人教版七年级数学下册《7.6平行线的性质》同步练习题（含答案解析）

第页人教版七年级数学下册《7.6平行线的性质》同步练习题（含答案解析）知识清单一、相关角的性质：1.对顶角与邻补角：（1）对顶角的性质：对顶角相等．（2）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（3）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．2.余角与补角的性质：（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．3.平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．二、解题方法：1.在涉及有平行这一条件，求角度问题时，常考虑用平行线的性质，在应用平行线性质求角时，常常结合对顶角、邻补角、垂直、角平分线等性质和定又进行求解2.平行线和角的大小关系是紧蜜联系在一起的。由平行线可以得到相等或互补的角，反过来又可以由相等或互补的角得到新的一组平行线，这种角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及类型一、平行线与对顶角性质的综合1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，DE∥BC，若∠1=70°，求∠B的度数．类型二、平行线与邻补角性质的综合2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知∠1=105°，则∠2的度数是．

类型三、平行线与垂直定义的综合3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，AB∥CD，直线MN与AB交于点E，与CD交于点F，过点E作射线EH⊥MN，∠1=130°，求类型四、平行线与角平分线的综合4．（七年级下·辽宁抚顺·期中）如图所示，已知∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°．（1）求证：MD∥NE（2）若∠ABD=70°，∠ACE=36°，BP和CP分别平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数．类型五、平行线与余角的性质的综合5．（24-25七年级上·吉林·期末）已知：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1=∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G．求证：AB∥CD．类型六、平行线与补角的性质的综合6．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B=50°,∠1+∠2=180°，求∠H的度数．类型七、平行线与折叠的综合7．（23-24七年级下·全国·课后作业）图①是一张长方形的纸带，将这张纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③．

(1)若∠DEF=20°，请你求出图③中∠CFE的度数；(2)若∠DEF=α，请你直接用含α的式子表示图③中∠CFE的度数．类型八、平行线与三角板的综合8．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°．(1)①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为________．②若∠ACB=140°，则∠DCE的度数为________．(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．(3)若∠ACE<90°且点E在直线AC的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．类型九、平行线与拐角的综合9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知AB∥（1）若∠APC=75°，∠PAB=29°，求∠PCD的度数；（2）求证：∠APC+∠PAE+∠PCF=360°；【应用】如图②，已知AB∥CD，若∠A=148°，∠C=54°，∠P=52°，则∠E+∠F=_____________类型十、平行线与平移的综合10．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHC=α0°<α<90°．小新将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，∠P=90°(1)填空：∠PNA+∠PMC=°；(2)若PM∥EF，∠MNG的角平分线NO交直线CD于点①如图②，当NO∥EF时，求②小新将三角板PMN向右平移，直接写出∠MON的度数（用含a的式子表示）．一、解答题1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知AB∥CD，∠ABE=150°，∠CDE=85°，求∠BED的度数．2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，如图CD∥AB，OF平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=50°，求∠DOE的度数．3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD交CD于点E，过点C作CF∥AE交AB于点F．求证：CF平分∠BCD．4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知AB∥DE，(1)求证：BC∥EF；(2)若∠BHE=60°，射线HG平分∠BHE，求∠HGE的度数．5．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B，C，D在同一直线上，FD∥EC，(1)求∠ACB的度数；(2)求∠B的度数．6．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，已知∠1=48°，∠2=132°，∠C=∠D．(1)求证：BD∥CE；(2)若∠A=40°，求∠F的度数．7．（22-23七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，已知∠1+∠CFE=180°，(1)求证：AC∥EF；(2)求∠EDF．8．