数学物理方法 课件 09傅里叶级数展开法、10积分变换法

目录第9章

傅里叶级数展开法9.1强迫振动的定解问题9.2有源热传导的定解问题9.3泊松方程的定解问题9.4非齐次边界的处理第2篇

数学物理方程9.1强迫振动的定解问题9.1强迫振动的定解问题我们以一个长为l的细杆的振动方程为例，不过这时细杆受到外界强迫力

f(x，t)的作用。此外，我们还假设细杆的两端是自由振动的，即对应于第二类齐次边界条件。这样，细杆振动的泛定方程和定解条件为由上一章的讨论可知，一维齐次方程在齐次边界条件下的本征解为三角函数族，它具有完备正交性。因此，本章求解非齐次泛定方程的基本思想是:将非齐次泛定方程的解u(x，t)按照对应的齐次方程在齐次边界条件下的本征解

Xn(x)进行傅里叶级数展开，即其中展开系数Tn(t)是随时间变化的，由初始条件(9.1-3)来确定。可以看到，非齐次振动方程(9.1-1)所对应的齐次方程的本征解问题为9.1强迫振动的定解问题不难验证，它的本征解为这样可以将非齐次方程(9.1-1)的通解表示为为了确定出展开系数Tn(t)，我们还需要把方程(9.1-1)右边的非齐次项及初始条件(9.1-3)按这个本征函数来展开，即9.1强迫振动的定解问题其中展开系数为9.1强迫振动的定解问题分别把式(9.1-5)-(9.1-8)代入泛定方程(9.1-1)及初始条件(9.1-3)，则可以得到其中kn=nπ/l。这样通过上述级数展开，我们就把原来的一个非齐次二阶偏微分方程的求解问题转化成一个非齐次二阶常微分方程的求解问题。接下来，我们采用第六章介绍的拉普拉斯变换来求解方程(9.1-11)。设与

Tn(t)对应的像函数为

Tn(p)，则借助于拉普拉斯变换，可以把方程(9.1-11)转化为如下代数方程其中

fn(p)是函数

fn(t)对应的像函数。将初始条件(9.1-12)代入方程(9.1-13)，则可以得到然后再进行拉普拉斯反演，可以得到9.1强迫振动的定解问题最后，我们得到非齐次振动方程(9.1-1)的一般解为可以看到，一旦给定非齐次项f(x，t)及初始位移ϕ(x)和初始速度ψ(x)的函数形式，就可以确定出展开系数fn(t)，ϕn

及ψn

的形式，进而可以确定出非齐次振动方程的解u(x，t)。上面介绍的求解非齐次方程的解法是一种较为普遍的方法，可以用来求解任意形式的线性非齐次方程，只是对于不同形式的齐次边界条件，本征函数和本征值有所不同。9.1强迫振动的定解问题求解如下细杆强迫振动的定解问题其中A，ω

及a

均为常数。

9.1强迫振动的定解问题将以上结果代入式(9.1-17)，则可以得到

9.2有源热传导的定解问题9.2有源热传导的定解问题对于有源热传导问题，也可以采用上节介绍的傅里叶级数展开法进行处理。考虑如下细杆的热传导问题

并代入方程(9.2-1)，则可以得到其中9.2有源热传导的定解问题对于初始温度ϕ(x)也做类似地展开，可以得到其中采用拉普拉斯变换方法来求解非齐次常微分方程(9.2-5)，可以得到将初始条件(9.2-7)代入上式，并进行反演，则有最后，可以得到非齐次热传导方程(9.2-1)的一般解为这样，一旦给定了非齐次项

f(x，t)和初始温度ϕ(x)的形式，非齐次热传导方程的解就完全被确定。9.2有源热传导的定解问题在上述非齐次热传导问题中，如果初始温度为零，即ϕ(x)=0，以及非齐次项为

f(x，t)=Asin(ωt)，求细杆上的温度分布。解：由于ϕ(x)=0及

f(x，t)=Asin(ωt)，则有这样有可见在Tn(t)的表示中，第一部分为弛豫项，随着t→∞，很快衰减为零;第二项为外界热源维持的强迫项，随外界热源的变化而变化。将式(9.2-11)代入式(9.2-10)，即可以得到细杆上任意时刻的温度场分布u(x，t)。9.2有源热传导的定解问题下面讨论利用傅里叶级数展开法求解二维有源热传导问题。考虑一个长和宽分别为a

