浙江省金华市部分示范高中2025~2026学年高二数学上学期1月素养检测试题含解析

考生注意：．试卷分值：分，考试时间：分钟.．考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.．所有答案均要答在答题卡上，否则无效考试结束后只交答题卡.85分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知数列，，，2，2025项为（）A.45B.C.55D.【答案】B【解析】【分析】由给定的前5项具有的共同性质写出通项公式，进而求出第2025项.【详解】依题意，该数列的奇数项为负数、偶数项为正数，各项绝对值是项数的算术平方根，因此该数列的第项为，所以该数列的第2025项为.故选：B2.已知点P在抛物线上，且点P与点的距离和点P到直线的距离相等，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】数形结合，根据抛物线的定义，先确定点横坐标，在根据抛物线定义求值.【详解】如图：第1页/共20页

根据抛物线的定义，过做垂直抛物线的准线，垂足为，则，又，所以，故点横坐标为，所以.故选：C3.过点且与直线垂直的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题知，所求直线的斜率为，进而根据点斜式求解即可.【详解】解：因为直线的斜率为，所以，过点且与直线垂直的直线的斜率为，所以，所求直线方程为.故选：A4.等差数列的前n项和为，若则的值为（）A.30B.60C.45D.15【答案】A【解析】【分析】设基本量，再结合等差数列的性质与求和公式求解即可.【详解】在等差数列中，设首项为，公差为，第2页/共20页

因为，所以，则，即.所以.故选：A5.直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为（）A.1B.5C.或5D.1或【答案】D【解析】【分析】结合圆的方程求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合题意建立方程求出参数值即可.【详解】如图，作出符合题意的图形，由题意得圆的圆心，半径，由，得圆心到直线的距离为，则，即，解得或，故D正确.故选：D6.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若（O）A.B.C.D.第3页/共20页

【答案】C【解析】【分析】求点到双曲线的渐近线的距离，由条件列方程，化简可求离心率.【详解】设双曲线的半焦距为，则右焦点的坐标为，，双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：C.7.已知等比数列，则（）A.3B.±3C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算得解.【详解】等比数列中，，由，得，而，因此，又，且同号，则，所以.第4页/共20页

故选：C8.若是椭圆的半焦距，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆中的关系，结合基本不等式先求的取值范围，再求的取值范围.【详解】因为，且，所以，当且仅当时，等号成立.且.故.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆的半径为2，则（）A.B.点在圆C外部C.圆与圆外切D.当直线平分圆的周长时，【答案】BC【解析】2可判断ABC直线经过圆心可判断D.【详解】根据题意可得，所以，故A错误；第5页/共20页

圆，由，得点在圆的外部，故B正确；圆的圆心为，半径为8，因为，所以圆与圆，外切，故C正确；圆的圆心坐标为，半径为2，若直线平分圆的周长，所以直线过点，则，得，故D错误．故选：BC10.已知数列通项公式为，则下列结论正确的是（）A.B.数列是等差数列，且公差C.对于任意的正整数，均有成立D.存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值【答案】AB【解析】【分析】先判断数列类型及公差，由等差数列的前项和公式可以判断选项A，利用等差中项性质可以验证选项C，通过二次函数性质分析前项和最小值情况判断选项D.【详解】因为，所以为常数，又，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，所以选项B正确；由等差中项性质故C错误；又，所以，所以选项A正确；对于选项D，因为，令，二次函数的对称轴为.由二次函数的对称性知，当或时，取到最小值，所以选项D错误．故选：AB.第6页/共20页

物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（）A.的准线方程为B.C.若点，则D.设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上【答案】ABC【解析】A断BAB，结合弦长公式即可求解判断C求出点A坐标，接着由求出点B纵坐标即可判断D.【详解】对于A，因为抛物线：，所以抛物线C准线方程为，故A正确；对于B，，故可设，联立，，，故，故B正确；对于C，若点，则，则，故，故C正确；第7页/共20页

