四川省2026届高三数学上学期第四次考试试题含解析

总分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简两个集合，即可根据补集和交集的定义，结合图形求解.详解】由，可得或，，故或由图可知阴影部分表示的集合为，故选：D2.已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（）A. B.20C D.6【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简复数，然后利用纯虚数的概念求得，进而由求解即可.【详解】，且为纯虚数，，，，．故选：B．3.生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（）温度（）病毒数量（万个）A. B. C. D.m的值暂时无法确定【答案】B【解析】【分析】根据回归直线过样本中心点可得解.【详解】由已知，，即样本中心为，又回归方程为，即，解得，故选：B.4.已知向量，，，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由求，由求，代入即可求解.【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，解得，所以向量在上的投影向量为.故选:A.5.已知函数其导函数图象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，可根据为偶函数和得到正确的选项.【详解】因为，所以，则为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项A、B，又，故排除选项C；故选：D.6.下表是离散型随机变量的概率分布，则（）1234PA B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解.【详解】由题意可得：，解得，所以．故选：B.7.函数单调递增，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据分段函数的单调性求的范围，然后在解抽象不等式.【详解】根据指数函数的单调性可得，在上单调递增，于是单调递增时只需，则；又因为在上单调递增，且，则，即于是.故选：C8.已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据构造新函数，从而得到新函数的单调性，然后再对要求的不等式变形，变成“”的形式，然后根据函数单调性去掉对应关系“”，从而解得答案.【详解】因为定义在上，所以中的式子要有意义，需满足，解得.因为，所以，即，设函数，则在定义域上单调递减.要求，则当，即时，，即，所以，解得或，所以；当，即时，，即，所以，解得；在中，令得，而在中，当时，有，显然成立；综上，的解集为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.随机变量服从二项分布，，则B.数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6C.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10.D.随机变量服从正态分布，且，则【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A，根据二项分布得到，再根据方差的性质即可判断A选项正误；对于选项B，根据平均数的性质即可判断B选项正误；对于选项C，根据各项系数和求解的值，再根据二项式定理的通项进行求解即可；对于选项D，根据正态分布性质即可判断D选项正误.【详解】对于A选项，，.故A选项正确；对于B选项，因为，，，，…，的平均数为，故B选项错误；对于C选项，已知各项系数和为，则令，得：，解得：.由的展开式中第项为，当时，得：，即项的系数为.故C选项正确.对于D选项，服从正态分布，，所以，故D选项正确.故选：ACD10.如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列结论中，正确结论的是（）A.异面直线和所成的角为B.与平面所成角的正切值为C.D.直线平面【答案】BC【解析】【分析】利用中位线性质及异面直线所成角的概念可知为异面直线与所成的角，然后在等边三角形中求解判断A；根据线面角的概念可知即为所求，然后在直角三角形求解判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直判断C；利用向量法判断与不垂直，然后利用线面垂直的性质判断D.【详解】对于A：连接是棱的中点，是棱的中点，.在正方体中，由且，可得四边形为平行四边形，因此，则，为异面直线与所成的角.连接，易知为等边三角形，因此，即异面直线与所成角为，故A错误；对于B：因为平面与平面所成角为，不妨设正方体的棱长为2，在直角三角形中，，故B正确；对于C：由B选项正方体的棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.因此，，故C正确；对于D：同选项C有，假设平面成立，因为平面，则必有.与不垂直，与假设矛盾，因此不垂直于平面.故D错误.故选：BC.11.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.数列是递减数列 B.当时，最大C.使得成立的最小自然数 D.数列中的最小项为【答案】ABD【解析】【分析】由条件分析出，，，求出公差，即可判断A，B；由等差数列的前项和公式求出，即可判断C；分别判断当，，时，的正负，再结合数列的单调性确定最小项，即可判断D.【详解】由，可得，由，可得，即，又因为，所以.因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列，故A正确；由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大，故B正确；由等差数列的前项和公式可知，，，所以使得成立的最小自然数，故C错误；当时，；当时，；当时，，.因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以在时为增函数，所以数列中的最小项为，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为__________．【答案】2【解析】【分析】将点代入抛物线方程，求出及准线方程，进而可得出答案.【详解】因为在抛物线C：上，所以，解得，故抛物线C的准线为，所以点A到抛物线C的准线的距离为.故答案为：.13.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________．【答案】【解析】【分析】由全概率公式即可处理.【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应）则,且两两互斥.由题意可得：,14.已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果.【详解】设过点的直线与的图象相切于点，则切线斜率，由切线过点，得，因此，整理得.令，则，原问题等价于有三个不同零点.当时，单调递增，最多有1个零点，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极大值为，极小值为，要使有三个零点，需满足且，即，解得；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，极大值为，要使有三个零点，需满足且，即，解得；综上，的取值范围是.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图.（1）根据图中数据，估计强化训练前的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；并求强化训练后的成绩的60%分位数.（2）规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”.强化训练是否优秀合计优秀非优秀强化训练前

强化训练后

合计

将上面的表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？附：，.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）平均数为，分位数为；（2）表格见解析，认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关.【解析】【分析】（1）根据题意求各组的频率，结合平均数和分位数的定义运算求解即可；（2）完善列联表，求值，结合独立性检验思想分析判断.【小问1详解】因为强化训练前的各组频率分别为，，，，，；强化训练前的成绩的平均数，强化训练后的各组频率分别为，，，，，又因为前三组频率之和为，前四组频率之和为，可知分位数在内，设分位数为，则，解得，所以分位数约为；【小问2详解】零假设为：跳水运动员是否优秀与强化训练无关，补充完整的表格为

优秀人数非优秀人数合计强化训练前4060100强化训练后6040100合计100100200则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关.16.已知函数的最大值为1．（1）求使成立的的集合；（2）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由辅助角公式得到，结合最大值求解，再由即可求解；（2）由（1）求得，再结合三角形面积公式及余弦定理即可求解.【小问1详解】，最大值为，所以，即，则，即，即，即，所以的解集为：【小问2详解】因为，即，即，因为为三角形内角，所以，得，又的面积为，即，得，又则即，所以周长为.17.已知函数（1）当，时，解关于的方程；（2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式；（3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）将，代入，可转化为关于的二次方程，解方程进而可得的值；（2）利用奇函数的性质直接求解；（3）化简可得，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等式直接求最值.【详解】（1）当，时，．即，解得：或（舍去），∴；（2）若函数是定义在上的奇函数，则，即即恒成立，解得：，，或，经检验，满足函数的定义域为，．（3）当时，函数满足，∴，则不等式恒成立，即恒成立即恒成立，设，则，即，恒成立，由平均值不等式可得：当时，取最小值．故，即实数m的最大值为．【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．18.已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为（1）求数列的通项公式及数列的前n项和（2）是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），（2）存在，，【解析】【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差，得到通项公式，并利用错位相减法求和；（2）假设存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，得到方程，得到，求范围，即得结论.【小问1详解】由题意在等差数列中，设公差为d，由，得，则，又，，成等比数列，∴7，，成等比数列，得，即，得，∴，，∴数列的通项公式为：（）．∴，∴【小问2详解】若存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，则，即，化简得：，解得：又且，所以，，故存在正整数，，使得，，成等比数列.19.已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若在上恰有2个零点，求m的取值范围；（3）若，是的极值点，求证：．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式方程求解即得；（2）依题意，将在上恰有2个零点问题转化成与的图象有2个不同的交点问题，求导研究函数在上的单调性，作出其图象数形结合即可求得参数的范围.（3）对求导，根据题设可得，由代入化简并放缩得到，令，求导判断其单调性，得到，即得，则得证【小问