辽宁省沈阳市2025-2026学年高一数学上学期12月第二次月考试题含解析

辽宁省2025-2026学年高一上学期第二次月考（12月）数学试卷一、单选题1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，则下列条件中使成立的充要条件是（

）A． B． C． D．3．已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（

）

A． B． C． D．4．定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．是奇函数 D．是偶函数5．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知函数，曲线和恰有一个交点，则（

）A．1 B．-1 C． D．08．函数的图象关于对称，则的最大值为（

）A．16 B． C． D．36二、多选题9．已知，且，则（

）A．B．C．D．10．已知函数的零点为，函数的零点为，则（

）A． B．C． D．11．已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（

）A．是奇函数 B．4是的一个周期C． D．三、填空题12．幂函数没有零点，则函数恒过定点13．已知函数，则不等式的解集为14．已知函数满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数，则四、解答题15．（1）计算：（2）计算：；（3）设正实数满足，求的值16．已知函数(1)若，求的值域；(2)若，函数的最小值为，求的值．17．某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.

(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；(2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据）18．已知函数的反函数为(1)求的解析式，并判断单调性（无需证明）；(2)当时使得关于不等式有解，求的取值范围：(3)若关于的不等式有2个整数解，求的取值范围．19．已知(1)证明：为定值；(2)函数在上只有一个零点，求的取值范围；(3)证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由．

