2026届河北省“五个一”名校联盟数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析

2026届河北省“五个一”名校联盟数学高二上期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.2．已知命题p：，，则（）A.， B.，C.， D.，3．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有A.1条 B.2条C.3条 D.4条4．已知直线与直线垂直，则a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣15．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为（）A. B.C.4 D.6．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A. B.C. D.7．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是A. B.C. D.8．已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. B.C. D.9．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．已知函数，若，，则实数的取值范围是A. B.C. D.11．已知双曲线离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（）A. B.C. D.12．抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（）A.1 B.C.2 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列满足，则__________.14．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________15．若正实数满足，则的最大值是________16．已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.18．（12分）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）估计这组数据的平均数；（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），且椭圆C过点（﹣）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.20．（12分）在平面直角坐标系中，点在抛物线上（1）求的值；（2）若直线l与抛物线C交于，两点，，且，求的最小值21．（12分）中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A；（2）若，角A的角平分线交于D，，求a22．（10分）已知椭圆的焦距为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果【详解】解：直线过点且斜率为，与连接两点，的线段有公共点，由图，可知，，当时，直线与线段有交点故选：B2、C【解析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题p的否定.【详解】由全称命题的否定为特称命题，∴是“，”.故选：C.3、B【解析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论.【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，则点P(2，1)在渐近线y＝x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件，结合双曲线的性质，结合图形，得出结果，属于中档题目.4、D【解析】根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.【详解】直线与直线垂直，所以，解得或.故选：D.5、A【解析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积.【详解】如图，，，，过点C作CD⊥x轴于点D，则,所以直观图是底为2、高为的平行四边形，所以面积为.故选：A.6、A【解析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从5个点中任取3个有共种不同取法，3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.7、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.【详解】,，且a,b为正数，，当且仅当，即时，，若不等式对任意实数x恒成立，则对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，，，故选：A【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.8、A【解析】根据离心率及a，b，c的关系，可求得，代入即可得答案.【详解】因为离心率，所以，所以，，则，所以C的渐近线方程为.故选：A9、A【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，因为,所以平面，因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，所以，因为点P到底面的距离为3，所以，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A10、A【解析】函数，若，，可得，解得或，则实数的取值范围是，故选A.11、C【解析】运用点差法即可求解【详解】由已知得，又，，可得.则双曲线C的方程为.设，，则两式相减得，即.又因为点P恰好是弦的中点，所以，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.经检验满足题意故选：C12、B【解析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即可求出线段中点的横坐标，即得到答案.【详解】由已知可得抛物线的准线方程为，设点的坐标分别为和，由抛物线的定义得，即，线段中点的横坐标为，故线段的中点到轴的距离是.故选：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】对递推关系多递推一次，再相减，可得，再验证是否满足；【详解】∵①时，②①-②得，时，满足上式，.故答案为：.【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.14、；【解析】可化简曲线的方程为，作出其图形，数形结合求临界值即可求解.【详解】由可得，所以曲线为以为圆心，的下半圆，作出图形如图：当直线过点时，，可得，当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离，可得：或（舍），若直线与曲线没有公共点，由图知：或，所以实数的取值范围是：，故答案为：15、4【解析】由基本不等式及正实数、满足，可得的最大值.【详解】由基本不等式，可得正实数、满足，，可得，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故答案为：4.16、或10.【解析】对参数a进行讨论，考虑曲线是椭圆和双曲线的情况，进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.【详解】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16，所以，舍去；若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.故答案为：或10.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长【解析】先设出点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.【详解】设点，那么矩形面积，.令解得（负舍）.所以S在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递；..所以当时，S有最大值.此时答：当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长.18、（1）（2）77（3）【解析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.【小问1详解】由频率分布直方图得，解得，所以图中值是0.020.【小问2详解】由频率分布直方图得这组数据的平均数：，所以这组数据的平均数为77.【小问3详解】数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：，共个不同结果，它们等可能，其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，所以人中恰有名女生的概率为为.19、（1）（2）或.【解析】（1）设标准方程代入点的坐标，解方程组得解.（2）设直线方程代入椭圆方程消元，韦达定理整体思想，可得直线斜率得解.【小问1详解】因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为，又点在椭圆C上，所以，解得，因此，椭圆C的方程为；【小问2详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，因为，所以，因为，，所以，所以，①联立方程，消去得，则，代入①，得，解得，经检验，此时直线与椭圆相交，所以直线l的方程是或.20、（1）1（2）【解析】（1）将点代入即可求解；（2）利用向量数量积为3求出，再对式子变形后使用基本不等式进行求解最小值.【小问1详解】将代入抛物线，解得：.【小问2详解】，在抛物线C上，故，，解得：或2，因为，所以，即，故，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.21、（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理统一三角函数化简即可求解；（2）根据角平分线建立三角形面积方程求出b,再由余弦定理求解