2026年大学统计学期末考试时间序列分析核心考点试题卷及答案

2026年大学统计学期末考试时间序列分析核心考点试题卷及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.对平稳序列Xt=0.7Xt-1+εt，εt～WN(0,σ²)，其自相关函数ρk满足A.ρk=0.7k  B.ρk=0.7|k|  C.ρk=0.3k  D.ρk=0答案：B解析：AR(1)的ACF为ρk=φ|k|，φ=0.7，故ρk=0.7|k|。2.若某序列经一阶差分后呈现MA(1)结构，则原序列最可能为A.ARIMA(0,1,1)  B.ARIMA(1,1,0)  C.ARIMA(1,0,1)  D.ARIMA(0,0,1)答案：A解析：差分一次后MA(1)⇒原序列I(1)且MA部分阶数为1，即ARIMA(0,1,1)。3.对样本量n=120的残差序列，Ljung-Box统计量Q(12)=19.8，在α=0.05下A.拒绝原假设，残差非白噪声  B.不拒绝，残差为白噪声  C.无法判断  D.需用ARCH检验答案：B解析：χ²0.05(12)=21.03，19.8<21.03，不拒绝，残差无显著自相关。4.指数平滑系数α=0.15，对长期预测而言，权重衰减到5%所需的期数k约为A.15  B.19  C.25  D.30答案：B解析：(1-α)k≤0.05⇒k≥ln0.05/ln0.85≈19.1。5.对季节周期s=12的SARIMA(0,1,1)(0,1,1)₁₂模型，其季节MA部分的特征方程为A.1+θ1B12=0  B.1+Θ1B12=0  C.1-Θ1B12=0  D.1-θ1B=0答案：B解析：季节MA(1)₁₂的算子为1+Θ1B12。6.若某序列的PACF在滞后3后截尾，ACF拖尾，则初步可判为A.AR(3)  B.MA(3)  C.ARMA(3,3)  D.ARIMA(3,0,0)答案：A解析：PACF截尾⇒AR型，截尾阶即AR阶。7.对ARCH(1)模型σt²=ω+α1εt-1²，其无条件方差存在的充要条件是A.α1<1  B.α1<0.5  C.α1<2  D.ω>0答案：A解析：无条件方差Var(εt)=ω/(1-α1)，需α1<1。8.用BIC选阶时，若真实阶为(1,0,1)，样本n=200，则BIC倾向于A.惩罚强于AIC，可能选更低阶  B.惩罚弱于AIC  C.与AIC相同  D.仅看残差平方和答案：A解析：BIC对参数惩罚ln(n)倍，样本大时更严苛。9.对Xt=10+0.5t+εt，εt～WN(0,1)，其一阶差分序列的均值为A.10  B.0.5  C.0  D.1答案：B解析：ΔXt=0.5+Δεt，均值0.5。10.若某序列的谱密度在频率π/6处出现尖峰，则其周期约为A.6  B.12  C.3  D.24答案：B解析：周期T=2π/(π/6)=12。二、填空题（每空3分，共15分）11.对AR(2)Xt=1.2Xt-1-0.35Xt-1+εt，其特征方程为________，平稳域要求特征根模________1。答案：1-1.2z+0.35z²=0；小于解析：写成1-φ1z-φ2z²=0，平稳当根模>1即|z|>1。12.已知样本ACF在滞后1为0.42，滞后2为0.18，用Yule-Walker估计AR(2)的φ̂1≈________，φ̂2≈________。答案：0.42，-0.03解析：解ρ1=φ1+φ2ρ1ρ2=φ1ρ1+φ2⇒φ̂1=(ρ1(1-ρ2))/(1-ρ1²)=0.42(1-0.18)/(1-0.42²)=0.42φ̂2=ρ2-φ̂1ρ1=0.18-0.42×0.42≈-0.03。13.对SARIMA(1,0,0)(0,0,1)₄模型，其季节MA系数Θ1=-0.8，则季节部分可逆性要求|Θ1|________1。答案：小于解析：可逆当根1+Θ1B4=0的模>1，即|Θ1|<1。14.若某序列的KPSS检验统计量KPSS=0.63，临界值0.463(5%)，则结论________原假设。答案：拒绝解析：KPSS>临界值，拒绝“序列平稳”的原假设，认为存在单位根。15.对Holt-Winters加法模型，平滑方程含水平、趋势、季节三个参数，其更新顺序为________、________、________。答案：水平、趋势、季节解析：先更新水平lt，再趋势bt，最后季节st。三、计算与推导题（共35分）16.（10分）给定AR(1)Xt=0.8Xt-1+εt，εt～WN(0,4)，n=100，样本均值X̄=3.2。(1)求Xt的无条件均值μ与方差γ0。(2)构造μ的95%置信区间。(3)若观测到X100=4.5，求X101的一步最优预测值及预测方差。答案与解析：(1)μ=0（无常数项），γ0=σ²/(1-φ²)=4/(1-0.64)=11.11。(2)样本均值方差Var(X̄)=γ0/n·[1+2∑k=1n-1(1-k/n)ρk]≈γ0/n·(1+φ)/(1-φ)=11.11/100·1.8/0.2=1，标准误≈1，95%CI：3.2±1.96×1→(1.24,5.16)。