2026年高考数学二轮复习专题03 嵌套函数与零点归来4大考向（重难）（天津）（解析版）

重难点03嵌套函数与零点归来

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近三年：2023-2024均为第15题（填空压轴），5分；2025为选择，5分；核心考查嵌套函数零点个数/参

数范围，2023：分段函数嵌套f(f(x))，求恰有2个零点的参数范围；核心是换元拆解+分段图象分析，易

错点为忽略内层函数值域限制。2024：指数/对数嵌套函数，求恰有1个零点的参数范围；关键是外层零点

→内层方程解的个数，易错点为边界值漏判与定义域疏忽。2025：复合函数零点所在区间判定，结合指数、

幂函数；侧重零点存在性定理+单调性，难度略降但仍需严谨转化。共性规律：必考换元法（令t=f(x)），

高频结合分段、指数、对数、三角等；核心是“外层零点→内层方程解的个数”两步转化；易错点集中在

内层值域、定义域、临界值、重复零点。

预测2026年：大概率第15题（填空压轴），5分；难度中偏难，维持区分度。核心载体：主流：分段函

数+指数/对数/三角嵌套（如f(g(x))、f(f(x))）。新动向：可能结合向量、复数、统计量简单嵌套，或出

现类周期/放缩型嵌套函数，背景更灵活但逻辑不变。考查形式：已知零点个数求参数范围（最易出区分度）。

判断嵌套函数零点个数；或嵌套函数零点分布（区间、奇偶性等）。

考向1：判断函数存在零点

判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函

数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有fa·fb0．若有，则函数yfx在区间

a,b内必有零点．

1．（2025·天津红桥·一模）函数fxex2x6的零点所在的区间是（）

A．3,4B．2,3C．1,2D．0,1

【答案】C

【分析】根据函数零点存在性定理判断即可

【详解】函数f(x)ex2x6是R上的连续增函数,

f(1)e40,f(2)e220,

可得f(1)f(2)0,

所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).

故选：C

2．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)[x]为取整函数，x0是函数f(x)lnxx4的零点，则

gx0（）

A．4B．5C．2D．3

【答案】C

【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得gx0的值.

【详解】函数f(x)lnxx4在(0,)递增，

且f(2)ln220，f(3)ln310，

所以函数f(x)存在唯一的零点x0(2,3)，

故gx02，

故选：C.

2x

3．（2026·天津和平·模拟预测）函数ylog2x1与y2的图象交点为(x0,y0)，则x0所在区间是（）．

A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)

【答案】C

3

【详解】令函数f(x)logx122x，f(2)1,f(3)log3log3log(8)0，由于f(2)f(3)0，

22222

所以区间(2,3)必有零点．

2

4．函数ylnx的零点所在的大致区间是（）

x

1

A．,1B．1,2C．2,eD．e,

e

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

22

【详解】yfxlnx的定义域为0,，又ylnx与y在0,上单调递增，

xx

2

所以fxlnx在0,上单调递增，

x

22

又f1ln1220,f2ln210，felne10，

ee

所以f2fe0，所以fx在2,e上存在唯一的零点.

故选：C.

5．函数fxx42x的零点所在的区间为（）

A．1,2B．2,3C．3,4D．4,5

【答案】A

【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.

【详解】因为函数yx4,y2x都是增函数，

所以函数fxx42x是增函数，

又f110,f220，

所以函数fxx42x的零点所在的区间为1,2.

故选：A.

考向2：判断函数零点个数

（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；

（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；

（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与x轴交点的个数来判断．

3a1x3,x2

1．（2025·天津·三模）设函数fxaR，记函数g(x)f(x)ax2有且仅有n个互不相

8ax3,x2

同的零点nN，则当n取到最大值时，实数a的取值范围是.

11111

【答案】,,0,

23348

1112

【分析】考虑x2时，得到a,,0时，g(x)f(x)ax在x2上有两个零点，当a取其他

233

x3x3

值时，只有1个零点，再考虑x2时，变形得到x2且x22时，a，构造函数hx，

x28x28

写出分段函数，求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到其与ya的交点个数，从而最终求出

g(x)f(x)ax2最多有4个零点，得到a的取值范围.