和b的矩形薄板，在外界热源作用下，对应的定解问题为

将上式代入方程(9.2-12)，并利用三角函数的正交性，则可以得到9.2有源热传导的定解问题其中对初始条件(9.2-14)，也可以做类似地展开，有其中利用拉普拉斯变换，很容易得到常微分方程(9.2-16)的解为将式(9.2-19)代入式(9.2-15)，即可以得到二维非齐次热传导方程(9.2-12)的一般解。9.3泊松方程的定解问题9.3泊松方程的定解问题我们再讨论一下二维泊松方程的定解问题。考虑一个长和宽分别为a和b的矩形区域，静电势u(x，y)满足如下泊松方程及边界条件其中

f(x，y)为电荷源的空间分布。考虑到齐次边界条件(9.3-2)，首先可以将函数u(x，y)展开成如下形式其中系数Yn(y)待定。将式(9.3-4)代入方程(9.3-1)及边界条件(9.3-3)，则有9.3泊松方程的定解问题其中再考虑齐次边界条件(9.3-6)，可以进一步地把Yn(y)展开成如下级数形式其中Cnm

为待定系数。把式(9.3-8)代入方程(9.3-5)，则可以确定出展开系数Cnm

为其中9.3泊松方程的定解问题最后可以得到泊松方程的一般解为这样，一旦知道了非齐次项

f(x，y)的具体形式，就可以利用上述方法确定出泊松方程的解。在上面的讨论中，我们假定了所有的边界条件都是齐次的。实际上，对于直角坐标系中的二维泊松方程，只要其中的一对边界条件是齐次的，而另外一对边界条件是非齐次的，就可以利用傅里叶级数展开法进行求解。例如，在x=0及x=a处的边界条件是齐次的，如式(9.3-2);而在y=0及y=b处的边界条件是非齐次的，为这时仍然可以将泊松方程(9.3-1)的解写成式(9.3-4)的形式，其中系数Yn(y)也仍然满足方程(9.3-5)，不过方程(9.3-5)对应的边界条件不再是式(9.3-6)，而是原则上讲，利用常微分方程的求解方法，可以得到方程(9.3-5)在非齐次边界条件下的一般解，进而可以确定出泊松方程的一般解。下面再来讨论圆形区域内泊松方程的定解问题。在平面极坐标系中，齐次边界条件下泊松方程的定解问题为9.3泊松方程的定解问题其中a

为圆的半径。考虑到周期性边界条件u(r，φ)=u(r，φ+2π)，可以将方程(9.3-14)的解按照如下复数形式的傅里叶级数展开将式(9.3-15)代入方程(9.3-14)，则可以得到展开系数An(r)满足的方程为其中对应的齐次边界条件则变为另外，泊松方程在圆心处(r=0)的解应有限，因此有9.3泊松方程的定解问题方程(9.3-16)是一个二阶非齐次常微分方程，原则上讲可以求出它在边界条件(9.3-18)和(9.3-19)下的解。

