数学物理方法 课件 10积分变换法

目录第10章

积分变换法10.1傅里叶变换法10.2拉普拉斯变换法10.3联合变换法第2篇

数学物理方程10.1傅里叶变换法10.1傅里叶变换法在第六章中，我们介绍了傅里叶积分变换。如果一个函数

f(x)是无界区域-∞<x<∞中的分段光滑的函数，则可以进行如下傅里叶积分变换其中像函数F(k)为下面通过几个典型的例子，说明如何利用傅里叶积分变换方法来求解无界区域中泛定方程的定解问题。利用傅里叶积分变换法求解一维无界区域中的波动问题解：根据傅里叶变换式(10.1-1)，令10.1傅里叶变换法将其代入式(10.1-3)，则可以得到其中分别为初始位移和初始速度的傅里叶变换。方程(10.1-5)的通解为其中系数A(k)及B(k)由初始条件确定10.1傅里叶变换法由此可以解得将式(10.1-8)代入式(10.1-7)，并进行反演，有

这样，最后该波动方程的解为这种形式的解称为达朗贝尔公式。可见，一旦知道了初始时刻(t=0)的振动位移ϕ(x)和振动速度ψ(x)，那么任意时刻t的解u(x，t)就完全确定了。10.1傅里叶变换法求解无限长细杆的热传导问题解：对该方程及初始条件同时作傅里叶变换，则定解问题变为其中为初始温度的傅里叶变换。方程(10.1-12)的解为对上式进行傅里叶变换反演，可以得到10.1傅里叶变换法这就是无限长细杆热传导定解问题(10.1-11)的形式解。利用式(10.1-13)，可以进一步得到利用积分公式[见式(4.4-8)]则最后得到无限长细杆的温度分布为可见，一旦知道了初始时刻(t=0)的温度分布ϕ(x)，由上式就可以确定t>0以后任意时刻的温度分布u(x，t)。10.1傅里叶变换法一个位于y=0的无限大金属平板，其上电势分布为

f(x)。确定上半平面(y>0)的电势分布。解：根据题意，上半平面的电势分布u(x，y)服从如下拉普拉斯方程及边界条件该定解问题在x

轴方向是无界的，而在y轴方向则是半无界的。将方程(10.1-17)作关于x

的傅里叶变换，有其中为原函数

f(x)的傅里叶变换。考虑到边界条件，方程(10.1-18)的解为10.1傅里叶变换法进行反演后，并将式(10.1-19)代入，则有而这样，最后上半平面中的电势分布为10.1傅里叶变换法求解三维无界空间中的波动问题解：借助于第六章引入的三维无界空间中的傅里叶变化，可以把上面的定解问题转化为其中改变上式中的积分顺序，则有10.1傅里叶变换法为初始位移和初始速度的像函数。由式(10.1-22)可以解得再进行逆变换将式(10.1-23)代入，有10.1傅里叶变换法借助δ

函数的定义，可以证明有[见式(5.4-21)]其中r0=at。将式(10.1-25)及式(10.1-26)代入式(10.1-24)，并考虑到t>0，则可以得到10.1傅里叶变换法其中r0=at。将式(10.1-25)及式(10.1-26)代入式(10.1-24)，并考虑到t>0，则可以得到由于δ(|r-r'|-at)的出现，上式右边的积分只需在以r

为圆心、以at为半径的球面Sat

上进行，即其中dSat

=r0sinθ0dθ0dφ0。θ0

和φ0

分别是矢量r0

的极角和方法角，r0=at。式(10.1-27)称为泊松公式。式(10.1-27)表明，只要知道了初始时刻(t=0)的波动状态，即初始位移ϕ(r')和初始速度ψ(r')，将它们在球面Sat

上积分，就可以得到以后任意时刻(t>0)的波动状态u(r，t)。10.1傅里叶变换法求解三维无界空间中的热传导问题解：借助于三维空间中的傅里叶变换，可以把定解问题转化为其中为初始温度的傅里叶变换。由式(10.1-29)，可以得到10.1傅里叶变换法再进行逆变换，并利用式(10.1-30)，有注意到积分则最后可以得到在一维情况下，上式即可以退化为式(10.1-16)。10.1傅里叶变换法求解无限长细杆的非齐次热传导方程的解其中

f(x，t)为已知的热源分布函数。解：对该方程进行傅里叶变换，可以得到其中

将上式两边对时间t积分，并利用初始条件，有10.1傅里叶变换法将式(10.1-35)代入上式，有最后再进行反演，则得到可见，一旦知道了源函数

f(x，t)的形式，由上式即可以确定在任意地点x

和任意时刻t的温度分布u(x，t)。由以上讨论可以看出，傅里叶变换法求解定解问题的步骤如下:(1)借助于傅里叶变换把偏微分方程变换成一个关于时间变量的常微分方程;(2)求解这个一阶或二阶常微分方程，并由初始条件确定积分常数;(3)进行傅里叶反演，确定出定解问题的解。在傅里叶积分变换法中，泛定方程可以是齐次的，也可以是非齐次的，但物理量的变化区域必须是无界的。10.2拉普拉斯变换法10.2拉普拉斯变换法本节介绍采用拉普拉斯变换法求解偏微分方程的定解问题。不管方程是齐次的还是非齐次的，所选的区域是无界的还是半无界的，原则上都可以采用拉普拉斯变换法。但实际情况下，由于拉普拉斯变换的反演过程极为复杂，使得这种方法的应用也受到一定的限制。现在考虑一个随空间变量x

