《概率论与数理统计》考试题(含答案)

《概率论与数理统计》考试题(含答案)一、单项选择题（每题4分，共40分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P{X=2}=P{X=3}，则λ的值为A.2  B.3  C.4  D.5答案：B解析：泊松分布概率质量函数P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!，由题意e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3!，化简得λ=3。2.设X~N(0,1)，Y=|X|，则Y的密度函数在y>0处的表达式为A.2φ(y)  B.φ(y)  C.2φ(y)I_{y>0}  D.φ(y)+φ(-y)答案：A解析：Y=|X|，其分布函数F_Y(y)=P{|X|≤y}=2Φ(y)-1，求导得f_Y(y)=2φ(y)，y>0。3.设X,Y独立同分布于U(0,1)，则Z=min{X,Y}的密度函数为A.2(1-z)  B.2z  C.1-z  D.z答案：A解析：F_Z(z)=1-P{min{X,Y}>z}=1-(1-z)^2，求导得f_Z(z)=2(1-z)，0<z<1。4.设X_1,...,X_n为来自N(μ,σ^2)的样本，若σ^2未知，μ的1-α置信区间为A.x̄±z_{α/2}σ/√n  B.x̄±t_{α/2}(n-1)s/√n  C.x̄±t_{α/2}(n)s/√n  D.x̄±χ^2_{α/2}(n-1)s/√n答案：B解析：σ未知时用样本标准差s代替，枢轴量服从t(n-1)分布。5.设X,Y的联合密度f(x,y)=2，0<x<y<1，则P{X+Y<1}等于A.1/4  B.1/3  C.1/2  D.2/3答案：B解析：积分区域0<x<y<1且x+y<1，即0<x<1/2，x<y<1-x，积分得∫_0^{1/2}∫_x^{1-x}2dydx=1/3。6.设X~Bin(n,p)，若np(1-p)>5，则下列近似最佳的是A.正态近似  B.泊松近似  C.t近似  D.χ^2近似答案：A解析：二项分布np(1-p)较大时，中心极限定理保证正态近似精度高。7.设X,Y独立，Var(X)=4，Var(Y)=9，则Var(2X-3Y+1)为A.97  B.85  C.36  D.13答案：A解析：Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=4×4+9×9=16+81=97，常数不影响方差。8.设X~Exp(λ)，则P{X>t+s|X>s}等于A.e^{-λt}  B.1-e^{-λt}  C.λe^{-λt}  D.λ(t+s)答案：A解析：指数分布无记忆性，P{X>t+s|X>s}=P{X>t}=e^{-λt}。9.设X_1,...,X_n来自U(0,θ)，θ的极大似然估计为A.x̄  B.max{X_i}  C.min{X_i}  D.2x̄答案：B解析：似然函数L(θ)=θ^{-n}I_{max{X_i}≤θ}，在max{X_i}处取最大值。10.设检验H_0:μ=μ_0vsH_1:μ≠μ_0，若样本量n增大，则A.第一类错误概率α一定减小  B.第二类错误概率β一定减小C.检验功效1-β一定增大  D.临界值不变答案：C解析：n增大，标准误差减小，检验统计量分布更集中，功效提高。二、填空题（每题5分，共30分）11.设X~N(2,9)，则P{1<X<5}=______。（用Φ表示）答案：Φ(1)-Φ(-1/3)解析：标准化得Z=(X-2)/3，P=(5-2)/3=1，P=(1-2)/3=-1/3，故Φ(1)-Φ(-1/3)。12.设X,Y独立同分布于Exp(λ)，则P{X<Y}=______。答案：1/2解析：由对称性，P{X<Y}=∫_0^∞∫_x^∞λe^{-λx}λe^{-λy}dydx=1/2。13.设X~Poisson(λ)，则E[X^2]=______。答案：λ+λ^2解析：E[X^2]=Var(X)+(E[X])^2=λ+λ^2。14.设X_1,...,X_n来自N(μ,σ^2)，则E[S^2]=______，其中S^2为样本方差。答案：σ^2解析：样本方差是总体方差无偏估计。15.设X的矩母函数M_X(t)=e^{2t+3t^2}，则E[X]=______，Var(X)=______。答案：2；6解析：M'_X(0)=2，M''_X(0)=2×3+2^2=10，Var(X)=10-2^2=6。16.设X,Y的相关系数ρ=0.8，Var(X)=4，Var(Y)=9，则Cov(X,Y)=______。答案：4.8解析：Cov=ρ√(Var(X)Var(Y))=0.8×2×3=4.8。三、解答题（共80分）17.（15分）设随机变量X的密度函数为f(x)=k(1-x^2)，-1<x<1，其他为0。(1)求常数k；(2)求X的分布函数F(x)；(3)求P{|X|<1/2}。