2

23a1x3ax0,x2

【详解】g(x)f(x)ax0，即2，

8ax3ax0,x2

2

当x2时，ax3a1x30，即ax1x30，故x132满足要求，

1

若a0，则ax10无解，若a0，则ax10，解得x0不满足x2；

a

11

若a，则ax10的解x2，

2a

1111

若a0，则ax10的解x2，且当a时，x3，

2a3a

1112

故当a,,0时，g(x)f(x)ax在x2上有两个零点，

233

当a取其他值时，只有1个零点，

x2时，ax28x30，

2

显然当x22时，ax8x30无解，

x3

当x2且x22时，a，

x28

x3

,x,3

x3x28

令hx，

x28x3

2,x3,2222,2

x8

x2x4

2,x,3

2

x8

hx，

x2x4

2,x3,2222,2

2

x8

当x<4时，hx0，当4x3时，hx0，

当3x22时，hx0，当22x2时，hx0，当2x2时，hx0，

故hx在,4，3,22，22,2上单调递增，

在4,3，2,2上单调递减，

115

又x时，hx0，其中h4，h30，h2，h2，

844

画出hx的图象如下：

115

当a或a0或a或a时，hxa有一个零点，

844

51

当a,时，hxa有2个零点，

44

1

当a0,时，hxa有3个零点，

8

1

当a,0时，hxa无零点，

4

综上：g(x)f(x)ax2最多有4个零点，

11111

则a,,0,.

23348

11111

故答案为：,,0,.

23348

a

x4,x1

2．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数fx2，若函数yfx1恰有3个不同的零点，

2

2xa,x1

则实数a的取值范围是.

【答案】2,312,

【分析】本题首先可根据函数解析式研究函数yfx1在区间,1和1,上零点个数，然后根据在

区间,1上有1个零点，函数yfx1在区间1,上有2个零点或根据在区间,1上有2个零点，

函数yfx1在区间1,上有1个零点，即可得出结果.

aa

【详解】当x1时，令fx10，得x410，即x41，该方程至多两个根；

22

2

当x1时，令fx10，得2xa10，该方程至多两个根，

因为函数yfx1恰有3个不同的零点，

所以函数yfx1在区间,1和1,上均有零点，

若函数yfx1在区间,1上有两个零点，

a

即直线y1与函数yx4在区间,1上有两个交点，

2

当x<4时，yx4x40；

当4x<1时，yx4x4，此时函数的值域为0,5，

a

则015，解得2a12，

2

aa

若函数yfx1在区间,1上有1个零点，则51或10，

22

解得a12或a2，

若函数yfx1在区间1,上也有两个零点，

2a1a1

令2xa10，解得x，x，

1222

a1

则1，解得a3，

2

a1a1

若函数yfx1在区间1,上有1个零点，则1且1，

22

解得1a3；

a12或a2

所以当函数yfx1在区间,1上有1个零点，在区间1,上有两个零点时，需满足，

a3

解得a12，

当函数yfx1在区间,1上有2个零点，在区间1,上有1个零点时,

2a12

需满足，解得2a3，

1a3

综上所述，实数a的取值范围是2,312,.

故答案为：2,312,.

3．（2024·天津·二模）已知函数fxsin2x2sinxcosxcos2x，关于fx有下面四个说法：

π

①fx的图象可由函数gx2sin2x的图象向右平行移动个单位长度得到；

8

ππ

②fx在区间,上单调递增；

44

ππ31

③当x,时，fx的取值范围为,2；

622

④fx在区间0,2π上有3个零点．

以上四个说法中，正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】首先把fx用三角恒等变换公式化简，再逐一比对各个命题，判断真假即可.

【详解】因为fxsin2x2sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin2x，

π

即fxsin2xcos2x2sin2x.

4

π

对于①，函数gx2sin2x的图象向右平行移动个单位长度，

8

ππ

得到y2sin2x2sin2x，所以①正确；

84

πππ3ππ

对于②，x,，则2x,，

44444

π

fx2sin2x先减后增，所以②错误；

4

ππππ3π

对于③，当x,，则2x,，

624124

ππ3π

当且仅当2x时，即x时，fx2，

428max

πππππ6231

当且仅当2x时，即x，fx2sin22，

4126min6442

31

所以fx的取值范围为,2，所以③正确；

2

ππ15π

对于④，由x0,2π，则2x,，

444

ππππ

则当2x0,2xπ,2x2π,2x3π时，fx0，

4444

所以fx0在x0,2π上有4个零点，所以④错误.

