重难点01 函数的单调性（4大题型10大考点）（教师版）

1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性，理解实际意义.2.把握函数单调性的简洁应用．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，假如∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义假如函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．相关结论（1）∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．（2）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．（3）函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的单调性相反．（3）复合函数的单调性：同增异减．（4）函数单调性的两个等价结论：设∀x1，x2∈D（x1≠x2），则：①f(x1)-f(x2)x1-x2＞0（或（x1－x2）[f（②f(x1)-f(x2)x1-x2＜0（或（x1－x2）[f（3．易错点提示（1）求单调区间时要先求函数的定义域，单调区间肯定是定义域的子集；（2）多个单调区间一般用“和”或“，”连接，而不能用“”连接.推断函数的单调性确定函数单调性的四种方法：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．例1．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意对于AC，举出反例说明其不是偶函数即可；对于D，举出反例说明其在区间上不是增函数即可；对于B，按偶函数的定义证明并且由幂函数的单调性推断即可.【详解】对于A，，故不是偶函数，不符题意；对于B，由于幂函数满足，且其定义域为关于原点对称，所以是偶函数，且，所以在区间上是增函数，符合题意；对于C，，故不是偶函数，不符题意；对于D，，所以在区间上不是增函数，不符题意.故选：B.【类题演练1】（2025·安徽蚌埠模拟）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】依据题意，可知在上为减函数，据此分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【详解】依据题意，“对任意的，使得”，则函数在上为减函数.对于选项A，，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在上递减，符合题意；对于选项B，，其导数，所以在上递增，不符合题意；对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，不符合题意.故选：A.【类题演练2】（2025·上海奉贤·一模）函数在定义域上是（

）A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数【答案】A【分析】依据题意，分别推断函数奇偶性以及单调性，即可得到结果.【详解】令，任取，则，由于是上的严格增函数，所以，则，所以，则函数是上的严格增函数；又，即函数为奇函数，所以函数在定义域上是严格增的奇函数.故选：A例2．（2025·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（

）A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数【答案】C【分析】对A，令求解即可；对B，令化简可得即可；对C，设，结合题意推断推断即可；对D，依据是增函数推断即可.【详解】对A，令，则，得，故A错误；对B，令，得，由整理可得，将变换为，则，故，故，故是奇函数，故B错误；对C，设，则，且，故，则.又，是奇函数，故是增函数，故C正确；对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误.故选：C【类题演练1】（2025·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（

）A．函数在R上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在R上单调递增D．函数在上单调递增【答案】C【分析】依据已知设，由二次函数的性质确定AB错误；由幂函数的性质推断C正确；由反比例函数的形式确定D错误.【详解】由于是奇函数，且在区间上单调递增，所以在上也为单调递增函数，对于A：不妨令，，所以在单调递减，在单调递增，故A错误；对于B：不妨令，，所以在单调递增，在单调递减，故B错误；对于C：，其定义域为，又，所以是奇函数，取，则，，故所以，则函数在为递增函数；所以函数在也为递增函数，且当时，，所以在R上单调递增，故C正确；对于D：不妨令，，由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，故D错误；故选：C.【类题演练2】（2025高三·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，函数满足，且、在单调递减，则（

）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递淢D．在单调递减【答案】C【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知在单调递增，为奇函数，在上单调递减.设，则，，所以在单调递增，故A错误，设，则，，所以在单调递增，故B错误；设，则，，所以在单调递减，故C正确；取，则，，，此时在不单调递减，故D错误.故选：C.求函数的单调区间高次函数或超越函数可以利用导数求函数的单调区间，具体步骤是：（1）求导数；（2）求函数的定义域；（3）解不等式或；（4）写出单调区间.例3（2025湖南怀化二模）已知，则的单调增区间为．【答案】/【分析】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可.【详解】函数的定义域为，求导得，由，得，所以的单调增区间为.故答案为：【类题演练1】（2025桂林三模）函数的单调递增区间为．【答案】【分析】先确定函数定义域，利用导数与函数单调性的关系求单调增区间.【详解】函数的定义域为，，由得或（由于，故舍去），所以在区间上单调递增．故答案为：含确定值的函数可以利用函数的对称性画出函数的图像求解函数的单调区间.例4（2025海南省海口三模）函数的单调递减区间是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】将确定值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B【类题演练1】（2025宁夏固原五高三月考）函数的单调递减区间为.【答案】【分析】作出的图像，依据图像即可求出结果.【详解】由，得到或，函数的图像如图所示，由图知，函数的单调递减区间为，故答案为：.