1．A由函数定义域求出集合，由函数值域求出集合，由并集的定义求得结果.【详解】∵，∴，即，∵指数函数，即，∴.故选：A.2．A逐一分析各选项条件和能否互相推出即可求解.【详解】对于A，因为是上的增函数，所以，故A正确；对于B，不能推出，如，故B错误；对于C，不能推出，如，故C错误；对于D，不能推出，如，故D错误.故选：A.3．D根据函数图象得到对应的函数的定义域为和当时，，再一一判断各个选项即可.【详解】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为，对于A选项：的定义域为，所以A选项错误；对于B选项：的定义域为，所以B选项错误；又知当时，，对于C选项，的定义域为，当时，，所以C选项错误；对于D选项，的定义域为，当时，，所以D选项符合题意.故选：D.4．B令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案.【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是，令，则，即为偶函数，所以也是偶函数，即，所以，即是偶函数，对于函数无法判断函数的奇偶性.故选：B5．A根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可.【详解】因为，，，又，因为在上单调递增，且，所以，即，综上可得.故选：A6．B根据给定条件，利用对数函数单调性及复合函数单调性，结合真数恒大于0列式求解.【详解】由，得函数在上单调递减，而函数在上单调递减，则函数在上单调递增，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：B7．C将转化为，构造函数，利用偶函数的对称性即可确定方程只有一个根时的值.【详解】由可得，整理得，设，则函数的定义域为，所以，则在上为偶函数，若方程只有一个根，根据偶函数的对称性可得.故选：C.8．D根据函数的对称性利用特殊值列方程组求解析式，验证对称性即可确定解析式，根据对多项式乘法运算性质，结合二次函数的图像性质，从而得函数的最大值.【详解】由函数的图象关于直线对称可知，，即，解得：，则，所以对称性成立，，令，所以，根据二次函数的性质可得，故当，即时函数的最大值为36.故选：D．9．ABD利用不等式性质判断A；利用基本不等式判断BCD.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，故C不正确；对于D，，当且仅当时取等号，所以，故D正确.故选：ABD.10．ABD根据题意，转化为与函数和的图象，作出函数及和的图象，结合图象得到点关于原点对称，且，结合选项，逐项分析判断，即可求解.【详解】由函数的零点为，函数的零点为，所以函数与函数的图象交点的横坐标为，函数与函数的图象交点的横坐标为，作出函数，以及和的图象，如图所示，点的横坐标为，点的横坐标为，因为函数和的图象关于直线对称，且点关于对称，又因为点关于上，所以点关于原点对称，对于A，由图象可得，所以，所以A正确；对于B，，且，所以，所以B正确；对于C，由函数，可得，且，当时，，根据零点的存在性定理，可得，所以，又由，所以，所以C不正确；对于D，由，则，所以，即，所以，所以D正确.故选：ABD.11．BCD利用，，及是偶函数，经过等量代换可推出，可得为偶函数，判断A选项；推出可判断B选项；由的周期性可求解C选项；利用可求解D选项.【详解】由，用代入，得，又，两式相加得，由是偶函数，得，代入上式，得，可得，所以，即，因为，则，所以，所以为偶函数，A选项错误；由，得，又，两式相减得，所以，因此，即4是的一个周期，B选项正确；由，可得，所以，由可得，所以，由，，可得，由，，可得.所以，C选项正确；由上面推导可知，因为奇数的平方可表示为，所以奇数的平方除以4的余数为1，同理可得偶数的平方除以4的余数为，所以，D选项正确.故选：BCD.12．根据幂函数系数为求出的值，代入判断函数恒过的定点.【详解】因为是幂函数，所以系数，即，化简得，解得或，当时，指数，幂函数为，定义域为，函数值恒不为，没有零点，符合题意，当时，指数，幂函数为，有零点，不符合题意，故，则函数，令，即，此时，所以恒过定点.故答案为：13．借助指数函数、对数函数单调性探讨函数在上单调性，再构造函数，并确定其奇偶性及单调性，再求解不等式.【详解】依题意，，则函数定义域为R，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数在上单调递减，而函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，令，，函数是R上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减，于是函数在R上单调递减，不等式，即，因此，解得，所以所求不等式的解集为.故答案为：14．31根据给定条件，取可得，再利用赋值法计算即得．【详解】由函数满足，取，则，因此，，，所以．故答案为：31．15．（1）100；（2）．（3）（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解；（3）设，求得和，结合立方和公式，即可求解.【详解】（1）由；（2）由.（3）设，可得，则，所以，又由，可得，所以.16．(1)；(2)或.（1）将整理成，代入，利用换元法设，，利用对数函数和二次函数的图像求值域；（2）将整理成，设，利用对数函数和二次函数的图像求值域，分别讨论二次函数的对称轴在区间的左中右这三种情况求解.【详解】（1），时，设，当时，取最小值；当时，取最大值2；因此函数的值域为．（2），设，，，①当，即，函数的最小值为，满足题意；②当，即，函数的最小值为，由已知，解得（舍去）或（舍去）；③当，即，函数的最小值为，由已知，故，综上所述：的值为或.17．(1)(2)0.3小时后，5.2小时（1）当时，设，再将代入即可求出的值，当时，将点的坐标代入函数表达式即可求出的值，则可写出答案；（2）分段求出时，对应的的取值范围，即可写出答案.【详解】（1）当时，由图象可设，将点的坐标代入函数表达式，解得，即当时，，当时，将点的坐标代入函数，得，解得，所以，故.（2）当时，，令，即，解得，即，又，∴，故服药0.3小时之后开始有治疗效果，当时，，令，即，解得，又，∴，综上，，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.18．(1)，在上单调递增.(2)(3)（1）根据反函数的求法可求出答案，利用复合函数的单调性可判断单调性；（2）证明为奇函数，将不等式化为，由题意可知，求最大值即可求出答案；（3）利用函数的单调性和奇偶性将不等式化为，结合一元二次不等式解的情况分类讨论，即可求出答案.【详解】（1）由得，可化为，故，在上单调递增.（2）定义域为，，，所以函数是奇函数，可化为，即，因为在上单调递增，所以，当时若关于不等式有解，则，令，因此有，在单调递增，所以当时，取得最大值，即的最大值为,故.（3）根据函数的单调性和奇偶性，原不等式可化为，即，即，①当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意；②当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意；③当时，不等式解集为，不满足题意；④当时，不等式解集为，此时，不等式无整数解，故不满足题意；⑤当时，不等式解集为，若不等式有2个整数解，则，解得.综上所述，的取值范围为.19．(1)证明见解析；(2)或；(3)证明见解析，，理由见解析.（1）根据指数幂的运算直接证明即可；（2），，方法一：进而将问题转化为的零点个数问题，再结合二次函数零点分布分类讨论求解即可；方法二：分离参数，转化为函数图象交点个数问题，再研究性质，数形结合求解；（3）方法一：由题知，且为增函数，进而根据，得有唯一的正零点，,，,再作差法比较得，最后根据比较大小即可，方法二：同方法一得有唯一的正零点，,，进而比较与的大小即可得答案.【详解】（1）因为，所以，所以，即为定值；（2），设，由得，设，则在有且只有一个零点，①时，不满足题意.②解得，③解得无解，④时，即，此时，满足题意，⑤时，，检验，当时，，满足题意．当时，，不满足题意．综上所述：的取值范围为或.方法二：，设，设，令.由对勾函数性质知，在单调递减，上单调