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E．(1)请说明∠EBD=∠EDB．(2)如果BD⊥AC,∠ADE=70°，求∠ABC的度数．9．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：在图2中，AB∥CD，∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求10．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）如图，已知∠BAD=∠C，AB∥CD，点E在线段CB延长线上，DE平分∠ADC．(1)求证：∠DEC=∠EDC；(2)若∠DAE=5∠BAE，∠AED=45°，求∠DEC的度数．11．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知：如图①，AB∥CD，点P在AB,CD之间，连接AP,CP．易说明∠APC=∠BAP+∠PCD．下面是两位同学添加辅助线的方法：如图②，过点P作PQ∥AB．如图③，延长AP交CD于点M．请你选择一位同学的方法进行说明．12．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知AB∥（1）若∠APC=75°，∠PAB=29°，求∠PCD的度数；（2）求证：∠APC+∠PAE+∠PCF=360°；【应用】如图②，已知AB∥CD，若∠A=148°，∠C=54°，∠P=52°，则∠E+∠F=_____________13．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，AE∥BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点(1)求证：AB∥(2)探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由；14．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，MA1∥如图②，MA1∥（2）如图③，MA1∥（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E=130°，求15．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN．(1)如图2，现将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，三角板DEF不动，设旋转时间为t秒，当第一次旋转到BC∥EF时，t的值是多少？(2)若三角板ABC不动，而三角板DEF绕点D以每秒1.5°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一次旋转到DE∥BC时，t的值是多少？(3)若三角板ABC绕点A以每秒3°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒5°的速度顺时针旋转，设时间为t秒（0<t<70），若边BC与三角板DEF的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值．16．（23-24七年级上·山西长治·期末）综合与探究：已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF．(1)如图1，若∠AEP=45°，∠EPF=80°，求∠PFC的度数．(2)如图2，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由．(3)如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由．17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2分别交于点C和点D，P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1(1)若P点在线段CD（C、D两点除外）上）运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？说明理由．(2)在l1∥l2的前提下，若P点在线段CD之外时，∠1、18．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面内一点，连接AP与CP．(1)如图1，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP=60°，∠DCP=20°时，则∠APC=(2)如图2，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，当点P在CD下方时，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K（K在CD下方），且∠BAP=α，∠DCP=β，直接写出∠K的大小（用含α和β的代数式表示）．19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知AB∥CD，∠A=70°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE，CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E，F．(1)求∠ECF的度数，若∠A=n°，请直接用含n的式子表示∠ECF；(2)随着点P的运动，设∠APC=α，∠AFC=β，α与β之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；(3)当∠AEC=∠ACF时，请直接写出∠APC的度数．20．（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．(1)如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF=130°，问题迁移(2)如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，参考答案与解析类型一、平行线与对顶角性质的综合1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，DE∥BC，若∠1=70°，求∠B的度数．【答案】110°【分析】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：因为∠1=70°，所以∠EFB=70°．因为DE∥BC，所以∠B=180°−∠EFB=110°．类型二、平行线与邻补角性质的综合2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知∠1=105°，则∠2的度数是．