(3)最优预测X̂101|100=0.8×4.5=3.6，预测误差方差=σ²=4。17.（10分）对某序列拟合MA(2)Xt=εt+0.6εt-1+0.2εt-2，εt～WN(0,1)。(1)计算ρ1,ρ2。(2)给出该MA(2)的逆转形式（用ψ权重表示）。(3)若观测到ε̂100=1.2,ε̂99=-0.8，求X̂101|100。答案与解析：(1)γ0=1+0.6²+0.2²=1.4，γ1=0.6+0.6×0.2=0.72，γ2=0.2，ρ1=0.72/1.4≈0.514，ρ2=0.2/1.4≈0.143。(2)逆转形式：εt=∑j=0∞ψjXt-j，其中ψ0=1，ψ1=-0.6，ψ2=-0.2+0.6²=0.16，递推ψj=-θ1ψj-1-θ2ψj-2(j≥2)。(3)X̂101|100=ε̂101+0.6ε̂100+0.2ε̂99=0+0.6×1.2+0.2×(-0.8)=0.56。18.（15分）某零售公司月度销售额（单位：万元）2018.1-2025.12共96期，经对数变换后记为yt。(1)用R输出得Δ12Δyt的ACF与PACF如下：滞后1:ACF=-0.52,PACF=-0.52；滞后12:ACF=0.81,PACF=0.77；其余均在±0.15内。据此写出候选SARIMA模型结构（含阶数与季节阶）。(2)估计得模型(1-B)(1-B12)yt=(1-0.45B)(1-0.78B12)εt，σ̂²=0.028，写出其展开式，并解释“季节MA”作用。(3)用该模型预测2026年1-3月对数销售额，已知y96=5.82,y84=5.65,ε̂96=-0.04,ε̂84=0.02，求ŷ97,ŷ98,ŷ99及对应的销售额预测（取指数）。答案与解析：(1)ΔΔ12呈现滞后12显著⇒季节差分已做，ACF滞后12截尾⇒季节MA(1)，PACF滞后12截尾⇒季节AR(1)亦可，但ACF更突出，故先选SARIMA(0,1,1)(0,1,1)₁₂。(2)展开：yt-yt-1-yt-12+yt-13=εt-0.45εt-1-0.78εt-12+0.45×0.78εt-13。季节MA系数0.78捕捉年度惯性：若去年同月正冲击，今年同月仍倾向正。(3)递推：ŷ97=yt-1+yt-12-yt-13-0.45ε̂96-0.78ε̂85+0.45×0.78ε̂84，其中ε̂85需用反向递推，近似取0，ŷ97=5.82+5.65-5.53-0.45×(-0.04)-0.78×0.02≈5.94，ŷ98=ŷ97+yt-11-yt-12-0.45ε̂97-0.78ε̂86，ε̂97=y97-ŷ97未知，近似用0，ŷ98≈5.94+5.70-5.65=5.99，ŷ99≈6.04，销售额预测：exp(5.94)≈380万元，exp(5.99)≈399万元，exp(6.04)≈419万元。四、综合建模题（共30分）19.（30分）数据：2010-2025年某城市日平均气温（n=5844），经移除闰日得n=5760。任务：(1)给出完整建模流程（图示、检验、诊断）。(2)写出最终模型数学表达式并解释参数。(3)给出2026年1月1-7日的逐日预测区间（α=0.05）。(4)讨论“全球变暖”在模型中的体现。答案与解析：(1)流程：Step1绘图：原始序列呈明显年周期+缓慢上升。Step2STL分解：趋势项斜率0.0023℃/日，季节幅值±11.5℃。Step3单位根：ADF=-2.1，不拒绝；KPSS=1.88，拒绝平稳⇒I(1)。Step4季节单位根：HEGY检验π2统计量=-3.4，拒绝季节单位根⇒无季节单根。Step5差分：ΔΔ365，得平稳序列zt。Step6ACF/PACF：滞后1-3显著，滞后365处ACF=0.42，PACF=0.38⇒SARMA结构。Step7候选：SARIMA(3,1,0)(1,0,1)₃₆₅与(2,1,1)(0,0,1)₃₆₅比较，BIC选后者。Step8估计：(1-φ1B-φ2B²)(1-Φ1B365)zt=(1+θ1B)(1+Θ1B365)εt，φ̂1=1.21(0.02),φ̂2=-0.37(0.02),Φ̂1=0.41(0.03),θ̂1=-0.54(0.02),Θ̂1=-0.68(0.02)，σ̂²=0.81。Step9残差：Q(30)=34.7，p=0.22，无自相关；ARCH(5)LM=6.1，p=0.30，无异方差。Step10正态：Jarque-Bera=2.3，p=0.32，接受。(2)模型：(1-1.21B+0.37B²)(1-0.41B365)ΔΔ365Tt=(1-0.54B)(1-0.68B365)εt，含义：短期动态由AR(2)捕捉，年度惯性由SAR(1)反映，MA与季节MA消除短期与年度噪声。(3)预测：给定T5760=8.2℃，ẑ5760=0.02，ε̂5760=-0.3，ε̂5395=0.1，递推7步，得点预测T̂5761…T̂5767，预测方差随步长增加，σh