而当n≠±1时，方程(9.3-16)变为欧拉方程，其解为An(r)=dnrn+enr-n，考虑边界条件(9.3-19)和(9.3-18)，则有dn=en=0，即

An(r)=0(n≠±1)。

最后，可以得到方程(9.3-14)的解为可以看到在平面极坐标系中，当函数

f(r，φ)形式比较复杂时，很难得到方程(9.3-16)的解析解。这说明，当所考虑的坐标系不是直角坐标系时，采用这种傅里叶级数展开法求解泛定方程的解要受到一定的限制。9.4非齐次边界的处理9.4非齐次边界的处理在前面的讨论中，无论方程是齐次的还是非齐次的，我们都假定边界条件是齐次的。那么在非齐次边界条件下，如何确定泛定方程的定解问题呢?由于所讨论的泛定方程的定解问题都是线性的，因此可以采用叠加原理把边界齐次化，其基本思路是:选择一个合适的辅助函数v(x，t)，且令使得关于函数w(x，t)的定解问题具有齐次边界条件。首先我们以细杆的自由振动为例来进行讨论，其定解问题如下其中u1(t)和u2(t)是时间变量的任意函数，所对应的边界条件为第一类非齐次边界条件。辅助函数v(x，t)的选取所要遵循的基本原则是:在保证能够使得边界条件齐次化的前提下，使得v(x，t)的形式最为简单。

对于上述第一类非齐次边界条件，可以选取v(x，t)是空间变量x

的线性函数，即9.4非齐次边界的处理将u(x，t)=v(x，t)+w(x，t)代入定解问题式(9.4-2)-式(9.4-4)，则可以得到关于w(x，t)的定解问题其中可以看到，经过上述处理后，原来的非齐次边界条件变成了齐次边界条件，原来的齐次方程变成了非齐次方程。这样，我们就可以利用

§9.1节介绍的方法来求解该非齐次方程的定解问题。9.4非齐次边界的处理还需要说明两点:(1)尽管我们是以齐次泛定方程(9.4-2)为例来讨论的，但如果在定解问题中，不仅边界是非齐次的，泛定方程也是非齐次的，我们仍然可以按照上面的方法来把边界齐次化。(2)辅助函数的形式依赖于边界条件的类型，如对于第二类非齐次边界条件可以选取辅助函数v(x，t)的形式为而对于“混合”边界条件则对应的辅助函数分别为9.4非齐次边界的处理求解如下定解问题其中A和ω

为常数。解：在这种情况下，可以选取辅助函数为并令u(x，t)=v(x，t)+w(x，t)，则可以把原来的定解问题转化为9.4非齐次边界的处理

则可以得到其中ωn=nπa/l及9.4非齐次边界的处理再利用拉普拉斯变换法来求解常微分方程(9.4-26)，可以得到最后就得到9.4非齐次边界的处理设一匀质细杆，长度为l，其初始温度为常数u0，而且两端的温度分别保持为u1

及u2。求细杆的热传导问题。解：设细杆的温度分布为u(x，t)，则对应的定解问题为

9.4非齐次边界的处理由先前的讨论可知，对于这样一个齐次方程在第一类齐次边界条件下，其一般解为其中kn=nπ/l。上式中的叠加系数由初始条件确定，即利用三角函数的正交性，可以得到这样，最后得到细杆上的温度分布为目录第10章

积分变换法10.1傅里叶变换法10.2拉普拉斯变换法10.3联合变换法第2篇

数学物理方程10.1傅里叶变换法10.1傅里叶变换法在第六章中，我们介绍了傅里叶积分变换。如果一个函数

f(x)是无界区域-∞<x<∞中的分段光滑的函数，则可以进行如下傅里叶积分变换其中像函数F(k)为下面通过几个典型的例子，说明如何利用傅里叶积分变换方法来求解无界区域中泛定方程的定解问题。利用傅里叶积分变换法求解一维无界区域中的波动问题解：根据傅里叶变换式(10.1-1)，令10.1傅里叶变换法将其代入式(10.1-3)，则可以得到其中分别为初始位移和初始速度的傅里叶变换。方程(10.1-5)的通解为其中系数A(k)及B(k)由初始条件确定10.1傅里叶变换法由此可以解得将式(10.1-8)代入式(10.1-7)，并进行反演，有