【答案】75°/75度【分析】本题考查了平行线的性质∶两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，内错角相等得到∠2=∠BCD，由∠2的度数求出∠BCD的度数，即可得到∠2的度数．【详解】解：如图，

由题意得：AB∥CD，∴∠2=∠BCD，∵∠1=105°，∴∠BCD=75°，∴∠2=75°，故答案为：75°．类型三、平行线与垂直定义的综合3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，AB∥CD，直线MN与AB交于点E，与CD交于点F，过点E作射线EH⊥MN，∠1=130°，求【答案】40°【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求出∠BEF的度数，根据平角定义可求出∠AEF的度数，然后结合垂直定义和角的和差关系求解即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠BEF=∠1=130°，∴∠AEF=180°−∠BEF=50°．又∵EH⊥MN，∴∠HEF=90°，∴∠2=90°−∠AEF=40°．类型四、平行线与角平分线的综合4．（七年级下·辽宁抚顺·期中）如图所示，已知∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°．（1）求证：MD∥NE（2）若∠ABD=70°，∠ACE=36°，BP和CP分别平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BPC=53°【分析】（1）过A作AF∥MD，根据平行线的性质得∠MBA+∠BAF＝180°，而∠MBA+∠BAC+∠NCA＝360°，则∠FAC+∠NCA＝180°，于是根据平行线的判定得到AF∥NE，所以根据平行线于同一条直线的两直线平行得到MD∥NE；（2）过P作PQ∥MD，先利用角平分线的定义得到∠DBP＝12∠DBA＝35°，∠ECP＝12∠ACE＝18°，再根据平行线的性质由PQ∥MD得∠DBP＝∠BPQ＝35°，由于MD∥NE，PQ∥MD，则PQ∥NE，所以∠QPC＝∠PCE＝18°，然后利用∠BPC＝∠BPQ+∠【详解】证明：（1）如图，过点A作AF∥MD则∠MBA+∠BAF=180°∵∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°∴∠FAC+∠NCA=180°∴AF∥NE∴MD∥NE（2）过点P作PQ∥MD∵BP和CP分别平分∠ABD、∠ACE∴∠DBP=1∠ECP=∵PQ∥MD∴∠QPC=∠PCE=18°∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=53°【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．类型五、平行线与余角的性质的综合5．（24-25七年级上·吉林·期末）已知：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1=∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G．求证：AB∥CD．【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可．【详解】证明：∵AF⊥CE，（已知）∴∠CGF=90°．（垂直的定义）∵∠1=∠D，（已知）∴AF∥∴∠4=∠CGF，（两直线平行，同位角相等）∴∠4=90°又∵∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°．又∵∠2与∠C互余，（已知）∴∠C=∠3．（同角的余角相等）∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）类型六、平行线与补角的性质的综合6．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B=50°,∠1+∠2=180°，求∠H的度数．【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质、垂线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键．根据平行线的判定、平行线的性质进行推理即可解答．【详解】解：∵AD⊥BC,EF⊥BC，（已知）∴AD∥∴∠2+∠EAD=180°．（两直线平行、同旁内角互补）∵∠1+∠2=180°，（已知）∴∠1=∠EAD．（同角的补角相等）∴AE∥∴∠B=∠BDH．（两直线平行、内错角相等）∵∠B=50°，（已知）∴∠BDH=50°．（等量代换）∵AD⊥BC，（已知）∴∠ADB=90°．（垂直的定义）∵∠1+∠BDH+∠ADB=180°，（平角定义）∴∠1=180°−∠BDH−∠ADB=40°．（等式性质）∵AD∥∠H=∠1=40°．（两直线平行、同位角相等）．故答案为：垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补；∠EAD；内错角相等、两直线平行；两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等．类型七、平行线与折叠的综合7．（23-24七年级下·全国·课后作业）图①是一张长方形的纸带，将这张纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③．

