重难点02 奇偶性、对称性和周期性（5大题型12考点）（教师版）

1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简洁的应用．3.把握函数的轴对称和中心对称公式和推论.4.会利用对称公式解决问题．1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，假如∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，假如∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.常见奇偶性函数模型.(1)奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．(2)偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数.1.周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，假如存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2.最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);1．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.2．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.函数奇偶性的推断例1(多选)下列命题中正确的是()A．奇函数的图象肯定过坐标原点B．函数y＝xsinx是偶函数C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D．函数y＝eq\f(x2－x,x－1)是奇函数【答案】BC【解析】对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；对于B，由于函数y＝xsinx的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以C正确；对于D，函数y＝eq\f(x2－x,x－1)满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确．推断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)推断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在推断奇偶性的运算中，可以转化为推断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．【类题演练1】（2025·湖北武汉·模拟猜测）函数（

）A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数【答案】A【分析】借助函数奇偶性的定义可推断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性.【详解】的定义域为，，为偶函数；当时，在区间上单调递增.故选：A.【类题演练2】（2025·北京海淀·二模）函数是（

）A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点【答案】B【分析】依据函数奇偶性定义计算以及极值点定义推断即可.【详解】当时，，则，当时，，则，所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.

故选：B.【类题演练3】（2025·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先推导出，即函数的对称中心为，再依据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可推断.【详解】由于定义域为，则，所以函数的对称中心为，所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，该函数的对称中心为，故函数为奇函数.故选：A.【类题演练4】（2025·河南·模拟猜测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则下列结论错误的是（

）A． B．为偶函数C．为奇函数 D．【答案】C【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此推断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义推断选项B，C.【详解】由于，，取，可得，又，所以；A对；取，可得，由于，所以，所以为偶函数，C错，B对；取，可得，又，；所以，D对；故选：C.函数奇偶性的应用例2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】A【分析】由已知为偶函数，可得，列方程求解即可.【详解】由，得，由于为偶函数，所以，即，所以，解得.故选：.已知函数的奇偶性求参数：方法一：特殊值法；方法二：定义法.【类题演练1】（2025·四川绵阳·模拟猜测）已知函数是奇函数，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知函数结合奇函数的定义，即可求解．【详解】由于是奇函数，所以，所以，即，所以.故选：A.【类题演练2】（2025·山东菏泽·模拟猜测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据是奇函数求出的值，再求出的定义域即可求出的取值范围.【详解】，，即，即，，，是定义在区间上的奇函数，，即，，解得（舍）或，的定义域为，.故选：D.【类题演练3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】定义在R上的函数是奇函数，所以，由此可得的值，进而由可得的值.【详解】由于是定义在R上的奇函数，所以，解得，则，，所以.故选：B.例3．（2025·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，利用时，和可求得的解析式.【详解】设，则，所以，又函数是奇函数，所以，即，.即.故选：C【类题演练1】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依据奇函数定义，结合的解析式直接求解即可.【详解】当时，，，又为奇函数，，即当时，.故选：B.【类题演练2】（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据题意可得，由函数的奇偶性可得，解之即可求解.【详解】由题意知，为奇函数，为偶函数，则，所以，即，解得.故选：B例4．（2025·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先推断函数的奇偶性与单调性，再依据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】函数的定义域为，且，所以为偶函数，当时，由于与在上单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递减，不等式，即，等价于，解得或，所以不等式的解集为.故选：C【类题演练1】（2025·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可.【详解】，在上单调递增.令，在上单调递增，由于，所以为奇函数，则化为所以，解得，.故选：C【类题演练2】（2025·江西·模拟猜测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.【详解】由，可得，由于是奇函数，且，所以，由于在上单调递增，所以，故不等式的解集为．故选：D【类题演练3】（2025·安徽安庆·三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依据图象经过点得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式即可求解.【详解】由题意知，解得，所以，其在上单调递增，又由于，所以函数为奇函数，，所以不等式可化为，于是，即，解得或.故选：C．【类题演练4】（2025·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且，则不等式的解是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分析不等式在上的解，再依据对称性得出不等式在上的解即可.【详解】由于在上是增函数且，所以在范围内的解为.由于函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为，所以不等式在R内的解为.故选：C函数的对称性例5．（2025·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为增函数 B．有两个零点C．的最大值为2e D．的图象关于对称【答案】D【分析】利用导数争辩函数的单调性，结合选项依次计算，即可求解.【详解】A：，令，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；B：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以函数在R上没有零点，故B错误；C：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即函数的最小值为，故C错误；D：，所以函数图象关于直线对称，故D正确.故选：D【类题演练1】（2025·四川泸州·一模）函数的对称中心为．【答案】【分析】依题意可得，再依据幂函数的性质及函数的平移变换推断即可.【详解】由于，则的图象可以由函数向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，由于为奇函数，函数图象关于原点对称，所以关于对称.故答案为：【类题演练2】（2025·辽宁·三模）若函数的图象关于成轴对称，则的值可以为．（写出一个正确的值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】依据题意化简，依据诱导公式分别计算与，得，即可确定函数的图象关于成轴对称.【详解】由于，即，所以化简得：，又，化简得：，所以有，所以函数的图象关于成轴对称.故答案为：(答案不唯一)例6．（2025·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据题意，可得关于对称，进一步求得，结合条件求得，可求得.【详解】由，可知关于对称，又，则，又，则，，.故选：A.【类题演练1】（2025·福建泉州·模拟猜测）已知为奇函数，则（

