安徽省2025-2026学年高二数学上学期12月质量检测试题A卷含解析

2025~2026学年度高上学期二12月质量检测数学（A卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.椭圆的焦距为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的椭圆方程直接求出焦距即得.【详解】椭圆的长短半轴长分别为，则其半焦距，所以所求焦距为.故选：B2.抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】根据抛物线标准方程，写出准线和焦点，进而求出结果.【详解】可知抛物线，则焦点为，准线为，则焦点到其准线的距离为.故选：C.3.若直线和互相垂直，则a的值是（）A0 B.2 C.0或 D.0或2【答案】B【解析】【分析】根据直线的一般式方程结合垂直关系列式求解即可.【详解】若直线和互相垂直，则，解得.故选：B.4.已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合双曲线方程可得，运算求解即可.【详解】若方程表示双曲线，则，解得或，所以实数m的取值范围为.故选：C.5.已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可.【详解】设点，则，且，可得，化简得，即，且.故选：D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点P到平面的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知：，结合点到平面的距离公式运算求解.【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量，所以点P到平面的距离.故选：A.7.已知抛物线，点，过点的直线l与C交于A，B两点，且，则l的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设直线l的方程为，联立方程可得韦达定理，根据向量垂直结合韦达定理运算求解即可.【详解】由题意可知：直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为，，联立方程，消去y可得，则，解得，可得，，因为，若，则，即，整理可得，则，解得，所以直线l的斜率为.故选：D.8.已知圆，点，点B为直线上的动点，过点B作圆C的切线，切点为P，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，点关于直线的对称点为，可得，，结合图形的性质运算求解即可.【详解】圆，可知圆心为，半径，设，，点关于直线的对称点为，则，，可得，当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆和椭圆，则（）A.两椭圆有相同的焦点B.两椭圆的离心率相等C.两椭圆有相同的顶点D.两椭圆有相同的对称轴和对称中心【答案】BD【解析】【分析】由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上，且，，进而逐项分析判断.【详解】由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上，且，，则两椭圆的焦点、顶点均不相同，故AC错误；两椭圆的离心率均为，即离心率相等，故B正确；两椭圆有相同的对称轴（为坐标轴）和对称中心（为坐标原点），故D正确；故选：BD.10.已知点P在圆上，点Q在圆上，则（）A.两圆相交 B.圆与x轴相切C.的取值范围为 D.面积的最大值为6【答案】AB【解析】【分析】由方程可知各圆圆心和半径.对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.对于选项A：因为，即，所以两圆相交，故A正确；对于选项B：因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确；对于选项C：由圆的性质可得，且，所以取值范围为，故C错误；对于选项D：由圆的性质可知点到直线的距离最大值为，所以面积的最大值为，故D错误；故选：AB.11.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（）A.C的离心率为B.C的焦点到其渐近线的距离为1C.若，则的面积为2D.若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则【答案】ABD【解析】【分析】根据方程和焦距可得.对于A：根据离心率的定义运算求解；对于B：根据点到直线的距离公式运算求解；对于C：根据双曲线的定义结合勾股定理可得，即可得面积；对于D：求点M的坐标，根据双曲线的定义结合图形性质分析求解.【详解】由双曲线的方程可知，且焦点在x轴上，因为，即，则，可得点，，渐近线为，即.对于选项A：双曲线C的离心率为，故A正确；对于选项B：双曲线C的焦点到其渐近线的距离，故B正确；对于选项C：因为，若，则，可得，即，可得，所以的面积为，故C错误；对于选项D：可知渐近线，直线，联立方程，解得，即，因为，即，则，当且仅当点Q在线段上时，等号成立，所以，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为C上一点，则______．【答案】【解析】【分析】由方程可知，结合椭圆的定义运算求解即可.【详解】由椭圆可知，且点P为C上一点，所以.故答案为：.13.设为抛物线上任意一点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】通过抛物线方程将目标表达式转化为关于的二次函数，利用二次函数的顶点性质求得最小值.【详解】因在抛物线上，故，则.该式为关于的二次函数，开口向上，其顶点对应的.将代入，得.故答案为：14.已知正方体的棱长为2，点P是线段AB上的动点（不含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为______．【答案】##【解析】【分析】依题意建系，设，，三棱锥的外接球的球心为，根据球的性质结合空间中两点间距离公式解得，进而求外接球半径的最小值.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，，三棱锥的外接球的球心为，则，即，解得，即，可得外接球的半径，当且仅当时，等号成立，所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求满足下列条件双曲线的标准方程．（1）焦点在x轴上，经过点，；（2）与双曲线有相同的渐近线，且过点．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用待定系数法求解.（2）由给定双曲线设所求方程，再求出参数值即得.小问1详解】依题意，设双曲线方程为，由该双曲线过点，得，解得，所以所求双曲线标准方程为.【小问2详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，由该双曲线过点，得，所以所求双曲线的标准方程为，即.16.已知抛物线的焦点在直线上．（1）求的方程；（2）为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根据直线方程可得焦点，即可得和抛物线方程；（2）设直线的方程为，联立方程可得韦达定理，可得，即可得面积，进而分析最值.【小问1详解】因为抛物线的焦点在轴正半轴上，对于直线，令，可得，可知焦点，即，可得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由题意可知：直线的斜率可能不存在，且不为0，设直线的方程为，，联立方程，消去y可得，则，可得，，则，可得的面积，当且仅当时，等号成立，所以的面积最小值为8.17.已知图1是由矩形ABCD和以CD为直径的半圆拼接而成，，，将半圆面沿CD折起，使得半圆面平面ABCD，点P为半圆弧（不包括端点）上一动点，如图2．（1）证明：平面平面BCP；（2）若，求平面ACP与平面BCP的夹角的大小．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得和平面，即可得面面垂直；（2）作辅助线，可得平面，建系标点，分别求平面ACP与平面BCP的法向量，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】由题意可知：，平面平面ABCD，平面平面，平面，则平面，且平面，可得，又因为，，平面，可得平面，且平面，所以平面平面BCP.【小问2详解】取的中点分别为，在半圆弧上取点，使得，可知，且平面，则平面，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，若，则，可得，可知平面BCP的一个法向量为，因为，设平面ACP的法向量为，则，令，则，可得，设平面ACP与平面BCP的夹角为，则，可得，所以平面ACP与平面BCP的夹角的大小为.18.已知过点的直线l与圆相交于A，B两点．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）若A是线段BP的中点，求直线l的方程；（3）证明：定值．【答案】（1）（2）或（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据点斜式方程的概念，设出直线方程，联立方程组，根据有两个交点的条件，列出不等式，求出结果；（2）根据线段中点坐标的性质，列出方程，再联立方程组，以及韦达定理，求出直线斜率，写出直线方程；（3）根据两点之间的距离公式，以及韦达定理，联立方程组，列出方程，证明结果即可.【小问1详解】设直线l的方程为，当直线l与圆相交于A，B两点时，得有两组不同的解，消去得，化简得，可知，化简得，解得，所以直线l的斜率的取值范围是.【小问2详解】设，已知，当A是线段BP的中点时，可得，化简得，由（1）可知为方程的两个解，则，当时，，化简得，解得，所以直线l的方程或.【小问3详解】设，已知，则，则，由（2）可知，则，所以为定值．19.已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上．（1）求C的方程；（2）若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求；（3）若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：．【答案】（1）（2）（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据圆可得上顶点和焦点，即可得和椭圆方程；（2）根据直线与圆的性质求直线的方程，联立方程结合弦长公式求，（3）设直线，则直