概率论与数理统计期末考试试题及答案

概率论与数理统计期末考试试题及答案一、单项选择题（每题4分，共40分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P(X=2|X≥1)等于A.λ²e⁻λ/(2(1−e⁻λ))B.λ²e⁻λ/2C.λ²e⁻λ/(1−e⁻λ)D.λ²e⁻λ/(2(1+e⁻λ))答案：A解析：P(X=2|X≥1)=P(X=2)/P(X≥1)=λ²e⁻λ/2!÷(1−P(X=0))=λ²e⁻λ/(2(1−e⁻λ))。2.设X~N(0,1)，Y~N(0,4)且独立，则E(|X+Y|)等于A.√(5/π)B.√(10/π)C.√(2/π)D.√(8/π)答案：B解析：X+Y~N(0,5)，若Z~N(0,σ²)，则E|Z|=σ√(2/π)，故E|X+Y|=√5·√(2/π)=√(10/π)。3.设样本X₁,…,Xₙ来自U(θ,θ+1)，则θ的矩估计量为A.X̄−1/2B.X̄+1/2C.X̄−1D.X̄答案：A解析：E(X)=θ+1/2，令X̄=θ+1/2，解得θ̂=X̄−1/2。4.设X₁,…,Xₙ独立同分布于Exp(λ)，则λ的极大似然估计量为A.1/X̄B.X̄C.n/∑XᵢD.∑Xᵢ/n答案：C解析：似然函数L(λ)=λⁿe^(−λ∑Xᵢ)，对λ求导得n/λ−∑Xᵢ=0，故λ̂=n/∑Xᵢ=1/X̄。5.设X,Y独立同分布于N(μ,σ²)，则Cov(X+Y,X−Y)等于A.0B.σ²C.2σ²D.−σ²答案：A解析：Cov(X+Y,X−Y)=Var(X)−Var(Y)=σ²−σ²=0。6.设X~Bin(n,p)，若n→∞,p→0且np→λ，则下列正确的是A.X近似Poisson(λ)B.X近似N(λ,λ)C.X近似Exp(λ)D.X近似χ²(λ)答案：A解析：泊松定理：二项分布在稀有事件情形下收敛于泊松分布。7.设X₁,…,Xₙ来自N(μ,1)，检验H₀:μ=0vsH₁:μ>0，若拒绝域为X̄>c，则当真实μ=0.5时，第二类错误概率随n增大而A.增大B.减小C.不变D.先增后减答案：B解析：第二类错误概率β=Φ(c√n−0.5√n)，n增大则β减小。8.设X,Y联合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，则P(Y≤0.5|X=0.2)等于A.0.5B.0.6C.0.75D.0.8答案：C解析：条件密度f_{Y|X}(y|0.2)=1/(1−0.2)=1.25,0.2≤y≤1，故P(Y≤0.5|X=0.2)=∫_{0.2}^{0.5}1.25dy=0.75。9.设X₁,…,Xₙ独立同分布于Bernoulli(p)，则Var(X̄)等于A.p(1−p)/nB.p(1−p)C.p/nD.(1−p)/n答案：A解析：Var(X̄)=Var(X₁)/n=p(1−p)/n。10.设X~N(0,1)，则E(X⁴)等于A.1B.2C.3D.4答案：C解析：标准正态四阶矩为3。二、填空题（每空5分，共30分）11.设X~Geo(p)，则P(X>k)=________。答案：(1−p)^k解析：P(X>k)=∑_{m=k+1}^∞p(1−p)^{m−1}=(1−p)^k。12.设X,Y独立，Var(X)=2,Var(Y)=3，则Var(2X−3Y+4)=________。答案：26解析：Var(2X−3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=8+27=35，常数不影响方差。13.设X₁,…,Xₙ来自N(μ,σ²)，则(n−1)S²/σ²服从________分布。答案：χ²(n−1)解析：样本方差与卡方分布的经典结论。14.设X~Poisson(λ)，则其概率母函数G_X(s)=________。