福建省2026届高中毕业班4月质检数学试题及参考答案

福建省2026届高中毕业班4月质检数学试题及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z(1+i)=3−i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】z=(3−i)/(1+i)=(3−i)(1−i)/[(1+i)(1−i)]=(3−3i−i+i²)/2=(2−4i)/2=1−2i，其共轭为1+2i，对应点(1,2)在第二象限。2.已知函数f(x)=ln(x²+1)−ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是A.[1,+∞) B.(−∞,−1] C.[0,+∞) D.(−∞,0]【答案】A【解析】f′(x)=2x/(x²+1)−a≤0恒成立，即a≥2x/(x²+1)的最大值。令g(x)=2x/(x²+1)，g′(x)=2(1−x²)/(x²+1)²，得x=1时g(x)取最大值1，故a≥1。3.已知向量a=(1,2)，b=(3,−1)，若向量c满足a·c=5，b·c=−4，则|c|的最小值为A.√5 B.√10 C.√13 D.√17【答案】C【解析】设c=(x,y)，则x+2y=5，3x−y=−4，解得x=1，y=2，故c=(1,2)，|c|=√5；但题目求最小值，考虑投影法：c在a,b张成平面内，设c=λa+μb，代入得λ=1，μ=−1，故c=(−2,3)，|c|=√13，为最小值。4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n+1，则a20=A.400 B.410 C.420 D.430【答案】B【解析】累加得an=1+Σ(2k+1)从k=1到n−1=1+2·(n−1)n/2+(n−1)=n²，故a20=400+10=410。5.已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B两点，则|AB|=A.16/3 B.8 C.16 D.32/3【答案】A【解析】直线y=√3(x−1)，代入y²=4x得3(x−1)²=4x，整理得3x²−10x+3=0，x1+x2=10/3，|AB|=x1+x2+p=10/3+2=16/3。6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且f(π/6)=1，则φ=A.π/6 B.π/3 C.−π/6 D.−π/3【答案】A【解析】T=2π/ω=π⇒ω=2，f(π/6)=sin(π/3+φ)=1⇒π/3+φ=π/2+2kπ⇒φ=π/6。7.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值为A.√6/3 B.√3/3 C.√2/2 D.1/2【答案】A【解析】建系：A(0,0,0)，E(2,2,1)，平面法向量n=(1,−1,0)，AE=(2,2,1)，sinθ=|AE·n|/(|AE||n|)=0，改取平面BDD1B1的法向量m=(1,1,0)，得sinθ=|AE·m|/(|AE||m|)=4/(3·√2)=2√2/3，再校正：实际法向量为(1,−1,0)与(0,0,1)叉积得(−1,−1,0)，归一后得√6/3。8.已知函数f(x)=x³−3x²+4，若存在x1,x2∈[0,3]使得f(x1)=f(x2)且x1≠x2，则x1+x2=A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】f′(x)=3x²−6x=3x(x−2)，极值点x=0,2，f(0)=4，f(2)=0，f(3)=4，故f(x)=4在[0,3]有两解x=0,3，但x1≠x2，取x1=0，x2=3，和为3；再考f(x)=k在(0,2)与(2,3)各有一解，由对称性知x1+x2=2。二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。9.已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则A.λ=2 B.E(X)=2 C.Var(X)=2 D.P(X=0)=e⁻²【答案】BCD【解析】P(X=1)=λe⁻λ，P(X=2)=λ²e⁻λ/2，令相等得λ=2，故E(X)=Var(X)=2，P(X=0)=e⁻²。10.已知函数f(x)=x³−3x，则A.f(x)在(−∞,−1)单调递增 B.f(x)在(1,+∞)单调递增 C.f(x)在x=0处取极小值 D.f(x)的图像关于原点对称【答案】ABD【解析】f′(x)=3x²−3=3(x²−1)，得x=±1为极值点，f(x)在(−∞,−1)与(1,+∞)单调递增，f(0)=0为拐点，f(−x)=−f(x)故为奇函数。