山东大学2026年《概率论与数理统计》期末试题及答案

山东大学2026年《概率论与数理统计》期末试题及答案一、填空题（每空3分，共18分）1.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P(X>1/λ)=________。2.若随机变量Y～N(0,1)，则E[Y⁴]=________。3.设(X,Y)的联合密度f(x,y)=6x,0<y<x<1，则Cov(X,Y)=________。4.设样本X₁,…,Xₙ来自U(θ,θ+1)，则θ的矩估计为________。5.设X₁,…,Xₙi.i.d.～Poisson(λ)，则λ的UMVUE为________。6.在显著性水平α下，若检验统计量T～t(n−1)，则双侧检验的临界值为________。二、单项选择（每题4分，共12分）7.设X,Y独立同分布于Exp(λ)，则P(X<Y<2X)=A.1/6 B.1/4 C.1/3 D.1/28.设X₁,…,Xₙi.i.d.～N(μ,σ²)，σ²已知，则μ的1−α置信区间长度为A.2σz_{α/2}/√n B.σz_{α}/√n C.2σt_{α/2}(n−1)/√n D.2σz_{α}/√(n−1)9.设X～Bin(n,p)，若用正态近似求P(X≤k)，则连续性校正后的表达式为A.Φ((k+0.5−np)/√(np(1−p))) B.Φ((k−np)/√(np(1−p)))C.Φ((k−0.5−np)/√(np(1−p))) D.Φ((k+np)/√(np(1−p)))三、计算与证明（共70分）10.（10分）设随机变量X的密度f(x)=c·x^{α−1}(1−x)^{β−1},0<x<1，α,β>0。(1)求常数c；(2)求E[X]与Var(X)。解：(1)由∫₀¹f(x)dx=1得c=1/B(α,β)，其中B(α,β)=Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)。(2)E[X]=∫₀¹xf(x)dx=B(α+1,β)/B(α,β)=α/(α+β)。E[X²]=B(α+2,β)/B(α,β)=α(α+1)/[(α+β)(α+β+1)]。Var(X)=E[X²]−(E[X])²=αβ/[(α+β)²(α+β+1)]。11.（12分）设(X,Y)的联合密度f(x,y)=2,0<y<x<1。(1)求边缘密度f_X(x)；(2)求条件密度f_{Y|X}(y|x)；(3)求E[Y|X=x]；(4)求P(Y>1/2|X=3/4)。解：(1)f_X(x)=∫₀^x2dy=2x,0<x<1。(2)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=2/(2x)=1/x,0<y<x。(3)E[Y|X=x]=∫₀^xy·(1/x)dy=x/2。(4)当X=3/4时，Y～U(0,3/4)，故P(Y>1/2|X=3/4)=(3/4−1/2)/(3/4)=1/3。12.（12分）设X₁,…,Xₙi.i.d.～N(μ,σ²)，记S²=1/(n−1)∑(X_i−X̄)²。(1)证明S²是σ²的无偏估计；(2)求Var(S²)；(3)若n=10，σ²=4，求P(S²>5.5)。解：(1)已知(n−1)S²/σ²～χ²(n−1)，故E[S²]=σ²。(2)Var(S²)=Var[(σ²/(n−1))·χ²(n−1)]=σ⁴/(n−1)²·2(n−1)=2σ⁴/(n−1)。(3)(n−1)S²/σ²=9S²/4～χ²(9)，P(S²>5.5)=P(χ²(9)>9×5.5/4)=P(χ²(9)>12.375)。查表得χ²_{0.20}(9)=11.39，χ²_{0.10}(9)=14.68，线性插值：P≈0.20−(12.375−11.39)/(14.68−11.39)×0.10≈0.17。13.（12分）设X₁,…,Xₙi.i.d.～Exp(λ)，λ>0未知。(1)求λ的MLE；(2)求Fisher信息量I(λ)；(3)证明λ̂_{MLE}达到Cramér-Rao下界；(4)构造λ的1−α渐近置信区间。解：(1)L(λ)=λⁿexp(−λ∑X_i)，lnL=nlnλ−λ∑X_i，令导数为0得λ̂=n/∑X_i=1/X̄。(2)得分函数U=∂lnL/∂λ=n/λ−∑X_i，I(λ)=−E[∂²lnL/∂λ²]=n/λ²。(3)Var(λ̂)≈1/(nI(λ))=λ²/n，而λ̂为指数族自然参数之MLE，故有效。(4)由渐近正态性，λ̂≈N(λ,λ²/n)，枢轴量√n(λ̂−λ)/λ̂→N(0,1)，置信区间：λ̂/(1+z_{α/2}/√n)≤λ≤λ̂/(1−z_{α/2}/√n)。14.（12分）某生产线袋装食品标重500g，现随机抽取9袋，得x̄=495g，s=8g。假设重量服从正态分布。(1)检验H₀:μ=500vsH₁:μ≠500（α=0.05）；(2)求μ的95%置信区间；(3)若要求置信区间长度不超过4g，求最小样本量n。解：(1)t=(495−500)/(8/√9)=−1.875，|t|=1.875<t_{0.025}(8)=2.306，不拒绝H₀。(2)495±2.306×8/3→(488.85,501.15)。(3)长度=2×t_{0.025}(n−1)·8/√n≤4，查t表迭代：n=62时t≈2.00，2×2×8/√62≈4.06；n=63时≈3.99，故n_min=63。15.（12分）设(X,Y)服从二维正态，参数μ_X=μ_Y=0，σ_X=σ_Y=1，ρ=0.5。(1)求条件期望E[Y|X=x]；(2)求条件方差Var(Y|X=x)；(3)求P(Y>0.5|X=1)；(4)设Z=Y−ρX，证明Z与X独立。解：(1)E[Y|X=x]=ρx=0.5x。(2)Var(Y|X=x)=1−ρ²=0.75。(3)Y|X=1～N(0.5,0.75)，标准化得P=(0.5−0.5)/√0.75=0，P(Y>0.5|X=1)=0.5。(4)联合密度可写成f_X(x)·f_Z(z)，其中Z～N(0,1−ρ²)，故独立。四、综合应用（共18分）16.（18分）某电商平台研究用户点击—转化漏斗。设每日访问人数N～Pois(λ)，每人独立转化概率p。记M为转化人数。(1)求M的分布；(2)求E[M|N]与E[M]；(3)设λ未知，观测7天得N_i与M_i，给出p的矩估计；(4)若λ=1000，p=0.02，用正态近似求P(M≥25)。解：(1)给定N=n，M～Bin(n,p)，对N取混合得M～Pois(λp)。(2)E[M|N]=Np，E[M]=E[E[M|N]]=λp。(3)记N̄=1/7∑N_i，M̄=1/7∑M_i，则p̂=M̄/N̄。(4)M≈N(λp,λp)=N(20,20)，连续性校正：P(M≥25)≈1−Φ((24.5−20)/√20)=1−Φ(1.006)≈0.157。五、附加题（不计入总分，仅作区分）17.设X₁,…,Xₙi.i.d.，密度f(x)=e^{−(x−θ)},x≥θ。(1)求θ的MLE；(2)求θ的分布；(3)构造θ的1−α精确置信区间。解：(1)L(θ)=e^{−∑(X_i−θ)}·I_{θ≤X_{(1)}}，当θ=X_{(1)}时最大，故θ̂=X_{(1)}。(2)令Y_