云南省昆明市五华区2025-2026学年高二上学期数学质量监测卷试题（有解析）

云南省昆明市五华区2025-2026学年高二上学期数学质量监测卷试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考场号、座位号、姓名、班级填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考场号、座位号、姓名、班级，在规定的位置贴好条形码．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A B. C. D.2.已知复数满足，其中i是虚数单位，则（）A.5 B.4 C.3 D.3.已知数列满足，，则（）A.3 B.4 C.5 D.64.已知平面，直线，下列命题为真的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（）A.极差为3 B.平均数为7C.分位数为7.5 D.方差为26.平行六面体中，，设向量，则（）A. B.C. D.7.设函数，若在区间上有零点，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.88.已知直线与双曲线一支相交于不同的两点，设双曲线渐近线斜率为，则的取值范围为（）A. B.C D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9已知，则（）A. B.C. D.10.已知是棱长为4的正四面体，点在表面上运动，MN为的外接球的一条直径，则（）A.的表面积为 B.的体积为C.球表面积为 D.的最小值为11.已知，下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，若，则C.若有两解，则成等差数列D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上一点，若的最大值为10，最小值为4，则该椭圆的离心率为__________.13.已知等差数列的前项和为，已知，则__________.14.已知两点，若圆上存在点满足，则半径的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆的一条直径的两个端点分别是.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于A，B两点，若，求直线的方程.16.下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图①是一个边长为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到个图形.（1）在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）；123413271（2）若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和.（i）证明：当时，；（ii）求数列的前项和.17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）若为BC边上一点，，且，求.18.如图1，是等边三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形.把沿AC翻折至，得空间四边形ABCE，点在线段EB上，如图2.（1）求证：；（2）当平面平面ABC，且AG与平面EBC所成角的正弦值为时，求平面ACG与平面BCG的夹角的大小.19.已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，过点且与直线垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点，记动点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）直线与曲线交于异于坐标原点的两点，若的外心在直线上，（i）求证：直线过定点：（ii）设是的内心，若直线与轴交于点，求直线的斜率.云南省昆明市五华区2025-2026学年高二上学期数学质量监测卷试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考场号、座位号、姓名、班级填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考场号、座位号、姓名、班级，在规定的位置贴好条形码．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解对应集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】令，解得或，则，因为，所以，故D正确.故选：D2.已知复数满足，其中i是虚数单位，则（）A5 B.4 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】结合题意求出，再利用模长公式求解即可.【详解】因为，所以，解得，由模长公式可得，故A正确.故选：A3.已知数列满足，，则（）A3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推公式依次迭代即可；【详解】由题意当时，得，当时，得，当时，得，故选：C4.已知平面，直线，下列命题为真的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】举反例判断A，C，D，利用面面平行与面面垂直的性质判断B即可.【详解】对于A，若，则或与相交或，故A错误，对于B，若，由面面平行与面面垂直的性质得，故B正确，对于C，若，则或相交或异面，故C错误，对于D，若，则或相交，故D错误.故选：B5.马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（）A.极差为3 B.平均数为7C.分位数为7.5 D.方差为2【答案】D【解析】【分析】根据极差、平均数、方差及百分位数的定义求样本特征数值，即可判断各项正误.【详解】由样本数据知极差为，故A错误；平均数为，故B错误；由，得这组数据的分位数是第4个数8，故C错误；方差为，故D正确.故选：D.6.平行六面体中，，设向量，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得.【详解】由图和题意可知，又，故，故选：C7.设函数，若在区间上有零点，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】先把原式化成标准的正弦函数形式，再根据题目要求，让这个函数在给定区间里至少有一个零点，从而求出的最小取值.【详解】化简函数，因为函数在上有零点，即存在，使得，因此，当时，.要使函数有零点，则区间内必须包含形如的数，最小的正整数，所以，故值最小为.故选：B8.已知直线与双曲线的一支相交于不同的两点，设双曲线渐近线斜率为，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C的一支与直线相交于互异两点列出不等式组，求出，再结合求解即可.