这样，最后该波动方程的解为这种形式的解称为达朗贝尔公式。可见，一旦知道了初始时刻(t=0)的振动位移ϕ(x)和振动速度ψ(x)，那么任意时刻t的解u(x，t)就完全确定了。10.1傅里叶变换法求解无限长细杆的热传导问题解：对该方程及初始条件同时作傅里叶变换，则定解问题变为其中为初始温度的傅里叶变换。方程(10.1-12)的解为对上式进行傅里叶变换反演，可以得到10.1傅里叶变换法这就是无限长细杆热传导定解问题(10.1-11)的形式解。利用式(10.1-13)，可以进一步得到利用积分公式[见式(4.4-8)]则最后得到无限长细杆的温度分布为可见，一旦知道了初始时刻(t=0)的温度分布ϕ(x)，由上式就可以确定t>0以后任意时刻的温度分布u(x，t)。10.1傅里叶变换法一个位于y=0的无限大金属平板，其上电势分布为

f(x)。确定上半平面(y>0)的电势分布。解：根据题意，上半平面的电势分布u(x，y)服从如下拉普拉斯方程及边界条件该定解问题在x

轴方向是无界的，而在y轴方向则是半无界的。将方程(10.1-17)作关于x

的傅里叶变换，有其中为原函数

f(x)的傅里叶变换。考虑到边界条件，方程(10.1-18)的解为10.1傅里叶变换法进行反演后，并将式(10.1-19)代入，则有而这样，最后上半平面中的电势分布为10.1傅里叶变换法求解三维无界空间中的波动问题解：借助于第六章引入的三维无界空间中的傅里叶变化，可以把上面的定解问题转化为其中改变上式中的积分顺序，则有10.1傅里叶变换法为初始位移和初始速度的像函数。由式(10.1-22)可以解得再进行逆变换将式(10.1-23)代入，有10.1傅里叶变换法借助δ

函数的定义，可以证明有[见式(5.4-21)]其中r0=at。将式(10.1-25)及式(10.1-26)代入式(10.1-24)，并考虑到t>0，则可以得到10.1傅里叶变换法其中r0=at。将式(10.1-25)及式(10.1-26)代入式(10.1-24)，并考虑到t>0，则可以得到由于δ(|r-r'|-at)的出现，上式右边的积分只需在以r

为圆心、以at为半径的球面Sat

上进行，即其中dSat

=r0sinθ0dθ0dφ0。θ0

和φ0

分别是矢量r0

的极角和方法角，r0=at。式(10.1-27)称为泊松公式。式(10.1-27)表明，只要知道了初始时刻(t=0)的波动状态，即初始位移ϕ(r')和初始速度ψ(r')，将它们在球面Sat

上积分，就可以得到以后任意时刻(t>0)的波动状态u(r，t)。10.1傅里叶变换法求解三维无界空间中的热传导问题解：借助于三维空间中的傅里叶变换，可以把定解问题转化为其中为初始温度的傅里叶变换。由式(10.1-29)，可以得到10.1傅里叶变换法再进行逆变换，并利用式(10.1-30)，有注意到积分则最后可以得到在一维情况下，上式即可以退化为式(10.1-16)。10.1傅里叶变换法求解无限长细杆的非齐次热传导方程的解其中

f(x，t)为已知的热源分布函数。解：对该方程进行傅里叶变换，可以得到其中

将上式两边对时间t积分，并利用初始条件，有10.1傅里叶变换法将式(10.1-35)代入上式，有最后再进行反演，则得到可见，一旦知道了源函数

f(x，t)的形式，由上式即可以确定在任意地点x

和任意时刻t的温度分布u(x，t)。由以上讨论可以看出，傅里叶变换法求解定解问题的步骤如下:(1)借助于傅里叶变换把偏微分方程变换成一个关于时间变量的常微分方程;(2)求解这个一阶或二阶常微分方程，并由初始条件确定积分常数;(3)进行傅里叶反演，确定出定解问题的解。在傅里叶积分变换法中，泛定方程可以是齐次的，也可以是非齐次的，但物理量的变化区域必须是无界的。10.2拉普拉斯变换法10.2拉普拉斯变换法本节介绍采用拉普拉斯变换法求解偏微分方程的定解问题。不管方程是齐次的还是非齐次的，所选的区域是无界的还是半无界的，原则上都可以采用拉普拉斯变换法。但实际情况下，由于拉普拉斯变换的反演过程极为复杂，使得这种方法的应用也受到一定的限制。现在考虑一个随空间变量x