故选：B.

2x121

4．已知定义在R上的奇函数fx恒有fx1fx1，当x0,1时，fx，已知k,，

2x11518

1

则函数gxfxkx在1,6上的零点个数为（）

3

A．4个B．5个C．3个或4个D．4个或5个

【答案】D

【分析】利用奇函数性质和关系式转化求出fx的关系式并利用单调性画出简图，再利用数形结合思想根

据k的取值范围求出零点个数.

【详解】因为fx1fx1，所以fx的周期为2，

又因为fx为奇函数，fxfx，

令x1，得f1f1，又f1f1，所以f1f10，

2x12

当x1,1时，fx1，

2x12x1

2

由y单调递减得函数fx在1,1上单调递增，

2x1

11

所以f1fxf1，得fx，

33

作出函数图象如图所示，

112

由图象可知当ykx过点5,时，k，此时在1,6上只有3个零点.

3315

11

当ykx经过点3,0时，k，此时有5个零点.

39

21

当k时，有4个零点.

159

11

当ykx经过点5,0时，k，此时有5个零点.

315

11

当k时，有4个零点.

915

11

当ykx经过点6,0时，k，此时在1,6上只有3个零点.

318

11

当k时，有4个零点.

1518

211

所以当k,时，函数gxfxkx在1,6上有4个或5个零点.

15183

故选：D

13

xx2

5．（2025·天津北辰·模拟预测）已知函数fx22，若在区间1,上存在nn2个

x22

ex8x12x2

fx1fx2fxn

不同的数x1,x2,x3,,xn，使得成立，则n的取值集合是（）

x1x2xn

A．2,3,4,5B．2,3C．2,3,5D．2,3,4

【答案】D

【分析】由题意，可知n为方程f(x)kx的解的个数，判断f(x)的单调性，作出yf(x)与ykx的函数

图象，根据图象交点个数即可求解．

f(x1)f(x2)f(xn)f(x)

【详解】解：设k，则方程k有n个根，即f(x)kx有n个根，

x1x2xnx

3

x1,x

2

3

f(x)x2,x2，

2

ex2(x28x12),x2

3331

所以f(x)在(1,)上单调递增，在(，2)上单调递减，且f()，

2222

当x2时，f(x)ex2(x28x12)ex2(2x8)ex2(x26x4)，

设g(x)x26x4(x2)，令g(x)0得x35，

所以当2x35时，g(x)0，即f(x)0，当x35时，g(x)0，即f(x)0，

1

所以f(x)在(2,35)上单调递增，在(35,)上单调递减，且f(35)e15252，

2

作出f(x)与ykx的大致函数图象，如图所示：

由图象可知f(x)kx的交点个数可能为1，2，3，4，

又n2，所以n的值为2，3，4．

故选：D．

考向3：已知函数有零点求参数的取值范围

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

（2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．

lnx,x1

1．（2025·天津·一模）已知定义在R上的函数fx2，若函数k(x)f(x)ax恰有2个零点，

xx,x1

则实数a的取值范围为（）

11

A．(,){0}(1,)B．(1,){0}(1,)

ee

111

C．(1,){0}(,)D．,10,1

eee

【答案】B

【分析】将问题化为f(x)与yax有两个交点，利用导数研究f(x)过原点的切线斜率，数形结合判断参

数a的范围.