对于D，由题可得，令得，所以，又由B可知，故点N在直线上，故D错误；故选：ABC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分.12.已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是__________.【答案】7【解析】【分析】根据给定条件，判断数列的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得.【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列是严格递增数列，于是公差，因此为正整数，关于单调递减，而，则当时，取得最小值为7.故答案为：713.已知圆与轴切于轴切于的中点为的圆的切线方程是________．【答案】【解析】【分析】设切线方程为，利用直线与圆相切求的值.【详解】圆与轴切于点，与轴切于点，圆心的坐标为，半径为1，第8页/共20页

如图所示：设点与圆相切的直线方程为，利用圆心到直线的距离，解得或，根据图象不符合题意，故，故圆的切线方程为．故答案为：14.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________．【答案】##2.5【解析】【分析】由椭圆及双曲线的定义可得，，设，从而可得可得，从而得，求出的值，再由离心率公式求解即可.【详解】由椭圆的定义知，①，，由双曲线的定义知，②，由①②解得，，设，因为点与右焦点的连线交轴于点，且平分，第9页/共20页

所以，在中，由余弦定理知，③，设，则，由角平分线定理知，，即，解得，在中，④，由③④得，，解得或所以双曲线的离心率为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前n项和为，满足，_____________．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：第10页/共20页

如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）（1）求的通项公式；（2）设，求的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】1）根据等差数列的基本量的运算可得，进而即得；（2）利用分组求和法即得.【小问1详解】设等差数列的首项为，公差为若选择条件①，则由，得，解得，；若选择条件②，则由，得，解得，；若选择条件③，则由，得，解得，；【小问2详解】由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有，第11页/共20页

则，的前n项和16.已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为.（1）求圆方程；（2）过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】1弦长即可求解；（2）分斜率存在与不存在两种情况结合三角形面积求解即可.【小问1详解】设圆心，则圆的方程为，或舍去，圆的方程为.【小问2详解】由题意得，则点到直线的距离，①当斜率不存在时，此时直线l方程为，原点到直线的距离为，满足题意.此时直线方程为②当斜率存在时，设直线l的方程为，第12页/共20页

原点到直线l的距离，解得，此时直线方程，即.综上所述，直线的方程为或.17.在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】1）连接，利用余弦定理可得，结合勾股定理可得，可得，由面面垂直的性质可得平面，进而可得，可证结论；（2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值；（3）设，设平面与平面所成的夹角为，可得，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.第13页/共20页

【小问1详解】连接，因为点，分别为的中点，所以，因为四边形为直角梯形，，，，所以，，在，所以，所以，所以，又因为为等边三角形，点为的中点，所以，又因为侧面平面，侧面平面，所以平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面；【小问2详解】取的中点，连接，可得，又平面，又平面，所以，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，，令，则，则平面的一个法向量为，第14页/共20页

设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，则，所以平面与平面所成角的余弦值为；【小问3详解】设，则，又，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的夹角为，则，令，，则，令，可得，所以,所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．18.设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且第15页/共20页

．（1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式；（2的前项和为对任意正整数的取值范围．【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】1求得.（2）利用裂项求和法求得，根据的最小值列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】由题意知，且当时，，所以由得，所以，由得，即，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以；当时，，第16页/共20页

当时，也符合上式，所以．【小问2详解】由（1）得，所以，所以，所以数列是单调递增数列，所以，因为不等式对任意正整数恒成立，所以，即，又，所以解得，所以的取值范围为.【点睛】易错点睛：小问1是等差数列时，必须清楚地理解递推关系如何构建，并确保每一步的推导是严谨的.尤其是求得后，要确保与的关系准确无误.小问2：求和时，特别是在裂项求和法中，要小心每一项的符号和相加的顺序，特别是涉及到单调性和不等式的推导时，不能忽略最小值的正确性.第17页/共20页

19.已知椭圆过点上，为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值；（3）若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆分别交于点，.证明：直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案；（2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结合基本不等式，可得答案；（3）分直线的斜率存在与否两种情况，联立方程写出韦达定理，根据斜率建立方程，可得答案.【小问1详解】由焦点在直线上，令，解得，由过点，则，解得，所以椭圆的