答案：e^{λ(s−1)}解析：G_X(s)=E(s^X)=∑_{k=0}^∞s^kλ^ke^{−λ}/k!=e^{λ(s−1)}。15.设X,Y联合密度f(x,y)=e^{−y},0<x<y<∞，则E(X)=________。答案：1解析：E(X)=∫_0^∞∫_0^yxe^{−y}dxdy=∫_0^∞e^{−y}y²/2dy=Γ(3)/2=1。16.设X₁,…,Xₙ来自U(0,θ)，则θ的UMVUE为________。答案：(n+1)X_{(n)}/n解析：次序统计量X_{(n)}为充分完备统计量，修正无偏得UMVUE。三、解答题（共80分）17.（15分）设X,Y独立同分布于Exp(λ)，令Z=X+Y，W=X/(X+Y)。(1)求(Z,W)的联合密度；(2)证明W~U(0,1)且与Z独立。解：(1)变换：x=zw,y=z(1−w)，雅可比|J|=z。联合密度f_{X,Y}(x,y)=λ²e^{−λ(x+y)}，故f_{Z,W}(z,w)=λ²e^{−λz}·z,z>0,0<w<1。(2)边缘密度f_W(w)=∫_0^∞λ²ze^{−λz}dz=1,0<w<1，故W~U(0,1)。f_Z(z)=∫_0^1λ²ze^{−λz}dw=λ²ze^{−λz}，即Gamma(2,λ)，与w无关，故独立。18.（15分）设X₁,…,Xₙ来自密度f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估计θ̂_M；(2)求θ的极大似然估计θ̂_L；(3)计算Fisher信息量I(θ)。解：(1)E(X)=∫_0^1xθx^{θ−1}dx=θ/(θ+1)，令X̄=θ/(θ+1)，解得θ̂_M=X̄/(1−X̄)。(2)似然函数L(θ)=θⁿ∏Xᵢ^{θ−1}，对数似然l(θ)=nlnθ+(θ−1)∑lnXᵢ，令导数n/θ+∑lnXᵢ=0，得θ̂_L=−n/∑lnXᵢ。(3)对数密度二阶导数−1/θ²，故I(θ)=−E(∂²l/∂θ²)=n/θ²。19.（15分）设X~N(μ,σ²)，μ未知，σ²=4，样本量n=16，观测得X̄=1.5。(1)求μ的95%置信区间；(2)若要求区间长度不超过1，求最小样本量n′。解：(1)σ已知，区间X̄±z_{0.975}·σ/√n=1.5±1.96·2/4=1.5±0.98，即(0.52,2.48)。(2)长度2·1.96·2/√n′≤1，解得√n′≥7.84，n′≥61.47，取n′=62。20.（15分）设X₁,…,Xₙ来自N(μ,1)，检验H₀:μ=0vsH₁:μ≠0，拒绝域|X̄|>c。(1)求显著性水平α与c的关系；(2)若n=25，α=0.05，求c；(3)若真实μ=0.2，求该检验功效。解：(1)α=P(|X̄|>c|μ=0)=2(1−Φ(c√n))，故c=z_{1−α/2}/√n。(2)z_{0.975}=1.96，c=1.96/5=0.392。(3)功效=1−β=P(|X̄|>0.392|μ=0.2)=1−Φ(0.392·5−0.2·5)+Φ(−0.392·5−0.2·5)=1−Φ(0.96)+Φ(−2.96)=0.3315+0.0015=0.333。21.（20分）设(X,Y)服从二维正态，E(X)=E(Y)=0,Var(X)=Var(Y)=1,ρ=0.5。(1)求条件期望E(Y|X=x)；(2)求条件方差Var(Y|X=x)；(3)生成n=500样本，给出ρ的矩估计与极大似然估计数值（模拟步骤与结果）；(4)用Delta方法求tanh⁻¹(ρ̂)的渐近方差。解：(1)线性回归：E(Y|X=x)=ρx=0.5x。(2)Var(Y|X=x)=1−ρ²=0.75。(3)模拟步骤：①生成Z₁,Z₂~N(0,1)独立；②令X=Z₁,Y=0.5Z₁+√0