2026年概率论与数理统计课程期末考试试题解析及答案

2026年概率论与数理统计课程期末考试试题解析及答案1.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为f_X(x)=λe^{-λx},x≥0。令Y=min{X,2}，求Y的分布函数F_Y(y)，并计算E[Y]。解析：指数分布具有无记忆性，但截断在2处，需分段讨论。当y<0时，F_Y(y)=0；当0≤y<2时，F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=1-e^{-λy}；当y≥2时，F_Y(y)=1。综上：F_Y(y)={0,y<01-e^{-λy},0≤y<21,y≥2}期望计算：E[Y]=∫_0^2y·λe^{-λy}dy+∫_2^∞2·λe^{-λy}dy第一部分：分部积分得[-ye^{-λy}]_0^2+∫_0^2e^{-λy}dy=-2e^{-2λ}+(1-e^{-2λ})/λ第二部分：2·e^{-2λ}合并得：E[Y]=(1-e^{-2λ})/λ+2e^{-2λ}2e^{-2λ}=(1-e^{-2λ})/λ答案：F_Y(y)如上所示；E[Y]=(1-e^{-2λ})/λ2.设(X,Y)的联合密度为f(x,y)=c·x(y-x)e^{-y},0<x<y<∞。求常数c，并计算P(X<1,Y>2)。解析：先确定归一化常数。∫_0^∞∫_x^∞cx(y-x)e^{-y}dydx=1内层积分：令u=y-x，得∫_0^∞cxue^{-(u+x)}dudx=c∫_0^∞xe^{-x}dx∫_0^∞ue^{-u}du=c·1·1=c故c=1计算概率：P(X<1,Y>2)=∫_0^1∫_{max(x,2)}^∞x(y-x)e^{-y}dydx由于x<1，max(x,2)=2，故=∫_0^1xe^{-x}dx∫_2^∞(y-x)e^{-(y-x)}dy令v=y-x，得∫_{2-x}^∞ve^{-v}dv=(2-x+1)e^{-(2-x)}=(3-x)e^{x-2}因此原式=∫_0^1x(3-x)e^{-2}dx=e^{-2}[3x^2/2x^3/3]_0^1=e^{-2}(3/21/3)=(7/6)e^{-2}答案：c=1；P=(7/6)e^{-2}3.设X_1,...,X_ni.i.d.∼N(μ,σ^2)，定义样本均值X̄与样本方差S^2。证明Cov(X̄,S^2)=0，并讨论当总体为Poisson(λ)时该结论是否仍成立。解析：正态情形：X̄与S^2独立的经典结论，故协方差为0。严格证明：S^2=(1/(n-1))∑(X_i-X̄)^2，而X̄与(X_i-X̄)的联合分布中，X̄与偏差向量正交，Basu定理或直接计算矩可得独立性。Poisson情形：设X_i∼Pois(λ)，则E[X_i]=λ,Var(X_i)=λ。计算Cov(X̄,S^2)：E[X̄S^2]=E[X̄·(1/(n-1))∑(X_i-X̄)^2]展开平方项后，利用E[X_i^3]=λ^3+3λ^2+λ，经冗长计算得：Cov(X̄,S^2)=λ/n≠0故结论不成立。答案：正态时Cov=0；Poisson时Cov=λ/n≠04.某生产线产品重量X∼N(μ,0.5^2)。现抽取n=16件，测得x̄=10.2g。检验H_0:μ=10vsH_1:μ≠10，显著性水平α=0.05。(1)给出检验统计量与拒绝域；(2)计算p值；(3)若真实μ=10.3，求第II类错误概率β。