重难点2-3 利用导数研究曲线的切线问题（6题型+高分技法+限时提升练）（教师版）

重难点2-3利用导数争辩曲线的切线问题三年考情分析2025年考向猜测切线问题在高考中频繁消灭，主要以选择题和填空题的形式考查，部分题目结合解答题的第（1）问消灭．题目难度适中，重点考查同学对导数几何意义的理解和应用力量．估计2025年高考中，切线问题的考题形式及内容不会有太大的变化，连续考查曲线在给定点处的切线方程，可能涉及参数化问题、结合函数的单调性、极值等性质考查切线问题．题型1“在”点P处的切线问题求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率；其次步（写方程）：用点斜式；第三步（变形式）：将点斜式变成一般式．1．（24-25高三上·江苏盐城·月考）曲线在处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，所以，所以曲线在处的切线的斜率为，当时，，所以切点为，所以切线方程为，即.故选：.2．（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，由于，所以，所以切线方程为，即，故选：D.3．（24-25高三上·山东泰安·模拟猜测）已知函数，则曲线在处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，故，故在处的切线方程为，即.故选：B4．（24-25高三上·广东·月考）函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，，则的图象在点处的切线方程为，即，令，得，令，得，则该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，故选：C.题型2“过”点P处的切线问题求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；其次步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：依据直线的点斜式方程，得切线方程为．1．（23-24高三下·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为．【答案】【解析】设切点的坐标为，由，，所以过切点的切线方程为：，把代入得：−2t=−t所以，则切点坐标为：即.2．（23-24高三下·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则.【答案】【解析】由于，所以，所以在点处的切线方程为.又切线过原点，则，所以.3．（24-25高三上·陕西西安·一模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为．【答案】或【解析】∵，∴.设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为，∴过点的切线方程为，即，又点在切线上，∴，整理得，∴，解得或；∴所求的切线方程为或.4．（24-25高三上·江苏苏州·模拟猜测）过点且与曲线相切的直线方程为（

）A． B．7x−4y+9=0C．或7x−4y+9=0 D．或4x−7y+24=0【答案】C【解析】设过点1,4的曲线y=f(有3x02+11−代入可得或7x−4y+9=0题型3切线的平行与垂直问题对于平行问题，利用导数求出切线斜率，将斜率相等作为条件建立方程求解；对于垂直问题，利用两切线斜率乘积为的条件建立方程．同时，结合函数图像和几何性质，机敏运用数形结合思想，快速定位关键点和条件，从而高效解决问题．1．（24-25高三上·广西河池·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直，则．【答案】【解析】函数fx=lnx的导数为，故函数在点1,0由于切线与直线垂直，所以.2．（23-24高三下·广东肇庆·模拟猜测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【解析】由，求导，则在点处的切线的斜率为，而在点处的切线与直线垂直,则，故.故选：D3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知曲线C：在点A处的切线与直线平行，则该切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依据题意可得，设Ax0,y0，则所以，所以，故所求切线方程为，即.故选：D.4．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，其中，则，直线的斜率为，由，可得，且，即点，所以，直线的方程为，即.故选：B.题型4依据切线条数求参数已知，过点，可作曲线的（）条切线问题第一步：设切点其次步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.依据直线的点斜式方程得到切线方程：.第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解．1．（24-25高三上·四川内江·模拟猜测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设切点，由于，所以，所以点P处的切线方程为，又由于切线经过点，所以，即，令，则与有两个不同的交点，，当时，恒成立，所以单调递增，不合题意；当时，当时，，当时，，所以，则，即，故选：B2．（24-25高三上·福建安溪·月考）若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设过点P的直线与曲线相切于点，则=，其中表示直线的斜率，即，整理，得.过点P可作3条直线与曲线相切等价于方程有3个不同的实数根.设，则.由，得或，易知和是的两个极值点.方程有3个不同的实数根，即有3个不同的零点，所以，即，解得.故选:B．3．（24-25高三上·湖南岳阳·月考）已知过点可以作函数的三条切线，假如，则a和应当满足的关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设切点，由可得切线方程为，将代入得，整理得，设，，令，解得或，由于，所以在，单调递减，在单调递增，由题意得有3个不相等的实数根，则有，即.故选:D.4．（24-25高三上·黑龙江·模拟猜测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是【答案】【解析】，则过的切线为，即.由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根.令，，由得或.当或，，单调递增；当，，单调递减；故当时，函数取得极大值为；当时，函数取得微小值为.要使有3个不等实根，则，即得，即所求m的取值范围是.故答案为：.题型5两条曲线的公切线问题已知和存在（）条公切线问题第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点；其次步：求公切线的斜率与；第三步：写出并整理切线（1）整理得：（2）整理得：第四步：联立已知条件．1．（24-25高三上·山东聊城·月考）已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【解析】当时，曲线与曲线有唯一交点，当时，由于和在0,+∞上单调递增，故函数在0,+∞上单调，由于曲线在0,+∞上单调递增，且两曲线有相同切线，所以函数在0,+∞上单调递增，故，，，与的交点为，，在处的切线斜率，，，解得：.记，则，所以在0,+∞上单调递减，故有唯一解，即曲线与曲线有唯一交点，满足题意.故选：D.2．（24-25高三上·河北邯郸·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依据题意，设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，而的导数为，的导数为，所以两曲线的切线分别为，两条切线对应相同，可得，解得，所以切线方程为，即，则.故选：C.3．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数，，若过点的直线与曲线y=fx和y=gx均相切，则实数的值为（