【详解】作出函数f(x)的图象，如图示：

1

当x1时，f(x)lnx，则f(x)，

x

11

若切点为(m,lnm)，则f(m)，则切线为ylnm(xm)，

mm

1

由切线过原点，则lnm1me1，所以yx为f(x)的一条切线方程，

e

当0x1时，f(x)x2x，则f(x)2x1，

若切点为(n,nn2)，则f(n)12n，则切线为y(nn2)(12n)(xn)，

由切线过原点，则(nn2)(12n)(n)，即n0[0,1]，所以yx为f(x)的一条切线，

当x0时，f(x)x2x，则f(x)2x1，

若切点为(h,h2h)，则f(h)2h1，则切线为y(h2h)(2h1)(xh)，

由切线过原点，则(h2h)(2h1)(h)，即h0(,0]，所以yx为f(x)的一条切线，

1

综上，考虑直线yx，yx，yx与曲线f(x)相切，

e

1

由图知，当a(,1){0}(,1)时f(x)与yax有两个交点，

e

1

所以a1,01,时函数yk(x)恰有两个零点．

e

故选：B

5

2．（2025·天津南开·模拟预测）设aR，已知函数fxx22x2，gxax，若方程fxagx

2

有两个实数解，则实数a的取值范围为．

210210210210

【答案】,,

3333

【分析】将方程fxagx转化为关于x的二次方程，通过两个函数图象的交点个数即可求解.

5

【详解】因为f(x)x22x2,g(x)ax,

2

5

所以fxagx，即(xa)22|xa|2ax，

2

2

a321

整理得2xaxa．

242

2

a321

因为方程f(|xa|)g(x)有两个实数解，所以方程2xaxa有两个实数解.

242

2

a321

令m(x)2xa,n(x)xa，

242

则函数m(x)与n(x)的图象有两个交点.

1

①当a0时，m(x)2|x|,n(x)x2，由图象可知，两函数有4个交点，故a0不合题意；

2

aaa321

②当a0时，易知a，且mana，

22242

11

令2(xa)x2axa2,得x2(2a)xa22a0,

22

1

(2a)24a28a23a24a2，令2(xa)x2axa2,

12

2212212

得xa2xa2a0,Δ2a24a2a3a4a2,

22

a0

2210210

若m(x)与n(x)的图象有两个交点，需满足Δ13a4a20，解得a．

233

Δ23a4a20

aaa

③当a0时，易知a,mn．

222

a0,

2210210

由②的分析可得，若m(x)与n(x)的图象有两交点，需满足Δ13a4a20,解得a．

233

Δ23a4a20,

210210210210

综上，实数a的取值范围为,,.

3333

210210210210

故答案为：,,.

3333

1x1,x2,0

3．（2020·天津和平·一模）已知函数fx，则3logf(3)256；若方程

2fx2,x0,

f(x)xa在区间[2,4]有三个不等实根，则实数1的取值范围为．

a

1

【答案】811,

2

【分析】（1）利用分段函数解析式求出f3，再根据对数、指数的运算法则计算可得；

1

（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数的取值范围.

a

1x1,x2,0

【详解】由fx，则f32f14f14104，

2fx2,x0,

log256

所以3f(3)3log42563481.

作出函数fx在区间[2,4]上的图象，如图所示：

设yxa，由图象可知要使方程fxxa在区间[2,4]上有3个不等实根，

则直线yxa应位于l1与l2之间或直线l3的位置，

111

所以实数a的取值范围为2a0或a1，所以或1.

a2a

1

故答案为：81；1,.

2

4．（2025·天津·一模）已知函数f(x)ax22x1ax3．若函数f(x)恰有四个零点，则实数a的取值范

围为．

【答案】3,22,00,642

【分析】首先分析得a0且44a0，进一步分0a1和a0，两种情况讨论即可，原问题可以转

换为yax22x1的图象与yax3的图象的交点个数为4来求参数，从而可以通过画图进行求解.