解题过程中留意利用函数的奇偶性、周期性求函数的单调区间.例5．（2025北市第十三中学高三上学期期中）已知函数，则（

）A．是奇函数，且在上是减函数 B．是奇函数，且在上是增函数C．是偶函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是增函数【答案】D【分析】首先推断函数的奇偶性，再结合对数函数的性质说明函数在上的单调性，即可推断.【详解】函数定义域为，且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，当时，由于与在上单调递增，所以在上单调递增.【类题演练】（2025云南民族高校附中高三联考）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的单调递增区间是.【答案】【分析】由题设得是周期为8的奇函数，结合区间解析式画出大致图象，数形结合确定一个递增区间，由周期性写出递增区间.【详解】由于是定义在上的奇函数，且满足，则，所以，即，所以函数是周期为8的奇函数，作出大致图象如下图所示：依据图象知，是的一个单调递增区间，依据周期性知，的单调递增区间是.故答案为：与指数函数、对数函数相关的复合函数，可利用复合函数单调性的性质求解单调区间.例6（2025广东广州试验中学期中）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得.【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间是.故选：A【类题演练】（2025江苏省镇江中学质量检测）函数的单调增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】复合函数单调性遵循“同增异减”，外层是增函数，内层函数的增区间是整个函数的增区间，留意定义域.【详解】要满足，解得：或，又是增函数，所以只需求出的单调递增区间，的对称轴为，且开口向上，结合函数的定义域可得：的单调递增区间为故选：D已知单调性求参数例7（2025河南省中原名校高三下学期3月联考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定由和复合而成，依据复合函数的单调性，列出不等式组，即可求得答案.【详解】令，则，即由和复合而成，而在上单调递增，故要使得函数在上单调递减，需满足在上恒成立，且在上单调递减，即得，解得，即，故选：A【类题演练1】（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（三）数学试题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据对数型复合函数的单调性得到不等式组，解得即可.【详解】由于在上单调递增，而在上单调递增，函数在上单调递增，所以，所以，故的取值范围是.故选：A．故选：D【类题演练2】（2025湖南长沙明德中学期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据复合函数的单调性可得且，解之即可求解.【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减，所以且，解得．即实数a的取值范围为故选：B【类题演练3】（2025湖北宜荆高三5月联考）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可.【详解】若在上单调递增，则必定在处有定义，所以，即；若，则当时，所以在上有定义，再由知在上单调递增，所以在上单调递增.故选：C.【类题演练4】（2025湖南省衡阳市名校联考联合体联考）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复合函数的单调性求解即可.【详解】令函数，该函数在上单调递增，在上单调递减.当时，要使在上单调递增，则在上单调递增，且时，，故，解得.故选：D例8（2025陕西省铜川高三三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.【详解】函数在上单调递减，解得.故选：C.【类题演练】）已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数，由于函数在定义域内是增函数，则满足，解得，即实数的取值范围为.故选：C．例9（2025重庆西南高校附属中学模拟）已知函数在区间单调递增，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由题意将问题转化为在区间上恒成立，利用分别参数法，结合导数争辩最值即可得到答案.【详解】由于函数在区间单调递增，所以在区间上恒成立，即，令，，则，所以在上单调递增，则，故，即的最大值为，故选：B【类题演练1】（2025海南海口海南中学高三上学期第四次月考）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，求出取值范围即可.【详解】由于函数在上为减函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，所以，所以在上单调递减，所以，故，所以的取值范围是.故选：D.【类题演练2】若函数在区间上单调递增，则的最小值为.【答案】【分析】由函数在区间上单调递增，转化为对恒成立，求参数的取值范围即可.【详解】由于函数在区间上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，与目标式比较，令，得，因此令(等比例赋值法),则.(时等号成立).所以的最小值为.故答案为：【类题演练3】若函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】先将问题转化成求或在上恒成立，留意到，从而转化成在上恒成立，从而求得，再求其补集，即可解决问题.【详解】若在上单调函数，则或在上恒成立，由题意，，留意到，所以只能恒成立，即在上恒成立，所以，解得：，由于在上不是单调函数，所以的取值范围是.故答案为：.单调性的应用比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．例10（2025四川省成都石室中学高三上学期月考）已知函数，设，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先争辩函数的性质，利用奇偶性对函数值进行等价变形，最终利用单调性进行比较大小.【详解】解：已知的定义域为，且，所以函数为偶函数，当时，函数为增函数，所以，.由于在定义域上为单调递增函数，所以，即，由于在上为增函数，所以，由于在定义域上为单调递增函数，所以，所以，依据函数在上为增函数，所以，所以.故选：A．【类题演练1】（2025陕西西安三模）已知函数，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据给定条件，利用函数的奇偶性、单调性比较大小即得.【详解】函数的定义域为，，函数是偶函数，当时，是增函数，而，所以，即.故选：A【类题演练2】（2025云南高三诊断性联考）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依据条件推断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.【详解】当时，，所以在上单调递增；又有为上的偶函数，所以在上单调递减.由于我们有，即，故.而，，，故.故选：C.【类题演练3】（2025安徽省A10联盟三模）数学试题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，即可得解.【详解】由，即，令，则在上恒成立，故在上单调递增，则有，即，令，则在上恒成立，故在上单调递减，则有，即，故.故选：A.求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应留意函数的定义域．例11（2025新疆喀什地高三下学期4月适应性检测）已知函数，满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先结合幂函数和对数函数的性质得到函数为单调递增函数，则得到，解出即可.【详解】当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递增，且，则时，单调递增，若有，则有，解得，故选：A.【类题演练】已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函数的图象，利用图象推断函数的单调性，再由函数的单调性可得出结论.【详解】作出函数的图象如图所示，由图可知，函数在R上单调递增，由于，所以等价于，即，解得，所以不等式的解集是．故选：D．