）A．6 B．5 C． D．【答案】D【分析】依据奇函数性质对函数依次赋值即可求解.【详解】由题为奇函数，则，所以，所以关于对称，所以，故选：D.【类题演练2】（2025·全国·模拟猜测）若函数的图象关于点对称，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】特殊值法：由图象关于点对称可得代入计算求解，然后检验即可.【详解】解：的图象关于点对称，，即，解得，经检验知的图象关于点对称，故选：C.【类题演练3】（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）函数满足：对，都有，则a+b为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】依据题意易得方程组，解出方程组即可得结果.【详解】由于函数满足：对，都有，所以，即，解得，经检验满足题意，所以，故选：C.【类题演练4】若函数，则的值为（

）A．2025 B．4042 C．4044 D．8084【答案】D【分析】依据函数解析式，计算，结果等于4，推得函数图象关于点成中心对称，由此利用函数的对称性，即可求得答案.【详解】由题意函数，定义域为，则，故，即函数的图象关于点成中心对称，故，故，故选：D【类题演练5】（2025·宁夏银川·二模）已知函数的图象关于直线对称，则．【答案】/0.75【分析】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得定义域关于数对称，再利用特值求出并验证即得.【详解】函数的定义域为，由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于数对称，则，此时必有，即，解得，此时，因此函数的图象关于直线对称，即满足题意，所以.故答案为：例7．（2025·甘肃张掖·模拟猜测）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】依据函数图象的平移变换即可推断AB；令，即可推断C；依据即可推断D.【详解】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位，再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确；B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的，而函数是偶函数，关于轴对称，其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确；C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确；D：，明显，故此函数不是关于直线对称的，故D错误.故选：ABC.【类题演练1】（2025·河北衡水·一模）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】依次验证各选项中的函数是否满足即可.【详解】若的图象的对称轴方程为，则；对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，，，即不恒成立，C错误；对于D，，D正确.故选：BD.【类题演练2】（2025高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝lnx的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝．【答案】ln（4－x）【分析】利用对称的定义求解即可.【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝lnx的图象上，所以y＝ln（4－x）,即,故答案为：函数的周期性例81．（2025·全国·模拟猜测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（