【详解】联立方程组；消去y得，而双曲线C的一支与直线相交于互异两点，等价于不等式组，解得；依题意得，当时，；可得的取值范围是，故A正确.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先根据对数不等式得出，再根据指数单调性及对数单调性判断B，D，应用指数幂运算判定A，应用特殊值判断C.【详解】因为，所以，所以，A选项正确；因为单调递减，所以，B选项正确；当时，，C选项错误；因为，所以，所以，D选项正确；故选：ABD.10.已知是棱长为4的正四面体，点在表面上运动，MN为的外接球的一条直径，则（）A.的表面积为 B.的体积为C.球的表面积为 D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】利用正四面体的表面积为计算可判断A；求得正四面体的体积判断B；求得外接球的表面积判断C；利用可求得的最小值判断D.【详解】对于A，因为是棱长为4的正四面体，所以每个面均为边长为4的等边三角形，所以的表面积为，故A正确；对于B，过作平面于，因为，所以为的外心，所以，所以，所以，故B错误；设三棱锥的外接球的半径为，所以，解得，球的表面积为，故C正确；对于D，设球心为，又MN为的外接球的一条直径，则，对于任意点，可得，所以，所以最小时，最小，所以的最小值即为的内切球的半径，又是棱长为4的正四面体，所以外接球的球心即为内切球的球心，所以的最小值即为，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.11.已知，下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，若，则C.若有两解，则成等差数列D.若，则【答案】AD【解析】【分析】利用作差法和对数运算即可判断A，利用分类讨论对数正负即可判断B，利用对数的运算性质即可判断C，利用数形结合即可判断D．【详解】对A,当时，，所以，故A正确；对B,当时，若，则当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，综上可得，故B错误；对C,由，若有两解，则，因为，所以成等比数列，故C错误；对D,作出图象如图：由图可得：当时，是一个上凸函数，此时，所以，由于，所以等号不成立，即，故D正确；故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上一点，若的最大值为10，最小值为4，则该椭圆的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】由题意求出椭圆的基本量，再利用直接法求解离心率即可.【详解】因为的最大值为10，最小值为4，所以，解得，则.故答案为：13.已知等差数列的前项和为，已知，则__________.【答案】17【解析】【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，所以，因为，所以，解得，即，所以，解得.故答案为：17.14.已知两点，若圆上存在点满足，则半径的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】设点，结合条件得到点的轨迹是一个圆，利用圆与圆的位置关系计算半径的取值范围；【详解】设点，由，根据距离公式得，两边平方并整理得，即因此满足条件的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，圆的圆心，半径为，该圆与轨迹圆有公共点，故两圆的圆心距，要使两圆有公共点，需满足，计算圆心距，代入得，解得，所以半径的取值范围为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆的一条直径的两个端点分别是.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于A，B两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得圆心坐标和圆的半径，可求圆的方程；（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，进而求得直线的方程.【小问1详解】由题，圆心坐标为，半径为2.所以，圆的标准方程为.【小问2详解】由题意，当斜率不存在时，直线的方程为，则，不符合题意；当斜率存在时，设直线的方程为，设，联立，得：，所以，，所以，，解得：，所以，直线的方程为.16.下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图①是一个边长为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到个图形.（1）在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）；123413271（2）若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和.（i）证明：当时，；（ii）求数列的前项和.【答案】（1）答案见解析，（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据规律填写表格以及通项公式；（2）（i）求出，根据增减性求证；（ii）求出等比数列的前项和.【小问1详解】分析图案易知，1234139271则【小问2详解】（i）由题意得，因为，所以为以3为首项，为公比的等比数列，且该数列为正项递增数列，又因为，所以，当时，.（ii）因为为等比数列，所以.17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）若为BC边上一点，，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用边化角，结合三角恒等变换可求得；（2）由题意结合正弦定理可得，进而可得，利用可求解.【小问1详解】由题得，，由正弦定理得，，在中，，所以，代入可得，在中，，所以，因为，所以，所以，故；【小问2详解】因为，由（1）得，在中，由正弦定理得，所以，因为且为BC边上一点，所以，所以，此时，在中，，所以，所以，.18.如图1，是等边三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形.把沿AC翻折至，得空间四边形ABCE，点在线段EB上，如图2.（1）求证：；（2）当平面平面ABC，且AG与平面EBC所成角的正弦值为时，求平面ACG与平面BCG的夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取AC中点，连接OE，OB，可得，，进而可证结论；（2）由已知可证平面ABC，建立空间直角坐标系，求得平面EBC的一个法向量，设，利用已知求得，进而求得平面GAC的一个法向量为，可得，可得结论.【小问1详解】取AC中点为，连接OE，OB，由，得，由，得，又，所以平面OEB，由平面OEB，得.【小问2详解】因为，平面平面，平面平面ABC，所以，平面ABC，不妨设，则，以为原点建立空间直角坐标系如图，则，所以，，设平面EBC的法向量，由，得令，则，得平面