信息必刷卷04（北京卷）学生版

绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷（北京卷）数学考情速递高考·新动向：试卷的题型与去年高考题型全都，即10道选择、5道填空、6道大题的试卷结构所占分值分别为40分、25分、85分。试卷由基础题、中档题以及少量拔高题组成。高考·新考法：试卷既对数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想）做了全方位的考查，同时渗透考查新课程改革中数学抽象、规律推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养，充分体现了北京高考对力量的全面考查。命题·大猜测：本套试卷60%左右为基础题，解答题侧重对综合力量的考查，强调数学思想与核心素养，不仅考查了具体的数学学问，更突出了数学思想的应用和六大核心素养的考察，这有助于同学形成系统的数学思维，提升解决问题的力量。（考试时间：120分钟试卷满分：150分）留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．若复数是纯虚数，则实数（

）A．1 B． C．2 D．3．下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（

）A． B． C． D．4．已知角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．5．过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（

）A． B． C． D．6．设，为非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．28．2025年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开头，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加.记甲、乙两公司在2025年第个月的盈利分别为，（单位：万元）.已知，，则最大时，的值为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．9．已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（

）A．是平行四边形，且周长为B．是平行四边形，且周长为C．是等腰梯形，且周长为D．是等腰梯形，且周长为其次部分（非选择题共92分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知抛物线过点，则拋物线的准线方程为.12．已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为．13．若的开放式中存在常数项，则正整数的一个取值是，且此时常数项等于.（用数字作答）14．在三棱锥中，底面，则异面直线与所成角的大小为；点到平面的距离为.15．已知无穷数列满足.给出下列四个结论：①存在，使得集合中有无穷多个元素；②存在，使得集合中有有限个元素；③对于任意的，集合中至多有一个元素；④当时，集合.其中全部正确结论的序号是.三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在中，，，.(1)求，的值和的面积；(2)求的值.17．（14分）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．18．（13分）随着科技的飞速进展，人工智能已经渐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解老师对AI大模型使用状况，现从某地区随机抽取了200名老师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的状况统计如下：使用AI大模型的种数性别01234男427231610女648272415在上述样本全部使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型种类ABCD人次32303028用频率估量概率.(1)从该地区老师中随机选取一人，估量至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；(2)从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的老师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望；(3)从该地区男，女老师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明）19．（15分）已知椭圆的左焦点为，点，三等分椭圆的短轴，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作与轴不垂直的直线与椭圆交于点，，椭圆上是否存在点，使得恒有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.20．（15分）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.21．（15分）已知有穷数列，从数列中选取第项，第项，，第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的