）A．有零点 B．是单调函数C．是奇函数 D．是周期函数【答案】D【详解】依据狄利克雷函数的性质即可由或均为有理数求解A，依据即可推断单调性求解B，依据和同为有理数或同为无理数，即可求解C，依据和同为有理数或同为无理数即可求解D.【分析】对于A，由于或均为有理数，所以，故没有零点，A错误，对于B，由于，所以，故不是单调函数，B错误，对于C，由于和同为有理数或同为无理数，所以，故是偶函数，C错误，对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数，所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，故选：D.【类题演练】（2025·陕西西安·模拟猜测）已知函数的周期是3，则的周期为（

）．A． B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】依据函数周期的定义，求解即可．【详解】由于的周期是3，所以，令，则，所以的周期为6，故选：C．例9．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依据周期性求函数解析式.【详解】由于函数是周期为4的周期函数，所以时，，所以，即，故选：C【类题演练1】已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案．【详解】由于是定义在上的奇函数，为偶函数，所以，，即，所以，所以，可得，所以的最小正周期为，又当时，，当时，则，所以，又由是周期为的奇函数，则，故，.故选：D．【类题演练2】设奇函数的定义域为，且，当时，则在区间上的表达式为A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围转化到上，则f(x)在区间上的表达式可求．【详解】当时，，又∵当时，，又，函数的周期为，又∵函数是R上的奇函数，，当时，．故选：B．【点睛】本题综合考查函数的周期性､奇偶性，以及函数解析式的求法．要留意函数性质的机敏转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内．例10.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f(72)A.eq\f(5,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)2答案D解析∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又∵f(2－x)＝－f(x)，∴f(2－x)＝－f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，∴f(72)＝－eq\f(1,2).【类题演练】已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2023)＝________.【答案】－1【解析】由于函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用例11.（多选题）（2025·江西·模拟猜测）已知函数对任意的，，都有，且，，则（

）A． B．是奇函数 C．的周期为4 D．，【答案】ACD【分析】令，即可推断A；令，即可推断B；令，求出，再令，即可推断C；依据C选项可求出，再依据函数的周期性即可推断D.【详解】由，令，则，又，所以，故A正确；令，则，所以，所以是偶函数，故B错误；令，则，所以，令，则，所以，即，所以，所以的周期为4，故C正确；由，得，所以，故D正确.故选：ACD.【类题演练1】（2025·四川·模拟猜测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由奇函数、偶函数性质可得与，分别对两式两边求导可得与，进而可得的一个周期，结合赋值法及周期性推断各项即可.【详解】由于为奇函数，所以，①由于为偶函数，所以，②对①两边求导可得，即，③对②两边求导可得，即，④对于A项，将代入②可得，故A项正确；对于B项，将代入④可得，故B项正确；对于C项，将代入④可得，将代入③可得，所以，故C项错误；对于D项，由③可得，即，⑤所以由④⑤可得，⑥所以由⑥可得，即，⑦由⑦可得，⑧所以由⑦⑧可得，故8是的一个周期.所以，将代入④可得，即，由C项知，，将代入⑦可得，即，所以，故D项正确.故选：C.【类题演练2】（2025·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】依据函数奇偶性推出的周期为4，最终再计算出一个周期内的各值即可.【详解】由于函数为奇函数，所以有，又由于为偶函数，所以，于是有，所以函数的周期为4，由于，所以，所以，于是，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是依据奇偶性推导出周期性，再通过合理赋值求出周期内各整数值的和即可.一、单选题1．（21-22高一上·广东珠海·期末）下列函数中是偶函数的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依据函数奇偶性的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，为定义域内的单调递增函数，为非奇非偶函数，对于B，定义域为全体实数，且，故为偶函数，对于C，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，对于D，的定义域为全体实数，但是，故为奇函数，故选：B2．（2025·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可.【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为，由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意，所以当时，，所以.故选：D.3．（2025·四川乐山·一模）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依据题意，利用函数的为奇函数，及，时，，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排解A项，又由，排解B项，当时，，排解C项，所以选项D符合题意.故选：D.4．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知函数且是偶函数，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】利用偶函数的定义求解参数即可.【详解】由于且是偶函数，所以，，因此：，（舍负），故选：D．5．（2025高三·全国·专题练习）若函数满足，则的图象的对称轴是（