解析：(1)统计量Z=√n(x̄-μ_0)/σ=4(10.2-10)/0.5=1.6双侧拒绝域|Z|>z_{0.025}=1.96(2)p值=2P(Z>1.6)=2(1-Φ(1.6))=2×0.0548=0.1096(3)真实μ=10.3时，Z∼N(4(10.3-10)/0.5,1)=N(2.4,1)β=P(接受H_0)=P(-1.96<Z<1.96|μ=10.3)=P(-1.96-2.4<Z-2.4<1.96-2.4)=Φ(-0.44)-Φ(-4.36)=0.3300-0.0000=0.3300答案：(1)Z=1.6，拒绝域|Z|>1.96；(2)p=0.1096；(3)β=0.33005.设(X,Y)服从二维正态，均值向量(0,0)，协方差矩阵[[1,ρ],[ρ,1]]。定义U=X^2+Y^2，V=X/Y。求(U,V)的联合密度，并证明U与V独立当且仅当ρ=0。解析：采用极坐标变换：X=RcosΘ,Y=RsinΘ，则Jacobian为R联合密度：f_{R,Θ}(r,θ)=r·f_{X,Y}(rcosθ,rsinθ)=(r/(2π√(1-ρ^2)))exp{-r^2(1-ρsin2θ)/(2(1-ρ^2))}U=R^2，V=cotΘ，变换Jacobian为|d(r,θ)/d(u,v)|=1/(2√u(1+v^2))经推导得：f_{U,V}(u,v)=exp{-u/(2(1-ρ^2))}·[1-ρ·2v/(1+v^2)]/(4π(1-ρ^2)√u)当ρ=0时，f_{U,V}(u,v)=e^{-u/2}/(4π√u)=f_U(u)f_V(v)，其中f_V(v)=1/(π(1+v^2))为Cauchy密度，故独立。反之若独立，则联合密度需可分离，迫使ρ=0。答案：f_{U,V}如上；独立⇔ρ=06.设X_1,...,X_ni.i.d.∼Uniform(0,θ)，令X_{(n)}=max{X_i}。求θ的MLE，并构造一个基于X_{(n)}的1-α置信区间。解析：MLE为X_{(n)}，因为似然函数L(θ)=θ^{-n}I_{θ≥X_{(n)}}，在θ=X_{(n)}处最大。置信区间构造：P(X_{(n)}≤θ≤X_{(n)}/α^{1/n})=P(θ≥X_{(n)})P(θ>X_{(n)}/α^{1/n})=1P(X_{(n)}<θα^{1/n})=1(α^{1/n})^n=1-α故[X_{(n)},X_{(n)}/α^{1/n}]为1-α置信区间。答案：MLE=X_{(n)}；置信区间[X_{(n)},X_{(n)}/α^{1/n}]7.设X∼Binomial(n,p)，Y∼Binomial(m,p)且独立。求P(X=Y)，并给出当n=m=100,p=0.5时的近似值。解析：P(X=Y)=∑_{k=0}^{min(n,m)}C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}·C(m,k)p^k(1-p)^{m-k}=(1-p)^{n+m}∑_{k}C(n,k)C(m,k)[p/(1-p)]^{2k}利用Vandermonde恒等式与生成函数，可表示为超几何函数，但计算复杂。正态近似：X≈N(np,np(1-p)),Y≈N(mp,mp(1-p))，则X-Y≈N(0,p(1-p)(n+m))连续性修正：P(X=Y)≈P(-0.5<X-Y<0.5)=Φ(0.5/σ)-Φ(-0.5/σ)，σ=√[p(1-p)(n+m)]当n=m=100,p=0.5时，σ=√50≈7.071概率≈2Φ(0.0707)-1≈0.056答案：精确求和式如上；近似值0.0568.设{X_t}为零均值平稳高斯过程，协方差函数γ(h)=σ^2e^{-α|h|}。给定观测X_0,X_1,...,X_n，求α的MLE。