重庆市2025-2026学年高二数学上学期12月期中试题含解析

注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再连涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出直线的倾斜角，再利用已知条件结合倾斜角的取值范围求出的倾斜角．【详解】直线，设直线斜率为，倾斜角为，，，直线绕原点顺时针旋转得到直线，又倾斜角的取值范围为，直线的倾斜角为，故D正确．故选：D．2.已知等差数列满足，则下列各式正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得：.故选：B.3.已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点，为坐标原点，若.且，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可得，，将代入抛物线方程可得答案.【详解】由题可得，如图，做垂直于x轴，因，，则，，则，将代入，可得，则抛物线的方程为：.故选：C4.已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点，则圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出圆心到切点的斜率，进而求出圆心，再利用两点间距离公式求出半径，进而得出圆的标准方程．【详解】已知圆的圆心在轴上，设圆心坐标为，圆心到切点的连线斜率为，半径为，则，解得，，解得，即圆心，圆心到切点的距离即为圆的半径，，圆的标准方程为，故A正确．故选：A．5.已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由题知，进而在焦点三角形中结合余弦定理得，进一步计算可知即可得答案.【详解】由椭圆的方程得，由椭圆的定义知：，则故在中，因为，故根据余弦定理知：，即，解得，所以所以，即，所以.故选：C6.已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据是正三角形及双曲线的对称性可得，从而可求，故可得正确的选项.【详解】双曲线的焦点在轴上，左右焦点为，（其中，），因为，故，由双曲线的对称性可得，故，故，故，而在第一象限的渐近线上，故，而，故，故，因此最终渐近线方程为：.故选：B.7.已知直线与圆相交于、两点，若为整数，则这样的直线有（）条.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先分析直线的特征，再结合圆的性质计算弦长（弦长，其中为圆的半径，为圆心到直线的距离）的可能整数值，进而确定直线的数量.【详解】将直线的方程整理为：，令，解得，因此直线过定点，因为圆：的圆心为，半径，所以定点到圆心的距离为：（即点在圆内），设圆心到直线的距离为，则弦长公式：，由于直线过定点，则（点到直线的距离不超过点到定点的距离），因此：，代入弦长公式得：(时，；当时，).因为为整数，结合范围，可能的整数值为、.当时，(直线过圆心)，将代入直线的方程：，得，对应1条直线；当时，由弦长公式，解得，即，圆心到直线的距离，令其等于，平方后化简得：，，，此方程判别式，有2个不同的实根，对应2条直线.所以对应1条，对应2条，共条.故选：B.8.已知数列满足，，则下列判断正确的是（）A.，使得 B.，使得C. D.，使得数列的最小值为【答案】C【解析】【分析】根据给定的递推公式得，利用反证法推理判断B；求出数列通项公式，确定的范围判断A；确定数列单调性判断CD.【详解】由，得，对于B，假定，使得，而，则，，于是，与矛盾，因此假定是错的，即，B错误；，，而，，数列是首项为，公比为2的等比数列，则，因此，，对于A，，则，对，A错误；对于CD，，而函数是减函数，又，则，即，，因此数列是递增数列，，且是数列的最小项，C正确，D错误.故选：C二、多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】AB【解析】【分析】根据等差数列的求和公式，可判定A、B正确；结合特例法，可判定C、D不正确.【详解】对于A，根据等差数列的求和公式，可得，所以A正确；对于B，根据等差数列的求和公式，可得，所以B正确；对于C，取，可得，而，所以C错误；对于D，取，可得，而，所以D错误.故选：AB.10.已知是抛物线的焦点，不过原点的直线与抛物线相交于、两点，则下列说法正确的是（）A.若直线过点，则的最小值为2B.若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为C.若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2D.若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内【答案】BCD【解析】【分析】设，联立方程组，求得，由，可判定A错误；根据抛物线的焦半径公式，求得，结合斜率和倾斜角的定义，可判定B正确；分析直线过抛物线的焦点和直线不过抛物线的焦点，两种情况讨论可求得到轴的距离，可判定C正确；根据抛物线的定义过点作，得到以为直径的圆与准线相切，可判定D正确.【详解】由抛物线的焦点，准线方程为，设，对于A，根据抛物线的定义，可得，则，设，联立方程组，整理得，则，所以，所以，所以的最小值为，所以A错误；对于B,由抛物线的定义，可得，解得，则因为点在第一象限，可得，即，所以，设的倾斜角为，可得，所以，所以B正确；对于C，当直线过抛物线的焦点时，则，可得，因为是线段的中点，所以，所以到轴距离为；当直线不过抛物线的焦点时，可得，所以，解得因为是线段的中点，所以，即到轴的距离大于，综上可得，所以到轴的距离的最小值为，所以C正确；对于D，由直线过抛物线的焦点，过分别作，垂足分别为，根据抛物线的定义，可得，且在过点作，垂足，可得，所以以为直径的圆与准线相切，所以原点在以为直径的圆的圆内，所以D正确.