例121．（2025·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先对内函数对应的方程的根的状况分类争辩，得出时，结果为16，对于时，求出两根，依据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.【详解】若，即时，，其对称轴为，，此时，因，故的最小值为16；若，由可得，（Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，又，①当时，，故，而在上单调递减，则此时，；②当时，，故，而在上单调递增，则此时，.（Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则此时，而在上单调递减，则.综上，函数最大值的最小值为8.故选：D.【点睛】方法点睛：本题主考查确定值函数在给定区间上的最值问题，属于难题.解决确定值函数的方法，主要是依据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类争辩去掉确定值，再利用函数的单调性，即可求其最值.【类题演练1】（2025·全国·模拟猜测）已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：令，求出，令，可证得函数是奇函数，再由单调性的定义可得函数在上单调递增，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围；法二：令可得函数的单调性，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围.【详解】法一：令，得，所以；令，则有，即，则，故是定义在上的奇函数．设，则，又当时，，则有，即，则，故在上单调递增．所以当时，．又由于存在，使得成立，所以，解得．故选D．法二：令，则．由于，当时，，所以，即函数在上单调递增．由于存在，使得成立，所以为在区间上的最大值．由于在上单调递增，，所以，所以．解得，即实数的取值范围为．故选：D．【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由赋值法证得函数在上单调递增，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围.【类题演练2】（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知函数，有最大值，并将其记为，则说法正确的是（

）A．的最小值为，的最大值为2 B．的最大值为，的最小值为C．的最大值为，的最大值为2 D．的最小值为，的最小值为【答案】B【分析】先求出的增减状况，再结合题意可得到，从而可求解.【详解】由题意知，当时，，求导得，当，，当，，当，，所以在区间，单调递减，在单调递增，由题意知当时，为增函数，由于函数有最大值，则可得当时，，此时，令，解得，或，令，解得或，当时，此时的最大值为，当时，此时的最大值为，当时，此时的最大值为，当时，此时的最大值为，当时，此时无最大值，综上：的最大值为，的最小值为.故B正确.故选：B.【类题演练3】（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先推断的单调性，即可得出答案.【详解】当时，在上单调递增，此时，，当时，在上单调递减，此时，，综上可知，的最大值为.故选：B.一、单选题1．（2025·北京东城·二模）下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依据基本初等函数的单调性推断A、B、D，利用导数推断C选项的单调性.【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：在定义域上单调递减，故B正确；对于C：，则，当时，所以在上单调递增，故C错误；对于D：在定义域上单调递增，故D错误.故选：B2．（2025·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】由于函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.4．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解.【详解】由题意可得：，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.5．（2025·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一：推断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.解法二：特值排解法.【详解】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，因此函数是R上的增函数，由，得，解得，所以原不等式的解集是.故选：A解法二：特值当时，，排解B，D，当时，，排解C，对A：当时，，由于函数是R上的增函数，所以，故A成立.故选A．6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，依据题设得到在上单调递增，进而得到在上恒成立，再利用几何法或转化成求函数的最值来处理，即可解决问题.【详解】由于，不妨设，则有，即，令，由函数单调性可知，在上单调递增，则在上恒成立.法一：若，则，又过点且与相切的切线方程为，由函数图象可知，只需即可.法二：若，则，令，，若，则，在上单调递增，，符合题意，所以；若，令，则，所以在上单调递减，所以当时，，不合题意，舍去，综上.法三：若，则，令，则，令，，所以在上单调递增，，则，所以在上单调递增，由洛必达法则知，所以.故选：7．（2025·广东深圳·模拟猜测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.【详解】由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值.又由于函数在区间上单调递增，所以当时，.综上可得函数的最小值为.由于，使得成立，所以，解得：或.故选：C.8．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，利用导函数小于0在上有解求解即得.【详解】函数，求导得，由函数在上存在单调递减区间，得在上有解，即不等式在上有解，而函数在上单调递减，当时，，则，所以的取值范围是.故选：D【点睛】结论点睛：若函数在区间上存在单调递增区间，则，使得成立；若函数在区间上存在单调递减区间，则，使得成立.二、多选题9．（23-24高三下·湖北·开学考试）设函数且在区间上单调递减，则的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用导数可求得的单调性，由此可得的大致图象；分别在和的状况下，依据复合函数单调性可确定的单调性，结合的图象可构造不等式组求得的范围.【详解】令，，，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；令，解得：或，的大致图象如下图所示，

当时，若在上单调递减，则在上单调递减，，解得：；当时，若在上单调递减，则在上单调递增，或，解得：；综上所述：实数的取值范围为，可能的取值为和.故选：AC.10．（2025·浙江杭州·二模）已知函数对任意实数均满足，则（

）A． B．C． D．函数在区间上不单调【答案】ACD【分析】令等价于，则，可推导出，进而可推断A，利用赋值法