山东省郯城县美澳学校2026届数学高一上期末经典试题含解析

山东省郯城县美澳学校2026届数学高一上期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数且，则函数恒过定点（）A. B.C. D.2．关于函数的叙述中，正确的有（）①的最小正周期为；②在区间内单调递增；③是偶函数；④的图象关于点对称.A.①③ B.①④C.②③ D.②④3．函数，则f（log23）=（）A.3 B.6C.12 D.244．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5．定义域为的函数满足，当时，，若时，对任意的都有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6．定义运算：，则函数的图像是（）A. B.C. D.7．“是第一或第二象限角”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．已知定义在R上的函数满足，且当]时，，则（）A.B.C.D.9．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A.AB B.ADC.BC D.AC10．已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点作直线交该图象于两点，点是的图象的最高点在轴上的射影，则的值是A B.C.1 D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的最小值为________.12．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为__________.13．已知函数，若关于的方程在上有个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.14．，，且，则的最小值为______.15．幂函数的图象经过点，则________16．经过，两点的直线的倾斜角是__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边在第二象限且与单位圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，.（1）求的值；（2）求的值.18．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.19．已知等差数列满足，前项和.（1）求的通项公式（2）设等比数列满足，，求的通项公式及的前项和.20．已知函数在区间上单调，当时，取得最大值5，当时，取得最小值-1.（1）求的解析式（2）当时，函数有8个零点，求实数的取值范围21．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】利用对数函数过定点求解.【详解】令，解得，，所以函数恒过定点，故选：D2、C【解析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】，∴最小正周期，①错误；令，则在上递增，显然当时，②正确；，易知为偶函数，③正确；令，则，，易知的图象关于对称，④错误；故选：C3、B【解析】由对数函数的性质可得，再代入分段函数解析式运算即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：B.4、D【解析】利用函数的奇偶性得到，再解不等式组即得解.【详解】解：由题得.因为在上单调递减，并且，所以，所以或.故选：D5、B【解析】由可求解出和时，的解析式，从而得到在上的最小值，从而将不等式转化为对恒成立，利用分离变量法可将问题转化为，利用二次函数单调性求得在上的最大值，从而得到，进而求得结果.【详解】当时，时，当时，，时，时，，即对恒成立即：对恒成立令，，，解得：故选：B6、A【解析】先求解析式，再判断即可详解】由题意故选：A【点睛】本题考查函数图像的识别，考查指数函数性质，是基础题7、A【解析】利用充分必要条件的定义判断.【详解】若角的终边在第一或第二象限，则，反过来，若，则的终边可能在第一或第二象限，也有可能在轴正半轴上.所以“是第一或第二象限角”是“”的充分不必要条件.故选：A8、A【解析】由，可得的周期为，利用周期性和单调性化简计算即可得出结果.【详解】因为，所以的周期为当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减因为，且所以故故选：A.9、D【解析】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB<AD<AC，BC<AC.故选D.10、B【解析】分析：由图象得到函数的周期，进而求得．又由条件得点D,E关于点B对称，可得，然后根据数量积的定义求解可得结果详解：由图象得，∴，∴又由图象可得点B为函数图象的对称中心，∴点D,E关于点B对称，∴，∴故选B点睛：本题巧妙地将三角函数的图象、性质和向量数量积的运算综合在一起，考查学生分析问题和解决问题的能力．解题的关键是读懂题意，通过图象求得参数；另外，根据函数图象的对称中心将向量进行化简，从而达到能求向量数量积的目的二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】原函数化为，令，将函数转化为，利用二次函数的性质求解.【详解】由原函数可化为，因为，令，则，，又因为，所以，当时，即时，有最小值.故答案为：12、【解析】正方体体积8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π故答案为：12π点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为:.13、【解析】数形结合，由条件得在上有个不相等的实数根，结合图象分析根的个数列不等式求解即可.【详解】作出函数图象如图所示：由，得，所以，且，若，即在上有个不相等的实数根，则或，解得.故答案为：【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.14、3【解析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：解法一：因为所以当且仅当时等号成立.解法二：设，，则，所以当且仅当时等号成立.故答案为：15、【解析】设幂函数的解析式，然后代入求解析式，计算.【详解】设，则，解得，所以，得故答案为：16、【解析】经过，两点的直线的斜率是∴经过，两点的直线的倾斜角是故答案为三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由三角函数的定义可得出的值，再结合同角三角函数的基本关系可求得的值；（2）利用诱导公式结合弦化切可求得结果.【小问1详解】解：由题意可知点的横坐标为，则，因为为第二象限角，则，故.【小问2详解】解：.18、（1）不是，理由见解析；（2）；（3）或.【解析】(1)假定函数是“自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.【小问1详解】假定函数是“自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，所以函数不“自均值函数”.【小问2详解】依题意，存在，对于，存在，有，即，当时，的值域是，因此在的值域包含，当时，而，则，若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，于是得，，要在的值域包含，则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，所以的取值范围是.【小问3详解】依题意，存在，对于，存在，有，即，当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，当时，在单调递增，在的值域是，由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，当时，函数的对称轴为，当，即时，在单调递增，在的值域是，由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，当，即时，，，，，由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；综上得：或，所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.19、（1）；（2），【解析】（1）设的公差为，则由已知条件得，化简得解得故通项公式，即（2）由（1）得．设的公比为,则,从而故的前项和20、（1）；（2）.【解析】(1)由函数的最大值和最小值求出,由周期求出ω,由特殊点的坐标出φ的值,可得函数的解析式(2)等价于时,方程有个不同的解.即与有个不同交点,画图数形结合即可解得【详解】(1)由题知,..又,即,的解析式为.(2)当时,函数有个零点,等价于时,方程有个不同的解.即与有个不同交点.由图知必有,即.实数的取值范围是.【点睛】已知函数有零点求参数常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离,转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.21、（1）；（2）函数在上是增函数，证明见解析；（3）.【解析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出