）A．轴 B．轴 C．直线 D．不能确定【答案】B【分析】对已知等式变形，可推断其为偶函数，再利用偶函数的性质可得答案.【详解】由于，所以，所以为偶函数，所以的图象的对称轴为轴．故选：B6．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小.【详解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，明显可得.故选：A【点睛】方法点睛：争辩抽象函数性质时，可依据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.7．（2025·宁夏石嘴山·三模）如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图案．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（

）A．对于任意一个圆，其“太极函数”有很多个B．函数可以是某个圆的“太极函数”C．正弦函数可以同时是很多个圆的“太极函数”D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形”【答案】D【分析】依据“太极函数”的概念，结合基本初等函数的性质逐项推断即可得结论.【详解】任意一个圆是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有很多个，故A正确；函数是奇函数，其图象过原点且关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则是该圆的“太极函数”，故B正确；将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数是该圆的“太极函数”，故有很多个圆成立，故C正确；函数的图象是中心对称图形，比如，不是就太极函数，即不肯定是“太极函数”，函数是“太极函数”时，图象也不肯定是中心对称图形，如图，故D错误．故选：D．8．（2025·陕西榆林·一模）定义在R上的函数，满足，，，，则下列说法中错误的是（

）A．是函数图象的一条对称轴B．2是的一个周期C．函数图象的一个对称中心为D．若且，，则n的最小值为2【答案】D【分析】由已知可推得关于直线对称，.又有.进而得出，即有，即可得出B项；依据的周期可得出的周期为4，结合的对称性，即可得出A项；由的对称中心，即可得出关于点对称，结合的性质，即可得出C项；依据的周期性以及对称性可得，，然后分争辩求解，即可推断D项.【详解】由可得，所以关于直线对称，所以关于直线对称，即关于直线对称，所以关于直线对称，所以关于直线对称，所以有，所以有，所以.又由可得，，所以关于点对称，所以.对于B项，由于，，所以，，所以，所以，的周期为，故B项正确；对于A项，由已知周期为2，所以的周期为4.由于关于直线对称，所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确；对于C项，关于点对称，所以关于点对称，所以关于点对称，所以.又关于直线对称，所以，所以，所以有，所以函数图象的一个对称中心为，故C项正确；对于D项，由C知，关于点对称，关于点对称，所以，，，所以.又的周期为4，所以对，.由于，则当时，有.由于，所以，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意.故n的最小值为3，D错误.故选：D【点睛】关键点睛：依据已知关系式可得出的对称轴，进而依据的关系，即可推得的对称轴，结合的对称中心，即可得出的周期.二、多选题9．（2025·山东·二模）已知函数，则（

）A．是奇函数 B．的最小正周期为C．的最小值为 D．在上单调递增【答案】AC【分析】对于A，直接用奇函数的定义验证；对于B，直接说明不是周期；对于C，利用正弦二倍角公式证明，再由可得最小值；对于D，直接计算得到，即可否定结论.【详解】对于A，函数定义域为，有，所以是奇函数，A正确；对于B，有，.所以，这表明不是的周期，B错误；对于C，我们有，而之前已计算得到，故的最小值为，C正确；对于D，由于，，故，所以在上并不是单调递增的，D错误.故选：AC.10．（2025·江苏·二模）已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（

）A．若2为的周期，则为奇函数B．若为奇函数，则2为的周期C．若4为的周期，则为偶函数D．若为偶函数，则4为的周期【答案】ABD【分析】对于A：由已知可得，结合周期可得可推断A；由奇函数可得，可推断B；结合已知可得结论，可推断C；由已知可得，可推断D.【详解】对于A：若2是的周期，则，由，可得，所以，所以为奇函数；故A正确；对于B：若为奇函数，则，由，可得，所以2是的周期，故B正确；若4是的周期，设，则，该函数的最小周期为，故为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正确；对于D