．【答案】【解析】令，则，可知在上为减函数，而，在0,1上，，gx>0，所以；在1,+∞上，，gx<0，而，；可得在上，又由于是定义在上的奇函数，则在上，，不等式等价于或，解得或，故不等式的解集为.题型9构造与三角型函数对于不等式，构造对于不等式，构造对于不等式，即，构造对于不等式，构造1．（24-25高三上·全国·专题练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，则，则在上单调递增，对于A，，化简得，错；对于B，，化简得，错；对于C，，化简得，对；对于D，，化简得，错.故选：C2．（23-24高三上·湖南怀化·月考）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，令，求导得：，当时，当时，因此函数在上递增，在上递减，对于A，，则，即，A正确；对于B，，则，即，B错误；对于C，，则，即，C错误；对于D，，则，即，D错误．故选：A3．（24-25高三上·山东枣庄·月考）已知f'x是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为．【答案】【解析】设，，所以函数在上单调递减，，即，得，所以，所以不等式的解集为．4．（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立，，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于时，，所以可化为，设，，则，所以函数在上的单调递减，由于，所以，所以，即，所以.故选：B.题型10其他综合型函数构造1．（24-25高三上·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，由于时，，故当时，，故在上单调递增，且．由于，故，即，所以，故关于直线对称，故在上单调递减，且，当时，，则；当时，，则；所以使得成立的的取值范围是.故选：C．2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数的导函数为，当时，，则下列结论肯定正确的是（

）A． B．C．在上单调递减 D．当时，【答案】D【解析】在中令得，故A错；令，则，由于当时，，所以，在上单调递增，由于，所以当时，，时，，由于在时，，时，，所以时，，故D正确；，则，，故的正负不确定，故B错；当时，，，故在的单调性不确定，故C错.故选：D.3．（23-24高三下·河南·三模）已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是．【答案】【解析】令，则，所以在上单调递增．由于当，当，而，故在上，不等式与同解，即，又，得，即，所以原不等式的解集为．4．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知函数是定义在上的连续可导函数，为其导函数，且恒成立.若当时，，且，则不等式的解集为.【答案】【解析】设，由于恒成立，则.由于，当时，，可知在上单调递增，则，所以对都有，且，可得，由，可得.令，则，可知在上单调递减.由，可化为，即，可得，解得，所以不等式的解集为.（建议用时：60分钟）一、单选题1．（23-24高三下·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为f'x，且，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C．1,+∞ D．【答案】A【解析】不等式等价于，即，构造函数，所以，由于时，，所以对恒成立，所以在单调递减，又由于，所以不等式等价于，所以，即的解集为.故选：A.2．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知函数的定义域为，设的导函数是，且恒成立，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设则，故y=于是即，即有，故得.故选:C.3．（24-25高三上·辽宁大连·模拟猜测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则a,b,c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，由是定义在上的奇函数，可得是定义在上的偶函数，又由于时，，所以在上是减函数，所以是定义在上的增函数，构建，则，可知在内单调递增，则，可得；构建，则，可知在内单调递增，则，可得；由，可得，故，所以；设，则，所以在单调递增，故，所以，即所以，所以，故选：D4．（24-25高三上·安徽合肥·月考）定义在上的偶函数y=fx的导函数为y=f'x，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，所以当时，，令，则当时，，故在时，单调递减，又由于在上为偶函数，所以在上为奇函数，故在上单调递减，由于，所以，当时，可变形为，即，由于在上单调递减，所以且，得；当时，可变形为，即，由于在上单调递减，所以且，得；综上：不等式的解集为.故选：A.5．（23-24高三下·陕西咸阳·模拟猜测）若满足为锐角三角形，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，则.即令，则.则在内单调递增.为锐角三角形，则,则，则.故，变形得到.故选：D.6．（24-25高三上·河北·月考）已知是定义在上的导函数，同时，对任意，则必有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于的定义域为，且，故，因此，因此为单调递减函数，由于，故，即，故选：D7．（24-25高三上·湖南·月考）已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，即，令，则，所以在上单调递增，由于，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又，故与2的大小关系不确定.故选：D.8．（23-24高三下·江西新余·模拟猜测）已知定义在R上的函数fx,gx处处导数存在，，则下列状况肯定成立的是：（A． B．C． D．【答案】A【解析】，令，则，故单调递增，又h1=0所以，即，移项可得A选项正确，B选项错误；另外，，，由于与0的大小关系不确定，故C、D无法推断.故选：A9．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，由于，所以，所以在0,+∞上单调递增，，即，又，则，所以，即，所以，解得.故选：.10．（24-25高三上·重庆·期中）设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，∵，∴，，函数在R上单调递增，又，∴，由，可得，即，又函数在R上单调递增，所以，即不等式的解集为.故选：A．二、填空题11．（23-24高三下·陕西西安·模拟猜测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是.【答案】【解析】由知是奇函数，，设，则，在上单调递增，由得，即，，得的取值范围是.12．（24-25高三上·海南·期中）已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为【答案】【解析】令，则，所以函数在R上单调递增，由于，故原不等式等价于，所以，所以不等式的解集为.13．（24-25高三上·河南信阳·月考）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是.【答案】【解析】令函数，由于，时，所以，所以函数在上单调递减，又由于，所以函数，所以为偶函数，依据偶函数的对称性，可得在上单调递增，若则，整理得，所以，两边平方可得，解得，即实数的取值范围为.14．（23-24高三上·河北沧州·期中）定义在上的可导函数满足：且，则的解集为.【答案】【解析】依据题意，由，可得，设，可得，则在上单调递减，又由，可得，当时，可得；当时，可得，当时，不等式的解集与的解集相同，所以不等式的解集为.15．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）函数在上的导数为，若，且，则.【答案】2025【解析】令，由，且，则，所以在上单调递增，由不等式，则，可得，解得.故答案为：.16．（23-24高二下