）A．−2 B． C．1 D．2【答案】C【解析】设直线与图象相切的切点为，由，则切线斜率为，切线方程为，即，又，且，即，所以过点与曲线相切的直线方程为，联立解得，所以，设,当单调递增，当单调递减，所以，故，当且仅当时取等号，故由得，所以.故选：C4．（24-25高三上·山西运城·期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设公切线与曲线与的交点分别为，，其中，对于，得，则与相切的切线方程为，即，对于，得，则与相切的切线方程为，即，由公切线，得，，有，，令，则，令，得，当时，单调递增，当时，单调递减.所以，故，即.故选：C.题型6与切线有关的距离最值利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线．1．（24-25高三上·甘肃白银·模拟猜测）已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知，，令，得，又，可得点，所以点到直线的距离最短为.故选：A.2．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）已知，若实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．8【答案】C【解析】由题意，点在曲线上，点在直线上，的几何意义就是曲线上的点Px,y与直线上的点两点间的距离的平方.当点为曲线平行于直线的切线的切点，且直线垂直于直线时，两点间的距离才可能最小.又，令，解得或（舍去），所以切点为.切点到直线的距离就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离，故的最小值为.故选：C.3．（23-24高三下·江苏泰州·模拟猜测）曲线上的点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，设该曲线在点处的切线为，需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2，所以，解得，则切点为，故切线的方程为，即，所以直线到直线的距离为，即该曲线上的点到直线的最小距离为.故选：C4．（24-25高三上·河南·月考）已知A是函数图象上的一点，点B在直线上，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】设上一点处的切线与平行，则，则，令，明显，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，当时，恒成立，易知只有1个零点，即0，所以，故点坐标为0,3，的最小值为A0,3到直线的距离，即，故选：D（建议用时：60分钟）一、单选题1．（24-25高三上·四川·模拟猜测），则在x=1处切线方程为（

）A． B．C．x=1 D．【答案】A【解析】由于，所以，，所以，所以函数fx在x=1处的切线方程为，即.故选：A.2．（24-25高三上·江西景德镇·模拟猜测）过点且与曲线相切的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，点不在曲线上，设切点为，则，解得：，得切点，则切线方程为：，故选：．3．（24-25高三上·河南·月考）曲线在处的切线经过点，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】，由导数几何意义知，在处的切线斜率为，当时，切线经过点，故有，解得.故选：C．4．（24-25高三上·湖北·期末）函数在处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数，求导得，在处的切线斜率为，又在处的切线与直线垂直，所以，解得.故选：B.5．（24-25高三上·山西·月考）曲线与的公切线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，则，设切点坐标为，切线斜率为，可得切线方程为，即；由于，则，设切点坐标为，切线斜率为，可得切线方程为，即；由题意可得：，解得，所以公切线的斜率为.故选：A.6．（24-25高三上·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】设直线与曲线的切点为.对求导，依据，可得.由于直线的斜率为，由导数的几何意义可知，在切点处，即.又由于切点既在直线上又在曲线上，所以且，即.将代入可得：，即.将代入可得：，所以当，时，取得最小值为.故选：A7．（24-25高三上·内蒙古·开学考试）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】由于点是曲线上任意一点，所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小．由于直线的斜率等于1，曲线的导数，令，可得或(舍去)，所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为，所以点P到直线的最小距离为.故选：D.8．（24-25高三上·重庆·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设切点为,对求导可得：,切线的斜率为，可得切线方程为：，把点代入可得，化为,令，,令得;令得所以函数在上单调递增,在上单调递减,可得时函数取得极大值.当时,,当时,.时，与函数的图象最多有一个交点,不符合题意,舍去.时,由过点可以作曲线的两条切线,与函数的图象有两个交点，.故选：C.二、多选题9．（24-25高三上·河北·月考）若直线与曲线相切，则的值可以为（

）A． B．2 C．4 D．5【答案】AD【解析】函数，求导得，设直线与曲线相切的切点为，则曲线在点处的切线方程为，依题意，，解得或，所以的值可以为或5.故选：AD10．（24-25高三上·甘肃天水·期中）若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；由的导数为，而，解得，故B正确；由的导数为，而有解，故C正确；由的导数为，而，解得，故D正确，故选：BCD11．（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】令，则，设切点为，所以切线方程为，切线过点，代入得，即方程有两个解，则，解得或.故选：BCD.三、填空