概率论与数理统计B试题及答案

概率论与数理统计B试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P(X=2|X≥1)等于A.λ²e^{-λ}/[2(1-e^{-λ})]B.λ²e^{-λ}/2C.λ²e^{-λ}/(1-e^{-λ})D.λ²e^{-λ}/[2(1+λ)]答案：A解析：P(X=2|X≥1)=P(X=2)/P(X≥1)=(λ²e^{-λ}/2!)/[1-P(X=0)]=λ²e^{-λ}/[2(1-e^{-λ})].2.设X₁,X₂,…,Xₙ独立同分布于N(μ,σ²)，则下列统计量中服从t分布的是A.√n(X̄-μ)/σB.√n(X̄-μ)/SC.(X̄-μ)/(σ/√n)D.(X̄-μ)/(S/√n)答案：B解析：t分布定义要求用样本标准差S代替总体σ，故选B。A、C为N(0,1)，D分母写法错误。3.设二维随机变量(X,Y)的联合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，则P(Y≤0.5)等于A.0.25B.0.125C.0.5D.0.375答案：B解析：积分区域0≤x≤y≤0.5，面积=∫₀^{0.5}∫₀^y2dxdy=∫₀^{0.5}2ydy=y²|₀^{0.5}=0.25，但密度为2，故概率=2×0.25×0.5=0.125（修正：2×三角形面积=2×0.125=0.25，再检查积分限）。重新计算：P(Y≤0.5)=∫₀^{0.5}∫₀^y2dxdy=∫₀^{0.5}2ydy=y²|₀^{0.5}=0.25。故正确答案应为0.25，选项A。原选项B错误，勘误后选A。4.设X~U(0,1)，Y=-lnX，则Y的密度函数为A.e^{-y},y>0B.1,0<y<1C.ye^{-y},y>0D.1/y,y>0答案：A解析：变换法：F_Y(y)=P(Y≤y)=P(-lnX≤y)=P(X≥e^{-y})=1-e^{-y},y>0，求导得f_Y(y)=e^{-y},y>0。5.在假设检验中，若显著性水平α减小，则A.第一类错误概率减小，第二类错误概率减小B.第一类错误概率减小，第二类错误概率增大C.第一类错误概率增大，第二类错误概率减小D.两类错误概率均不变答案：B解析：α=P(拒绝H₀|H₀真)即第一类错误，α↓→拒绝域↓→更易接受H₀→第二类错误β↑。二、填空题（每题5分，共20分）6.设X~N(0,1)，则E|X|=________。答案：√(2/π)解析：E|X|=∫_{-∞}^{∞}|x|φ(x)dx=2∫₀^{∞}xφ(x)dx=2/√(2π)∫₀^{∞}xe^{-x²/2}dx=√(2/π)。7.设X₁,X₂,X₃独立同分布于Exp(λ)，则P(X₁+X₂+X₃≤t)=________。答案：1-e^{-λt}(1+λt+(λt)²/2)解析：X₁+X₂+X₃~Gamma(3,λ)，其CDF为F(t)=1-e^{-λt}∑_{k=0}^{2}(λt)^k/k!。8.设样本方差S²=1/(n-1)∑(Xᵢ-X̄)²，则E(S²)=________。答案：σ²解析：S²为σ²的无偏估计，E(S²)=σ²。9.设X~Bin(n,p)，则Var(X)=________。答案：np(1-p)解析：二项分布方差公式。三、计算题（共30分）10.（10分）设随机变量X的密度函数f(x)=cx²,0<x<1，其余为0。(1)求常数c；(2)求E(X)和Var(X)；(3)设Y=X²，求Y的密度函数。解：(1)∫₀¹cx²dx=1⇒c[x³/3]₀¹=1⇒c=3。(2)E(X)=∫₀¹x·3x²dx=3∫₀¹x³dx=3/4；E(X²)=∫₀¹x²·3x²dx=3∫₀¹x⁴dx=3/5；Var(X)=E(X²)-[E(X)]²=3/5-(3/4)²=3/5-9/16=3/80。(3)设Y=X²，则X=√Y，0<y<1，|dx/dy|=1/(2√y)，f_Y(y)=f_X(√y)·|dx/dy|=3y·1/(2√y)=(3/2)√y,0<y<1。11.（10分）设(X,Y)的联合密度f(x,y)=e^{-y},0<x<y<∞。(1)求边缘密度f_X(x)；(2)求条件密度f_{Y|X}(y|x)；(3)求E(Y|X=x)。解：(1)f_X(x)=∫_x^{∞}e^{-y}dy=e^{-x},x>0，即X~Exp(1)。(2)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=e^{-y}/e^{-x}=e^{x-y},y>x。(3)E(Y|X=x)=∫_x^{∞}ye^{x-y}dy=e^x∫_x^{∞}ye^{-y}dy分部积分：=e^x[-ye^{-y}-e^{-y}]|_x^{∞}=e^x[0-(-xe^{-x}-e^{-x})]=x+1。12.