解析：对数似然函数：ℓ(α)=-1/2[log|Σ|+X^TΣ^{-1}X]+const其中Σ为Toeplitz矩阵，元素Σ_{ij}=γ(|i-j|)利用AR(1)表示：X_t=φX_{t-1}+ε_t，φ=e^{-α}，ε_t∼N(0,σ^2(1-φ^2))则Σ^{-1}为三对角矩阵，可显式求逆：ℓ(α)=-1/2[(n+1)log(2πσ^2)+log(1-φ^2)+(X_0^2(1-φ^2)+∑_{t=1}^n(X_t-φX_{t-1})^2)/σ^2]对α求导并令为零，得非线性方程：φ=e^{-α}，需数值求解。答案：MLE方程为∂ℓ/∂α=0，具体形式如上，需数值优化9.设X_1,...,X_ni.i.d.∼Exp(λ)，考虑检验H_0:λ=1vsH_1:λ=2。求Neyman-Pearson检验的拒绝域，并计算n=10时的功效。解析：似然比：Λ=f_1/f_0=∏(2e^{-2x_i})/(e^{-x_i})=2^ne^{-∑x_i}拒绝域Λ>k⇔∑x_i<c，其中c由P(∑X_i<c|λ=1)=α确定∑X_i∼Gamma(n,1)，故c为Gamma(n,1)的α分位数功效：P(拒绝|λ=2)=P(∑X_i<c|λ=2)=P(Gamma(n,2)<c)=F_{Gamma(n,2)}(c)当n=10,α=0.05时，c≈5.425（Gamma(10,1)的5%分位数）功效=F_{Gamma(10,2)}(5.425)=P(Pois(2·5.425)≥10)=0.923答案：拒绝域∑X_i<c；功效0.92310.设(X,Y)的联合分布满足Y|X=x∼N(βx,σ^2)，X∼N(0,τ^2)。求E[X|Y=y]，并证明其可表示为线性函数。解析：联合正态：(E[X],E[Y])=(0,0)协方差矩阵：Var(X)=τ^2,Cov(X,Y)=E[X·βX]=βτ^2,Var(Y)=β^2τ^2+σ^2条件期望公式：E[X|Y=y]=Cov(X,Y)/Var(Y)·y=(βτ^2)/(β^2τ^2+σ^2)·y显然为y的线性函数。答案：E[X|Y=y]=βτ^2y/(β^2τ^2+σ^2)11.设X_1,...,X_n为i.i.d.样本，密度f(x|θ)=θx^{θ-1},0<x<1,θ>0。求θ的Fisher信息量I(θ)，并证明θ的MLE渐近有效。解析：对数密度：logf=logθ+(θ-1)logx得分函数：∂logf/∂θ=1/θ+logx二阶导：∂^2logf/∂θ^2=-1/θ^2Fisher信息：I(θ)=-E[∂^2logf/∂θ^2]=1/θ^2MLE：似然方程∑(1/θ+logX_i)=0⇒θ̂=-n/∑logX_i由CLT，√n(θ̂-θ)⇒N(0,1/I(θ))=N(0,θ^2)，达到Cramér-Rao下界，故渐近有效。答案：I(θ)=1/θ^2；MLE渐近有效12.设X∼Poisson(λ)，记录值被四舍五入为最近整数，得到Y。求E[Y]与Var(Y)，并讨论当λ→∞时的近似。解析：Y=round(X)，即Y=k当X∈[k-0.5,k+0.5)E[Y]=∑_{k=0}^∞kP(k-0.5≤X<k+0.5)=∑k[F_X(k+0.5)-F_X(k-0.5)]Var(Y)=E[Y^2]-(E[Y])^2，类似计算。大λ近似：X≈N(λ,λ)，则Y≈X+U，U∼Uniform(-0.5,0.5)独立故E[Y]≈λ,Var(Y)≈λ+1/12答案：E[Y]=∑k[Pois(λ)在[k-0.5,k+0.5)的概率]；大λ时Var≈λ+1/1213.设X_1,...,X_ni.i.d.∼N(μ,σ^2)，定义T=X̄^2S^2/n。求E[T]与Var(T)，并讨论其作为μ^2估计的优劣。解析：E[T]=E[X̄^2]E[S^2]/n=(μ^2+σ^2/n)σ^2/n=μ^2故T为μ^2的无偏估计。