和时间变量t变化的函数u(x，t)，其中变量x

的变化范围可以是无界的或半无界的，而时间t的变化范围是(0，∞)。根据第六章给出的拉普拉斯变换的定义式，原函数u(x，t)与像函数U(x，p)之间的变换关系由下式给出其中Rep>0。下面通过几个典型的例子，说明如何利用拉普拉斯积分变换方法来求解无界或半无界区域中泛定方程的定解问题。求解半无限长细杆的热传导定解问题10.2拉普拉斯变换法解：对上述定解问题作关于时间t的拉普拉斯变换，则有其中F(p)是

f(t)的像函数。考虑到在x

→∞时，定解应该有限，则由式(10.2-3)可以得到利用反演公式[见式(6.4-3)及式(6.4-4)]及拉普拉斯变换的卷积定理，可以得到10.2拉普拉斯变换法这就是半无限长细杆中的温度分布。式(10.2-6)也适用于半无界区域中扩散过程的定解问题。在式(10.2-2)中，如果取u|x=0=u0(常数)，则由式(10.2-6)可以得到令并代入式(10.2-7)，有

10.2拉普拉斯变换法采用拉普拉斯变换法求解无限长细杆的非齐次热传导问题其中

f(x，t)为已知的热源分布函数。解：对方程(10.2-9)作关于时间t的拉普拉斯变换，则有这是一个二阶非齐次常微分方程。考虑到该方程的解在x

→±∞时应有界，则它的一般解为(见

§5.4节中的例4)对上式进行拉普拉斯反演，并利用则得到这与用傅里叶变换法得到的结果一致，见

§10.1节的例6。10.2拉普拉斯变换法利用拉普拉斯变换法求解一维无界区域中的波动问题解：对泛定方程进行拉普拉斯变换，并利用初始条件，则有该方程为一个二阶非齐次常微分方程。考虑到该方程的解在x

→±∞时应有界，则它的一般解为10.2拉普拉斯变换法利用及对式(10.2-14)进行反演，可以得到这正是

§10.1节中得到的达朗贝尔公式。利用拉普拉斯变换，还可以求解有界区域中偏微分方程的定解问题。10.2拉普拉斯变换法利用拉普拉斯变换求解有限长度细杆的热传导问题解：对定解问题进行拉普拉斯变换，并考虑到初始条件，则得到这是一个二阶非齐次常微分方程，它的解由两部分组成，即对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。对应的齐次方程通解为10.2拉普拉斯变换法可以设非齐次方程的一个特解为将该特解代入非齐次方程(10.2-17)中，可以确定出系数为这样非齐次方程(10.2-17)的通解为再考虑到边界条件，有c1=c2=0，这样有最后，再进行拉普拉斯反演，可以得到可以验证，这与用分离变量法得到的结果是一致的。由以上讨论可以看出，利用拉普拉斯变换法求解定解问题的步骤如下:(1)借助于拉普拉斯变换把偏微分方程变换成一个关于空间变量的二阶常微分方程，同时包括了初始条件;(2)求解这个常微分方程，并考虑方程的解在x

→±∞时有界;(3)进行拉普拉斯反演，确定出定解问题的解。在拉普拉斯积分变换法中，泛定方程可以是齐次的，也可以是非齐次的;考虑的区域可以是无界的，也可以是有界的。10.3联合变换法1.傅里叶

拉普拉斯积分联合变换法求解三维无界空间中的受迫振动问题解：对上述定解问题进行傅里叶

拉普拉斯积分联合变换，并在拉普拉斯变换中考虑初始条件