（10分）设X₁,…,Xₙ为来自N(μ,σ²)的样本，记X̄=1/n∑Xᵢ，S²=1/(n-1)∑(Xᵢ-X̄)²。(1)证明X̄与S²独立；(2)求Cov(X̄,S²)。解：(1)正态样本中，样本均值与样本方差独立是经典结论，可通过Basu定理或联合分布分解证明。(2)因独立，Cov(X̄,S²)=0。四、综合应用题（共30分）13.（15分）某生产线袋装食品标重500g，长期经验表明标准差σ=5g。现随机抽取n=16袋，测得平均重X̄=498g。(1)在α=0.05下检验H₀:μ=500vsH₁:μ≠500；(2)求检验的p值；(3)若真实均值μ=497g，求此检验的功效（power）。解：(1)检验统计量Z=√n(X̄-μ₀)/σ=4(498-500)/5=-1.6。双侧临界值±1.96，|Z|=1.6<1.96，故不拒绝H₀。(2)p值=2P(Z≤-1.6)=2Φ(-1.6)=2×0.0548=0.1096。(3)功效=1-β=P(拒绝|μ=497)。拒绝域|X̄-500|>1.96×5/4=2.45，即X̄<497.55或X̄>502.45。在μ=497下，X̄~N(497,25/16)，P(X̄<497.55)=Φ((497.55-497)/1.25)=Φ(0.44)=0.67；P(X̄>502.45)=1-Φ((502.45-497)/1.25)=1-Φ(4.36)≈0；功效≈0.67。14.（15分）设随机变量X的密度f(x;θ)=θx^{θ-1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估计θ̂_M；(2)求θ的最大似然估计θ̂_L；(3)计算θ̂_L的渐近方差，并构造θ的近似95%置信区间。解：(1)E(X)=∫₀¹xθx^{θ-1}dx=θ∫₀¹x^θdx=θ/(θ+1)。令样本均值X̄=θ/(θ+1)⇒θ̂_M=X̄/(1-X̄)。(2)似然函数L(θ)=∏θxᵢ^{θ-1}=θⁿ(∏xᵢ)^{θ-1}，lnL=nlnθ+(θ-1)∑lnxᵢ，求导：n/θ+∑lnxᵢ=0⇒θ̂_L=-n/∑lnxᵢ。(3)Fisher信息I(θ)=-E[∂²lnf/∂θ²]=-E[-1/θ²]=1/θ²，渐近方差=1/(nI(θ))=θ²/n。用θ̂_L代换，得近似95%CI：θ̂_L±1.96·θ̂_L/√n。五、证明题（共20分）15.（10分）设X₁,…,Xₙ独立同分布，E(Xᵢ)=μ,Var(Xᵢ)=σ²<∞。记Sₙ=∑Xᵢ，证明(Sₙ-nμ)/(σ√n)→dN(0,1)并由此说明样本均值X̄的渐近分布。证明：这是独立同分布情形下的中心极限定理（CLT）。令Yᵢ=(Xᵢ-μ)/σ，则EYᵢ=0,Var(Yᵢ)=1，由Lindeberg-LevyCLT，∑Yᵢ/√n→dN(0,1)，即(Sₙ-nμ)/(σ√n)→dN(0,1)。而X̄=Sₙ/n，故√n(X̄-μ)/σ→dN(0,1)，即X̄≈N(μ,σ²/n)对充分大的n成立。16.（10分）设X~Poisson(λ)，Y|X=x~Bin(x,p)。证明Y~Poisson(λp)。证明：用全概率公式：P(Y=k)=∑_{x=k}^{∞}P(Y=k|X=x)P(X=x)=∑_{x=k}^{∞}C(x,k)p^k(1-p)^{x-k}·e^{-λ}λ^x/x!=e^{-λ}p^k/k!∑_{x=k}^{∞}λ^x(1-p)^{x-k}/(x-k)!令t=x-k，得=e^{-λ}(λp)^k/k!∑_{t=0}^{∞}[λ(1-p)]^t/t!=e^{-λ}(λp)^k/k!e^{λ(1-p)}=e^{-λp}(λp)^k/k!，即Y~Poisson(λp)。六、拓展题（共20分）17.（10分）设随机变量X的密度f(x)=1/(π(1+x²))，即标准柯西分布。(1)证明E|X|不存在；(2)设X₁,…,Xₙ为i.i.d.样本，证明样本均值X̄与X₁同分布；(3)由此说明CLT为何不适用。解：(1)E|X|=∫_{-∞}^{∞}|x|/(π(1+x²))dx=2/π∫₀^{∞}x/(1+x²)dx=1/πln(1+x²)|₀^{∞}=∞，故不存在。(2)柯西分布的特征函数φ(t)=e^{-|t|}，X̄的特征函数φ_{X̄}(t)=E[e^{itX̄}]=∏E[e^{itXᵢ/n}]=[φ(t/n)]ⁿ=[e^{-|t|/n}]ⁿ=e^{-|t|}=φ(t)，故X̄与X₁同分布。(3)CLT要求有限方差，柯西方差无穷，故CLT不适用，X̄不收敛到正态，而保持柯西形状。18.（10分）设线性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)，X为n×p列满秩矩阵。(1)求β的最小二乘估计β̂及其分布；(2)证明σ²的无偏估计为σ̂²=‖Y-Xβ̂‖²/(n-p)；(3)构造β̂_j的精确95%置信区间。解：(1)β̂=(XᵀX)^{-1}XᵀY，线性变换下β̂~N(