解：(1)∫_{-1}^1k(1-x^2)dx=1⇒k[x-x^3/3]_{-1}^1=1⇒k(4/3)=1⇒k=3/4。(2)对-1<x<1，F(x)=∫_{-1}^x3/4(1-t^2)dt=3/4[t-t^3/3]_{-1}^x=3/4[(x-x^3/3)-(-1+1/3)]=1/2+3x/4-x^3/4。(3)P{|X|<1/2}=F(1/2)-F(-1/2)=[1/2+3/8-1/32]-[1/2-3/8+1/32]=3/4-1/16=11/16。18.（15分）设X,Y的联合密度为f(x,y)=6x，0<x<y<1。(1)求边缘密度f_X(x)；(2)求条件密度f_{Y|X}(y|x)；(3)求E[Y|X=x]。解：(1)f_X(x)=∫_x^16xdy=6x(1-x)，0<x<1。(2)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=6x/[6x(1-x)]=1/(1-x)，x<y<1。(3)E[Y|X=x]=∫_x^1y·1/(1-x)dy=[y^2/2]_x^1/(1-x)=(1-x^2)/[2(1-x)]=(1+x)/2。19.（20分）设X_1,...,X_n独立同分布于Exp(λ)，记T_n=∑_{i=1}^nX_i。(1)求T_n的分布；(2)求λ的矩估计λ̂_M；(3)求λ的极大似然估计λ̂_L；(4)比较λ̂_M与λ̂_L的均方误差MSE。解：(1)独立指数和服从Gamma(n,λ)，密度f_{T_n}(t)=λ^nt^{n-1}e^{-λt}/Γ(n)，t>0。(2)E[X_1]=1/λ，令样本均值x̄=1/λ̂_M⇒λ̂_M=1/x̄。(3)似然函数L(λ)=λ^ne^{-λT_n}，对数似然lnL=nlnλ-λT_n，求导得n/λ-T_n=0⇒λ̂_L=n/T_n。(4)对λ̂_L，T_n~Gamma(n,λ)，故E[λ̂_L]=nE[1/T_n]=nλ/(n-1)（n>1），Bias=λ/(n-1)；Var(λ̂_L)=n^2Var(1/T_n)=n^2λ^2/[(n-1)^2(n-2)]（n>2）。MSE=Var+Bias^2=λ^2/[(n-1)(n-2)]+λ^2/(n-1)^2=λ^2(n-2+1)/[(n-1)^2(n-2)]=λ^2(n-1)/[(n-1)^2(n-2)]=λ^2/[(n-1)(n-2)]。对λ̂_M，x̄~Gamma(n,nλ)，E[x̄]=1/λ，Var(x̄)=1/(nλ^2)，用Delta法，λ̂_M=1/x̄，g(x)=1/x，g'(x)=-1/x^2，Var(λ̂_M)≈[g'(1/λ)]^2Var(x̄)=λ^4·1/(nλ^2)=λ^2/n，Bias≈λ/(2n)（二阶展开），MSE≈λ^2/n+λ^2/(4n^2)=λ^2(4n+1)/(4n^2)。当n≥3时，λ̂_L的MSE更小。20.（15分）某生产线袋装盐标准质量500g，历史σ=5g。现抽取n=16袋，测得x̄=502g。(1)在α=0.05下检验H_0:μ=500vsH_1:μ≠500；(2)求检验的p值；(3)若真实μ=503，求此检验的功效。解：(1)检验统计量z=(x̄-500)/(σ/√n)=(502-500)/(5/4)=1.6，双侧临界值±1.96，|z|<1.96，不拒绝H_0。(2)p值=2P{Z>1.6}=2(1-Φ(1.6))=2×0.0548=0.1096。(3)真实μ=503，非中心参数δ=(503-500)/(5/4)=2.4，功效=1-β=P{|Z|>1.96|μ=503}=P{Z>1.96-2.4}+P{Z<-1.96-2.4}=Φ(-0.44)+Φ(-4.36)=0.33+0.0000≈0.33。21.（15分）设(X,Y)服从二维正态，E[X]=E[Y]=0，Var(X)=Var(Y)=1，ρ=0.5。(1)求条件期望E[Y|X=x]；(2)求条件方差Var(Y|X=x)；(3)求P{Y>0|X=0}。解：(1)二维正态条件期望公式E[Y|X=x]=ρx=0.5x。(2)条件方差Var(Y|X=x)=1-ρ^2=0.75。(3)给定X=0，Y~N(0,0.75)，P{Y>0|X=0}=0.5。四、综合应用题（30分）22.某城市共享单车公司欲评估新款轮胎耐磨里程。随机抽取10辆装新车胎，记录完全磨损里程（千公里）：4.2,4.5,4.8,5.1,4.9,5.3,5.0,4.7,5.2,5.4。假设里程服从正态分布N(μ,σ^2)，μ,σ^2均未知。(1)给出μ的95%置信区间；(2)公司希望平均里程至少达到5000km，请在α=0.05下作单侧检验；(3)若要求置信区间半宽不超过0.2千公里，求所需最小样本量。（保持置信水平95%）解：样本均值x̄=4.91，样本标准差s=0.368，n=10。(1)t_{0.025}(9)=2.262，半宽=2.262×0.368/√10≈0.263，置信区间[4.91-0.263,4.91+0.263]=[4.6