安徽省合肥市2025-2026学年高二数学上学期11月期中试题含解析

（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为，所以焦点坐标为，其准线方程为，所以抛物线的焦点到其准线的距离为，故选：B2.已知直线：与：垂直，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直的判断方法，列出方程求解即得.【详解】由直线：与：垂直，故得故选：C.3.若直线始终平分圆的周长，则的值为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】依题意直线经过圆的圆心，列出等式即得.【详解】由题意知圆心在直线上，∴，整理得，故选：D4.在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（）A. B.4 C.8 D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出点到圆心的距离，再利用圆的性质求解.【详解】圆：的圆心，半径，所求的最短距离为.故选：A5.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，根据离心率求得，进而求得双曲线方程，然后代入即可得解.【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.故选：B.6.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量法求线线角即可.【详解】以为原点，在平面内过作的垂线交于，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，因为直三棱柱中，，，，所以，所以，设异面直线与所成角为，所以.故选：C.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（）A. B.3 C.9 D.7【答案】D【解析】【分析】根据的面积为，即可求解.【详解】根据题意可知椭圆半焦距，设点,，，那么，所以的面积，所以，所以，化简得，即或9．又因为，解得，因此．故选：D．8.已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设是椭圆上的点，设，求出为定值，从而能求出的值，然后根据求解.【详解】设代入椭圆方程，则整理得：设，又，,所以而，所以，所以故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）．A.平面平面B.三棱锥的体积为C.D.【答案】ACD【解析】【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算，逐项判断即可.【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则对于A，连接，因为平面，平面，所以是平面的一个法向量，又，所以，则，又平面，所以平面则是平面的一个法向量，又，所以平面平面，故A正确；对于B，连接，因为，，所以，则，又平面，平面，所以平面，点在线段上的动点，点到平面的距离即点到平面的距离，设平面的法向量为，又，则，令，所以又，所以距离，在中，所以为正三角形，故B不正确；对于C，点为线段上的动点（不含端点），则设所以，则，故C正确；对于D，因为，，所以，故D正确.故选：ACD.10.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则（）A. B.C. D.以为直径的圆与相切【答案】AD【解析】【分析】求出焦点坐标与准线方程，结合焦半径公式判断A，即可求出，从而判断B、C，根据抛物线的定义证明D.【详解】对于A：抛物线：，则，准线方程为，由，解得，故A正确；对于B：由，即，解得，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：设，则，设的中点为，过作准线的垂线段，垂足分别为，则，，由梯形中位线定理知，所以以为直径的圆与准线相切，故D正确.故选：AD11.公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，把离心率为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，为中点．设双曲线的离心率为，则下列说法中，正确的有（）A. B.C. D.若，则恒成立【答案】ABC【解析】【分析】由黄金分割双曲线定义求得双曲线的离心率，判断A，证明，利用射影定理证明，判断B，利用点差法求判断C，联立方程求出坐标，计算，判断D.【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确；对继续变形得，，，，所以，又，所以，，所以，所以，所以，B正确；设，，，将坐标代入双曲线方程可得，，作差后整理可得，即所以，故C正确；设直线，则直线，将代入双曲线方程，可得，则，，将换成即得，则与，的值有关，故D错误，故选：ABC．【点睛】点差法是解决中点弦问题的常用的方法.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为______【答案】【解析】【分析】由双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，由抛物线的方程可得准线方程，再由题意可得的值，进而求出抛物线的方程．【详解】由双曲线的方程可得，解得，所以双曲线的焦点坐标为，抛物线的准线方程为，由题意可得，解得，所以抛物线的方程为：，故答案为：．13.设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为_________.【答案】【解析】【分析】由题意求出，，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理得，即可求出离心率．【详解】由题意知，，而轴，故，所以，解得；又，所以，所以椭圆的离心率为．故答案为：．14.阿波罗尼斯（约公元前262－190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为6的正方体中，点是BC的中点，点是正方体表面上一动点（包括边界），且满足，则三棱锥体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】依题意可得，即可得到，在平面中作，求解最值，根据勾股定理得出，，再由二次函数的单调性求的最大值，代入棱锥体积公式得答案．【详解】解：在棱长为的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，，，即，在平面中作，设，，，化简得，，所以当时，取得最大值为，所以，在正方体中平面，又，三棱锥的体积最大值．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知，，，，．（1）求；（2）若，求实数，的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案；（2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案.【小问1详解】，，，，；【小问2详解】因为，所以设，即，故，解得.16.曲线且（1）若曲线表示双曲线，求的取值范围；（2）当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据双曲线方程的特征得到不等式，求出；（2）时，求出，设，，根据垂直关系得到方程，结合，求出，得到答案.【小问1详解】表示双曲线，则，解得，故的取值范围是；【小问2详解】时，曲线为双曲线，设，，故，因为，所以，解得，故点的横坐标为.17.已知点和圆．（1）过点作直线AC平行线l，求直线l的方程；（2）过点A的直线与圆C交于P，Q两点，若，求直线PQ的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据已知及斜率两点式可得，结合及点斜式写出直线方程；（2）由题设圆心C到直线PQ的距离为1，讨论斜率的存在性求出对应直线PQ的方程.【小问1详解】圆，圆心，故，又，则，即直线方程为；【小问2详解】∵，所以圆心C到直线PQ的距离为，当斜率存在时，设直线PQ的方程为，则，∴，直线方程为，当斜率不存在时，，圆心到直线的距离为1显然成立，综上，符合条件的直线PQ方程为或.18.在中，，，，分别是上点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小；（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；（3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【小问1详解】因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面内，所以平面；【小问2详解】由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，，.设与平面所成角的大小为，则有，设为与平面所成角，故，即与平面所成角的大小为；【小问3详解】假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.在空间直角坐标系中，，，，设，则，，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，若平面与平面成角余弦值为.则满足，化简得，解得或，即或，故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为.此时的长度为或.19.已知椭圆：的右焦点为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于），直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，求的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】分析】（1）根据题意求出，即得椭圆方程；（2）先考虑直线的斜率不存在时，求出点的坐标，进而写出的方程，令，即可求得点的坐标即得定值；再设直线：，与椭圆方程联立，写出韦达定理，同法求出点的坐标，化简计算即得定值；（3）依题先求出抛物线的方程，记点，直线的方程为，与抛物线方程联立，求出，再由的重心在轴上，求得和，由直线的方程求得，列出的表达式，利用基本不等式即可求得其范围.【小问1详解】依题意，得，则，故椭圆的方程为.【小问2详解】由椭圆的方程可知.若直线的斜率不存在，则直线，易得，，直线的方程为