2026届四川省井研中学高二上数学期末学业质量监测模拟试题含解析

2026届四川省井研中学高二上数学期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，若，则xy的最小值是（）A. B.C. D.2．设等差数列的前项和为，已知，，则的公差为（）A.2 B.3C.4 D.53．双曲线的左、右焦点分别为、，P为双曲线C的右支上一点．以O为圆心a为半径的圆与相切于点M，且，则该双曲线的渐近线为（）A. B.C. D.4．与向量平行，且经过点的直线方程为（）A. B.C. D.5．在等比数列中，是和的等差中项，则公比的值为（）A.－2 B.1C.2或－1 D.－2或16．已知动点满足，则动点的轨迹是（）A.椭圆 B.直线C.线段 D.圆7．若复数的模为2，则的最大值为（）A. B.C. D.8．若正实数、满足，且不等式有解，则实数取值范围是（）A.或 B.或C. D.9．设函数在R上存在导数，对任意的有，若，则k的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.11．若，则（）A.1 B.2C.3 D.412．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（）A.5 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将全体正整数排成一个三角形数阵（如图）：按照以上排列的规律，第9行从左向右的第2个数为__________.14．已知数列的前项和为，且满足，，则___________.15．数列满足，则__________.16．与直线和直线的距离相等的直线方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，证明18．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离相等.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于A，两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.19．（12分）已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由20．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点.（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求m的值.21．（12分）{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.（1）求数列{}和数列}的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.①记，求{}的通项公式；②求的值.22．（10分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔．某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生（1）若从中挑选2名志愿者，求入选者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，那么现将6人分为A、B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛，共赛10局．A、B两组分数（单位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139从统计学角度看，应选择哪个组更合适？理由是什么？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】对使用基本不等式，这样得到关于的不等式，解出xy的最小值【详解】因为，，由基本不等式得：，所以，解得：，当且仅当，即，时，等号成立故选：C2、B【解析】由以及等差数列的性质，可得的值，再结合即可求出公差.【详解】解：，得，，又，两式相减得，则.故选：B.3、A【解析】连接、，利用中位线定理和双曲线定义构建参数关系，即求得渐近线方程.【详解】如图，连接、，∵M是的中点，∴是的中位线，∴，且，根据双曲线的定义，得，∴，∵与以原点为圆心a为半径的圆相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得双曲线的渐近线方程为.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用和渐近线的求法，属于中档题.4、A【解析】利用点斜式求得直线方程.【详解】依题意可知，所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即.故选：A5、D【解析】由题可得，即求.【详解】由题意，得，所以，因为，所以，解得或.故选：D.6、C【解析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.【详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段.故选：7、A【解析】由题意得，表示以为圆心，2为半径的圆，表示过原点和圆上的点的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，然后求出切线的斜率即可【详解】因为复数的模为2，所以，所以其表示以为圆心，2为半径的圆，如图所示，表示过原点和圆上的点的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设切线方程为，则，解得，所以的最大值为，故选：A8、A【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为正实数、满足，则，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为不等式有解，则，即，即，解得或.故选：A.II卷9、C【解析】构造函数，求导后利用单调性，对题干条件变形后得到不等关系，求出答案.【详解】令，则恒成立，故单调递增，变形为，即，从而，解得：，故k的取值范围是故选：C10、C【解析】先求出椭圆的右焦点，从而可求抛物线的准线方程.【详解】，椭圆右焦点坐标为，故抛物线的准线方程为，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，一般地，如果抛物线的方程为，则抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，本题属于基础题.11、C【解析】由二项分布的方差公式即可求解.【详解】解：因为，所以.故选：C.12、C【解析】先求的平方后再求解即可.【详解】，故，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、38【解析】根据数阵的规律求得正确答案.【详解】数阵第行有个数，第行有个数，并且数字从开始，每次递增.前行共有个数，第行从左向右的最后一个数是，所以第行从左向右的第个数为.故答案为：14、【解析】当时，，可得，可得数列隔项成等比数列，即所以数列的奇数项和偶数项分别是等比数列，分别求和，即可得解.【详解】因为，，所以，当时，，∴，所以数列的奇数项和偶数项分别是等比数列，所以.故答案为：.15、【解析】对递推关系多递推一次，再相减，可得，再验证是否满足；【详解】∵①时，②①-②得，时，满足上式，.故答案为：.【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.16、【解析】设直线方程为，根据两平行直线之间距离公式即可求解.【详解】设该直线为：，则由两平行直线之间距离公式得：，故该直线为：；故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递减，在单调递增；（2）见解析.【解析】(1)求f(x)导数，讨论导数的正负即可求其单调性；(2)由于，则，只需证明，构造函数，证明其最小值大于0即可.【小问1详解】时，，当时，，∴，当时，，∴，∴在单调递减，在单调递增；【小问2详解】由于，∴，∴只需证明，令，则，∴在上为增函数，而，∴在上有唯一零点，且，当时，，g(x)单调递减，当时，，g(x)单调递增，∴的最小值为，由，得，则，∴，当且仅当时取等号，而，∴，∴，即，∴当时，.【点睛】本题考察了利用导数研究函数的单调性，也考察了利用导数研究函数的最值，解题过程中设计到隐零点的问题，需要掌握隐零点处理问题的常见思路和方法.18、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)利用抛物线点，n)到焦点的距离等于到x轴的距离求出，从而得到抛物线的标准方程(2)联立直线与抛物线方程，通过韦达定理求出直线方程，然后由，即可求解【小问1详解】由题意可得，故抛物线方程为；【小问2详解】设，，，，直线的方程为，联立方程中，消去得，，则，又，解得或(舍去)，直线方程为，直线过定点19、（1）；（2）直线的斜率为定值，且定值为.【解析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a、b，即可得椭圆标准方程.（2）由题设得，法一：设为，联立椭圆方程应用韦达定理求M坐标，根据与斜率关系求N的坐标，应用两点式求斜率；法二：设为，，联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于参数m、k的方程，即可判断是否为定值.【小问1详解】由题意，则，又，所以椭圆C方程为，代入有，解得，所以，故椭圆的标准方程为；【小问2详解】由题设易知：，法一：设直线为，由，消去y，整理得，因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标，故M为，用代替k，得N为，所以，故直线的斜率为定值法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，，由，消去y，整理得，所以，而，又，代入整理得，所以，即，若，则直线过点T，不合题意，所以．即，故直线的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于直线斜率的方M、N程，或求出的坐标，应用两点式求斜率.20、（1）（2）或【解析】（1）由已知设圆C的方程为，点代入计算即可得出结果.（2）由已知可得圆心C到直线的距离,利用点到直线的距离公式计算即可求得值.【小问1详解】设圆心坐标为，半径为，圆C的圆心在直线上，.则圆C的方程为，圆C过点，则，解得：则，圆C的圆心坐标为.则圆C的方程为；【小问2详解】圆心C到直线的距离.则，解得或21、（1），（2）①；②【解析】（1）利用等差数列的通项公式将展开化简，求得首项，可得；根据递推式，确定，再写出，两式相减可求得；（2）①根据等差数列的性质，采用倒序相加法求得结果；②根据数列的通项的特征，采用错位相减法求和即可.【小问1详解】设数列{}的公差为d，则d=1，由，即，可得，所以{}的通项公式为；由可知：当，得，当时，，两式相减得；，即，所以{}是以为首项，为公比的等比数列，故.【小问2详解】①，两式相加，得所以；②，，两式相减得：，故.22、（1