和时间变量t变化的函数u(x，t)，其中变量x

的变化范围可以是无界的或半无界的，而时间t的变化范围是(0，∞)。根据第六章给出的拉普拉斯变换的定义式，原函数u(x，t)与像函数U(x，p)之间的变换关系由下式给出其中Rep>0。下面通过几个典型的例子，说明如何利用拉普拉斯积分变换方法来求解无界或半无界区域中泛定方程的定解问题。求解半无限长细杆的热传导定解问题10.2拉普拉斯变换法解：对上述定解问题作关于时间t的拉普拉斯变换，则有其中F(p)是

f(t)的像函数。考虑到在x

→∞时，定解应该有限，则由式(10.2-3)可以得到利用反演公式[见式(6.4-3)及式(6.4-4)]及拉普拉斯变换的卷积定理，可以得到10.2拉普拉斯变换法这就是半无限长细杆中的温度分布。式(10.2-6)也适用于半无界区域中扩散过程的定解问题。在式(10.2-2)中，如果取u|x=0=u0(常数)，则由式(10.2-6)可以得到令并代入式(10.2-7)，有

10.2拉普拉斯变换法采用拉普拉斯变换法求解无限长细杆的非齐次热传导问题其中

f(x，t)为已知的热源分布函数。解：对方程(10.2-9)作关于时间t的拉普拉斯变换，则有这是一个二阶非齐次常微分方程。考虑到该方程的解在x

→±∞时应有界，则它的一般解为(见

§5.4节中的例4)对上式进行拉普拉斯反演，并利用则得到这与用傅里叶变换法得到的结果一致，见

§10.1节的例6。10.2拉普拉斯变换法利用拉普拉斯变换法求解一维无界区域中的波动问题解：对泛定方程进行拉普拉斯变换，并利用初始条件，则有该方程为一个二阶非齐次常微分方程。考虑到该方程的解在x

→±∞时应有界，则它的一般解为10.2拉普拉斯变换法利用及对式(10.2-14)进行反演，可以得到这正是

§10.1节中得到的达朗贝尔公式。利用拉普拉斯变换，还可以求解有界区域中偏微分方程的定解问题。10.2拉普拉斯变换法利用拉普拉斯变换求解有限长度细杆的热传导问题解：对定解问题进行拉普拉斯变换，并考虑到初始条件，则得到这是一个二阶非齐次常微分方程，它的解由两部分组成，即对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。对应的齐次方程通解为10.2拉普拉斯变换法可以设非齐次方程的一个特解为将该特解代入非齐次方程(10.2-17)中，可以确定出系数为这样非齐次方程(10.2-17)的通解为再考虑到边界条件，有c1=c2=0，这样有最后，再进行拉普拉斯反演，可以得到可以验证，这与用分离变量法得到的结果是一致的。由以上讨论可以看出，利用拉普拉斯变换法求解定解问题的步骤如下:(1)借助于拉普拉斯变换把偏微分方程变换成一个关于空间变量的二阶常微分方程，同时包括了初始条件;(2)求解这个常微分方程，并考虑方程的解在x

→±∞时有界;(3)进行拉普拉斯反演，确定出定解问题的解。在拉普拉斯积分变换法中，泛定方程可以是齐次的，也可以是非齐次的;考虑的区域可以是无界的，也可以是有界的。10.3联合变换法1.傅里叶

拉普拉斯积分联合变换法求解三维无界空间中的受迫振动问题解：对上述定解问题进行傅里叶

拉普拉斯积分联合变换，并在拉普拉斯变换中考虑初始条件，则有其中U(k，p)和F(k，p)分别是u(r，t)和

f(r，t)在联合变换下的像函数。由式(10.3-2)可以得到

其次，对上式进行傅里叶反演，有1.傅里叶

拉普拉斯积分联合变换法最后，再将代入，则有利用积分结果[见式(5.4-21)]则可以把式(10.3-6)进一步化简为式(10.3-7)就是所谓的推迟势，其中要求t-|r-r'|/a

≥0。上式表明，在r'点产生的源，以速度a

传播，并在t-|r-r'|/a

时刻以后才能在r点被观察到。1.傅里叶

拉普拉斯积分联合变换法求解三维无界空间中的非齐次热传导问题解：对上述定解问题进行傅里叶

拉普拉斯积分联合变换，并在拉普拉斯变换中考虑初始条件，则有其中U(k，p)和F(k，p)分别是u(r，t)和

f(r，t)在联合变换下的像函数。由式(10.3-9)可以得到

其次，对上式进行傅里叶反演，有1.傅里叶

拉普拉斯积分联合变换法再将代入，则得到利用积分结果则式(10.3-12)变为对于一维情况，上式即可以退化为式(10.2-12)。2.傅里叶级数-傅里叶积分变换法求解如下二维区域中泊松方程的解解：由于该问题在x

轴方向是有界的，而在y轴方向是无界的，因此可以将函数u(x，y)关于变量x

的傅里叶级数和关于变量y的傅里叶积分，即类似地，也可以把函数f(x，