【详解】若a0，则f(x)ax22x1ax30等价于2x13，解得x1或x2，

a0a0

当或时，函数f(x)ax22x1ax3是二次函数，

Δ44a0Δ44a0

其零点不超过两个，

从而必然有a0且44a0，

f(x)ax22x1ax3的零点有四个等价于yax22x1的图象与yax3的图象的交点个数为4，

2

如图，当0a1时，设直线l1与yax2x1的图象相切，直线l2经过点B，其中B的横坐标是

yax22x1的较小的那个根，

且l1,l2经过直线l:yax3所过的那个定点A3,0，

11a11a

由求根公式可求得点B的横坐标为，从而B,0，

xB

aa

所以要满足题意的话，那么当且仅当kkk，其中k,k,k分别表示直线的斜率，

l1ll2l2ll1l2,l,l1

303a

kl,kla

显然有211a11a，

0

a

联立直线ykx3与2得，

l1yax2x1

22

axkl2x40，从而有Δk216a0，解得kl4a2或kl4a2（舍去），

11l11

1

2

舍去kl4a2是因为理论上来说yklx3与yax2x1可能有两种相切的情况，

11

一种是相切于对称轴左边的一点，一种是相切于对称轴右边一点，

从而k4a2，

l1

3a

所以0a1时，klklkl4a2a，

1211a

0a1

即1a2，解得0a642，

2

a22

22

当a0时，设直线l1与yax2x1的图象相切，直线l2经过点B，其中B的横坐标是yax2x1的

较大的那个根，

且l1,l2经过直线l:yax3所过的那个定点A3,0，

11a11a

由求根公式可求得点B的横坐标为，从而B,0，

xB

aa

所以要满足题意的话，那么当且仅当kkk，其中k,k,k分别表示直线的斜率，

l2ll1l2ll1l2,l,l1

303a

kl,kla

显然有211a11a，

0

a

联立直线ykx3与2得，

l1yax2x1

22

axkl2x20，从而有Δk28a0，解得kl222a或kl222a（舍去），

12l11

1

2

舍去kl222a是因为理论上来说yklx3与yax2x1可能有两种相切的情况，

11

一种是相切于对称轴左边的靠上面的一点，一种是相切于对称轴左边的靠下面的一点，

从而k222a，

l1

3a

所以a0时，a222a，

11a

a0

即1a2，解得3a2或2a0，

2

a20

综上所述，所求为3,22,00,642.

故答案为：3,22,00,642.

5．（2025·天津南开·二模）已知函数fxx1xa11的图象与直线ya3xa有三个交点，则实

数a的取值范围是．

71

【答案】4,,

22

4

【分析】x1xa11a3xa，当x1时，变形为xa1a3，令tx1,(t0)，则

x1

4

taa3，画出函数图象，结合图象列出不等式即可求解.

t

【详解】x1xa11a3xa，

即x1xa1a3xa1ax3xa1ax13x14，

当x1，f11，ya3a3，所以x1不是交点横坐标；

44

当x1时，xa1a3，即xa1a3，

x1x1

4

令tx1,(t0)，则taa3，

t

所以f(x)的图象与ya3xa有3个交点，

4

即函数ytaa与y3的图象有3个交点，

t

函数ytaa恒过点a,a，

4

当taa3，即t2(2a3)t40，

t

2

Δ2a3160，即4a212a72a12a70，

17

解得a或，

22

4

当t3，解得t4或1，

t

417

所以函数ytaata与y3相切时的最小值为a或，

t22

11

由图象可知当（1）a时，即a；

22

774

（2）a4，即4a时函数ytaa与y3的图象有3个交点，

22t

71

综上：当a4,,时，f(x)的图象与ya3xa有3个交点，

22

71

故答案为：4,,.

22

考向4：嵌套函数的分析思路

定义：①函数里调用另一个函数fgx简称函数嵌套.

②函数里调用函数本身ffx简称递归嵌套.

函数嵌套原理求函数解析式步骤如下：

形如：ffxAB

第一步：令fxAmfxmA

第二步：令xm，fmmA,解出m?

第三步：求出fx的解析式.

x22x3,xa,

．（天津二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数的

12025··fxxffx3a

3,xa.

取值范围是.

【答案】,02,

【分析】第一步换元，分两大类：当ta时，ffxftt22t33，或当ta时，

ffxft3t3，解得a2或a0即可得解.

【详解】设tfx，则ffxft3，

情形一：当ta时，ffxftt22t33，解得tfx0或tfx2，

2

因为x22x3x120,3x0，故不可能有tfx0，

从而只能是tfx2有唯一的解，

这就要求tfx2a，

当xa时，tfx2x22x3a，解得x12a，

x

当xa时，tfx23，解得xlog322a，这与xa矛盾，

此时满足题意的a的取值范围是2,；

情形二：当ta时，ffxft3t3，解得tfx1，

这就要求tfx1a，

2

由于x22x3x121，故只能是tfx3x1,xa，解得x0，

这就要求x0a，

此时满足题意的a的取值范围是,0；

综上所述，满足题意的a的取值范围是,02,.

故答案为：,02,.

x24x1,x0

x

2．（2025·天津·模拟预测）已知函数fx1若关于x的方程fx1fxm0恰有5

2,x0