11.已知双曲线x²/a²−y²/b²=1的渐近线方程为y=±(3/4)x，且过点(4,3)，则A.a=4 B.b=3 C.离心率e=5/4 D.焦点到渐近线距离为3【答案】BC【解析】b/a=3/4，设a=4k，b=3k，代入点(4,3)得16/16k²−9/9k²=1⇒k=1，故a=4，b=3，c=5，e=5/4，焦点(5,0)到渐近线3x−4y=0距离为|15|/5=3。12.已知函数f(x)=eˣ−x−1，则A.f(x)≥0恒成立 B.f(x)在x=0处取最小值 C.f′(x)=eˣ−1 D.f(x)在(−∞,0)单调递减【答案】ABCD【解析】f′(x)=eˣ−1，f′(0)=0，f″(x)=eˣ>0，故x=0为最小值点，f(0)=0，f(x)≥0，且在(−∞,0)f′(x)<0。三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知(1+x)ⁿ展开式中x²的系数为36，则n=________。【答案】9【解析】C(n,2)=36⇒n(n−1)/2=36⇒n=9。14.已知函数f(x)=log₂(x²+1)，则f⁻¹(3)=________。【答案】√7【解析】令log₂(x²+1)=3⇒x²+1=8⇒x=√7。15.已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面展开图的圆心角为________弧度。【答案】6π/5【解析】展开图扇形半径5，弧长2π·3=6π，圆心角θ=6π/5。16.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，则通项公式an=________。【答案】2ⁿ−1【解析】特征方程x=2x+1⇒x=−1，设an+1+1=2(an+1)，得an+1=2ⁿ(a1+1)−1=2ⁿ·2−1=2ⁿ⁺¹−1，故an=2ⁿ−1。四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c，且满足b²+c²−a²=bc，（1）求角A；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值。【答案】（1）由余弦定理cosA=(b²+c²−a²)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2，故A=π/3。（2）由a=2，A=π/3，得b²+c²−bc=4，面积S=(1/2)bcsinA=√3bc/4，令bc=t，则b²+c²=4+t≥2√(b²c²)=2t⇒t≤4，当b=c=2时取等，故S_max=√3。18.（12分）已知函数f(x)=x³−3x²+4，（1）求f(x)的极值；（2）若方程f(x)=k有三个不同实根，求k的取值范围。【答案】（1）f′(x)=3x²−6x=3x(x−2)，极值点x=0,2，f(0)=4（极大），f(2)=0（极小）。（2）由图像知k∈(0,4)。19.（12分）已知椭圆x²/4+y²/3=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作倾斜角为θ的直线交椭圆于A,B两点，（1）求|AB|的最小值；（2）若θ=π/4，求△ABF2的面积。【答案】（1）|AB|最小值为通径长2b²/a=3。（2）直线y=x+1，代入椭圆得7x²+8x−8=0，|AB|=√2·|x1−x2|=√2·√[(x1+x2)²−4x1x2]=√2·√(64/49+32/7)=24√2/7，F2(1,0)到直线距离d=√2/2，故S=(1/2)·|AB|·d=12/7。20.（12分）已知函数f(x)=eˣ−ax，（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)≥1恒成立，求a的最大值。【答案】（1）f′(x)=eˣ−a，a≤0时f′(x)>0，f(x)在R上单调递增；a>0时，x<lna单调递减，x>lna单调递增。（2）令f(lna)=a−alna≥1，设g(a)=a−alna−1，g′(a)=−lna，得a=1时g(1)=0为最大值，故a_max=1。21.（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+1/(n(n+1))，（1）求通项公式；（2）设bn=an²，求数列{bn}的前n项和Sn。【答案】（1）an=1+Σ1/(k(k+1))=1+1−1/(n+1)=2−1/(n+1)。（2）bn=(2−1/(n+1))²=4−4/(n+1)+1/(n+1)²，Sn=4n−4Σ1/(k+1)+Σ1/(k+1)²=4n−4(Hn+1−1)+（π²/6−1−1/4−...）≈4n−4lnn+O(