方差计算：Var(T)=Var(X̄^2)+Var(S^2)/n^22Cov(X̄^2,S^2)/n利用正态四阶矩：Var(X̄^2)=2σ^4/n^2+4μ^2σ^2/nVar(S^2)=2σ^4/(n-1)Cov(X̄^2,S^2)=0（因X̄与S^2独立）故Var(T)=2σ^4/n^2+4μ^2σ^2/n+2σ^4/(n^2(n-1))与MLEμ̂^2=X̄^2比较：MLE有偏但渐近方差更小，故T优于无偏性，但方差较大。答案：E[T]=μ^2；Var(T)如上；无偏但方差较大14.设{X_t}为MA(1)过程：X_t=ε_t+θε_{t-1}，ε_t∼N(0,σ^2)i.i.d.。给定观测X_1,...,X_n，求θ的矩估计，并讨论其一致性。解析：理论自协方差：γ(0)=σ^2(1+θ^2),γ(1)=σ^2θ样本自协方差：γ̂(0)=1/n∑X_t^2,γ̂(1)=1/(n-1)∑X_tX_{t+1}矩估计方程：γ̂(1)/γ̂(0)=θ/(1+θ^2)解二次方程得θ̂=[1±√(1-4ρ̂^2)]/(2ρ̂)，取可逆域内根。一致性：由遍历性，γ̂(k)→γ(k)a.s.，故θ̂→θa.s.，一致。答案：θ̂为样本自相关方程的解；一致15.设X∼Geometric(p)，Y=Xmod3。求Y的分布，并计算E[Y]。解析：Y∈{0,1,2}P(Y=0)=∑_{k=0}^∞P(X=3k+3)=∑p(1-p)^{3k+2}=p(1-p)^2/[1-(1-p)^3]同理：P(Y=1)=p(1-p)/[1-(1-p)^3]P(Y=2)=p/[1-(1-p)^3]期望：E[Y]=0·P(Y=0)+1·P(Y=1)+2·P(Y=2)=[p(1-p)+2p]/[1-(1-p)^3]=p(3-p)/[3p-3p^2+p^3]答案：P(Y=k)如上；E[Y]=p(3-p)/(3p-3p^2+p^3)16.设X_1,...,X_ni.i.d.∼Uniform(θ,θ+1)，考虑θ的估计量θ̂=X_{(1)}。求其偏差与均方误差，并构造一个无偏估计。解析：X_{(1)}密度：f(x)=n(θ+1-x)^{n-1},θ≤x≤θ+1E[X_{(1)}]=∫_θ^{θ+1}xn(θ+1-x)^{n-1}dx=θ+1/(n+1)偏差=1/(n+1)E[X_{(1)}^2]=∫x^2fdx=θ^2+2θ/(n+1)+2/[(n+1)(n+2)]MSE=Var+Bias^2=1/[(n+1)(n+2)]+1/(n+1)^2=2/[(n+1)(n+2)]无偏估计：θ̂_u=X_{(1)}1/(n+1)答案：Bias=1/(n+1)；MSE=2/[(n+1)(n+2)]；无偏估计X_{(1)}-1/(n+1)17.设X∼Binomial(n,p)，Y∼Binomial(n,1-p)且独立。求P(X=Y)，并给出当n→∞时的渐近表达式。解析：P(X=Y)=∑_{k=0}^nC(n,k)p^k(1-p)^{n-k}·C(n,k)p^{n-k}(1-p)^k=(1-p)^n∑C(n,k)^2[p/(1-p)]^{2k}=(1-p)^n_2F_1(-n,-n;1;[p/(1-p)]^2)大n近似：X≈N(np,np(1-p)),Y≈N(n(1-p),np(1-p))X-Y≈N(n(2p-1),2np(1-p))连续性修正：P(X=Y)≈P(-0.5<X-Y<0.5)=Φ(δ)-Φ(-δ)，δ=0.5/√[2np(1-p)]≈1/√(2π)·1/√[2np(1-p)]答案：精确求和式如上；渐近1/√(4πnp(1-p))18.设{X_t}为随机游走：X_t=X_{t-1}+ε_t，ε_t∼N(0,σ^2)i.i.d.，X_0=0。求X_n的分布，并计算Cov(X_s,X_t)。解析：X_n=∑_{i=1}^nε_i∼N(0,nσ^2)协方差：Cov(X_s,X_t)=