故选：BCD.11.已知椭圆，是其左右焦点，是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（）A.的最大值是4B.的最大值是4C.取最小值时，点的坐标为D.若也在抛物线上，则到点的最小距离为【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆及抛物线的定义，再结合基本不等式及柯西不等式可得.【详解】由，得，即.如图：对于A：由椭圆的定义得，当且仅当时等号成立，所以A正确；对于B：因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立.所以B错误；对于C：由，所以，即，当且仅当，即代入，解得或，所以当时，有最小值，故C正确；对于D：因为点在抛物线上，抛物线焦点为，根据抛物线的定义，到点的距离等于P点到准线的距离.因为，所以，得，所以到点的距离，当且仅当，即（负值舍去）时等号成立.故D正确.三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项和为，是以1为公差，4为首项的等差数列，则通项公式_____【答案】【解析】【分析】首先根据等差数列的定义写出的通项公式，然后再根据和的关系即可求解.【详解】由题意可得，所以，当时，，当时，，符合上式，因此.故答案为：13.已知与相交于点，则_____【答案】【解析】【分析】首先求两圆相交弦所在的直线方程，再求弦长.【详解】两圆相减得直线的方程，圆心到直线距离，所以.故答案为：14.已知双曲线的左右顶点分别为，双曲线在第一象限内存在一点，使得直线的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】设.利用过两点的斜率公式，及点在双曲线上，变形化简，得到，将其代入双曲线方程得到，再根据及离心率公式计算即可得解.【详解】设，则有，即，所以.由题意知，则.所以，即.将代入双曲线方程可得，即因为，所以，即.由可得，所以离心率.所以双曲线的离心率的取值范围是.故答案为：四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知椭圆，点为椭圆内一点，过点的直线与椭圆交于、两点，（1）若直线的斜率为1，求线段的长度.（2）若为线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度.（2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程.【小问1详解】若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即.联立直线与椭圆方程组得，解得.所以.所以.【小问2详解】设，则满足，两式相减得，因为是线段的中点，所以，所以，则有，所以直线的方程为，即，即.16.已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式.（2）记，数列的前项和为，求.【答案】（1），.（2），.【解析】【分析】（1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可；（2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可.【小问1详解】设的公差为，由，则或，若，则，此时，，满足条件等式；若，则，此时，，不满足条件等式，舍去；综上，.【小问2详解】由上可知，所以当时，此时，当时，此时，综上，.17.如图多边形中，四边形是矩形，，沿直线将进行翻折，使得点至点的位置使得是正三角形.（1）求证：平面平面（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由勾股定理确定，再结合，即可求证；（2）建系求得直线方向向量和平面法向量，代入夹角公式即可求解.【小问1详解】因为是正三角形，所以，又，所以，即，又,为平面内两条相交直线，所以平面，又在平面内，所以平面平面；【小问2详解】取的中点，的中点，，又在平面内，为平面，平面的交线，由（1）可知平面，连接，在平面内，可知两两垂直，如图建系，则，则，设平面的法向量为，则，设，得，即，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值是.18.已知双曲线的左右焦点分别为，其离心率为，焦点到渐近线的距离为，点是直线上一点，直线的斜率分别是，是坐标原点.（1）求双曲线的标准方程.（2）是否存在实数，使得为定值？若存在，求出及该定值.若不存在说明理由.（3）若直线与双曲线相交于、两点，求出点的坐标使得.【答案】（1）；（2）存在实数使得为定值；（3）或.【解析】【分析】（1）根据题意得，再结合解方程即可得答案；（2）结合（1）得，进而根据代入整理得，此时，即时即为定值；（3）设直线的方程为，，进而与双曲线联立方程，结合韦达定理化简整理得所以，解方程即可求得或，最后根据即可求得坐标.【小问1详解】由题知，双曲线的焦点在轴上，故焦点为，渐近线方程为因为其离心率为，焦点到渐近线的距离为，所以，又因为，所以，，，所以双曲线的标准方程为，即【小问2详解】由（1）知，因为点是直线上一点，所以，所以，所以，所以，当，即时，，为定值.所以，存在实数使得为定值；【小问3详解】设直线的方程为，联立方程得，因为直线与双曲线相交于、两点，所以，即，，，所以，即，整理得，即，解得或，满足判别式.当时，即，解得，，即；当时，即，解得，，即.所以，当点或时，.19.已知抛物线及点，直线过点且相交于两点，与相交于两点，过分别作抛物线切线，过两点的切线相交于点，过两点的切线相交于点.（1）已知的轨迹是同一条直线，求直线的方程.（2）求线段的最小值.（3）求四边形面积S的取值范围.(注:（1）若点是抛物线上一点，则过的抛物线的切线方程为（2）若点是抛物线外一点，过作抛物线的切线，切点分别是，则直线方程为)【答案】（1）；