(1)若∠DEF=20°，请你求出图③中∠CFE的度数；(2)若∠DEF=α，请你直接用含α的式子表示图③中∠CFE的度数．【答案】(1)120°(2)∠CFE=180°−3α【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠额性质：（1）在图①中先由两直线平行，内错角线段得到∠BFE=∠DEF=20°，则由平角的定义可得∠CFE=160°，再在图②中求出∠BFC=∠CFE−∠BFE=140°，进而在图③中得到∠BFC=140°，则∠CFE=∠BFC−∠BFE=120°．（2）仿照（1）求解即可．【详解】（1）解：在图①中，∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=20°，∴∠CFE=180°−∠BFE=160°，在图②中，∠BFC=∠CFE−∠BFE=160°−20°=140°，在图③中，由折叠的性质得：∠BFC=140°，∴∠CFE=∠BFC−∠BFE=140°−20°=120°，（2）解：在图①中，∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=α，∴∠CFE=180°−∠BFE=180°−α，在图②中，∠BFC=∠CFE−∠BFE=180°−α−α=180°−2α，在图③中，由折叠的性质得：∠BFC=180°−2α，∴∠CFE=∠BFC−∠BFE=180°−2α−α=180°−3α，类型八、平行线与三角板的综合8．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°．(1)①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为________．②若∠ACB=140°，则∠DCE的度数为________．(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．(3)若∠ACE<90°且点E在直线AC的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．【答案】(1)①135°；②40°(2)∠ACB+∠DCE=180°．理由见解析(3)∠ACE可能为30°或45°【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质．（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；（2）根据∠ACE=90°−∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；（3）分2种情况进行讨论：当CB∥AD时，当EB∥【详解】（1）解：①∵∠DCE=45°，∠ACD=90°，∴∠ACE=45°，∵∠BCE=90°，∴∠ACB=90°+45°=135°，故答案为：135°；②因为∠ACB=140°，∠ECB=90°，所以∠ACE=140°−90°=50°，所以∠DCE=90°−∠ACE=90°−50°=40°，故答案为：40°；（2）解：猜想：∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：因为∠ACE=90°−∠DCE，∠ACB=∠ACE+90°，所以∠ACB=90°−∠DCE+90°=180°−∠DCE，即∠ACB+∠DCE=180°；（3）解：∠ACE可能为30°或45°．当CB∥所以∠BCD=∠D=30°，因为∠ACE+∠DCE=90°=∠BCD+∠DCE，所以∠ACE=∠BCD=30°；当EB∥∠ACE=∠E=45°．类型九、平行线与拐角的综合9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知AB∥（1）若∠APC=75°，∠PAB=29°，求∠PCD的度数；（2）求证：∠APC+∠PAE+∠PCF=360°；【应用】如图②，已知AB∥CD，若∠A=148°，∠C=54°，∠P=52°，则∠E+∠F=_____________【答案】（1）46°；（2）见解析；【应用】138．【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键．（1）如图所示，过点P作PG∥AB，首先得到∠APG=∠PAB=29°，求出∠CPG=∠APC−∠APG=46°，然后证明出PG∥CD，即可得到∠PCD=∠CPG=46°；（2）根据PG∥AB得到∠APG+∠EAP=180°，根据PG∥CD得到∠CPG+∠PCF=180°，进而求解即可；应用：过点P作HG∥AB，延长DC到点M，由（2）得∠A+∠E+∠EPG=360°，进而得到∠E=32°+∠EPH，同理得到∠F=54°+∠HPF，进而求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG∥AB，∵∠PAB=29°，∴∠APG=∠PAB=29°；∵∠APC=75°，∴∠CPG=∠APC−∠APG=46°；∵AB∥∴PG∥CD，∴∠PCD=∠CPG=46°；（2）∵PG∥AB，∴∠APG+∠EAP=180°；∵PG∥CD，∴∠CPG+∠PCF=180°，∴∠APC+∠PAE+∠PCF=∠APG+∠PAE+∠CPG+∠PCF=180°+180°=360°；应用：如图所示，过点P作HG∥AB，延长DC到点M，由（2）得，∠A+∠E+∠EPG=360°，∵∠A=148°，∠EPG+∠EPH=180°，∴148°+∠E+180°−∠EPH=360°，∴∠E=32°+∠EPH；∵∠FCD=54°，∴∠FCM=180°−∠FCD=126°；由（2）得，∠GPF+∠F+∠FCM=360°，∵∠GPF=180°−∠HPF，∴180°−∠HPF+∠F+126°=360°，∴∠F=54°+∠HPF，∴∠E+∠F=32°+∠EPH+54°+∠HPF=86°+∠EPF=86°+52°=138°．故答案为：138．类型十、平行线与平移的综合10．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHC=α0°<α<90°．小新将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，∠P=90°(1)填空：∠PNA+∠PMC=°；(2)若PM∥EF，∠MNG的角平分线NO交直线CD于点①如图②，当NO∥EF时，求②小新将三角板PMN向右平移，直接写出∠MON的度数（用含a的式子表示）．【答案】(1)90(2)①∠α=60°；②30°+12【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键．（1）根据平行线的性质得出∠PNA+∠PMC=∠MPN=90°即可；（2）①根据平行线的性质得出∠NOC=α，根据AB∥CD，得出∠BNO=∠NOC=α，根据角平分线定义得出∠MNO=∠BNO=α，根据平行线的性质得出∠PMN=∠MNO，即可求出求②分两种情况进行讨论：当点N在点G左侧时，当点N在点G右侧时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】（1）解：如图①，过点P作PQ∥∵AB∥∴AB∥∴∠ANP=∠NPQ，∠QPM=∠PMC，∵∠NPQ+∠QPM=∠NPM=90°，∴∠PNA+∠PMC=90°；（2）解：①∵NO∥EF，∴∠NOC=α，∵AB∥∴∠BNO=∠NOC=α，∵NO是∠MNG的角平分线，∴∠MNO=∠BNO=α，∵PM∥∴PM∥∴∠PMN=∠MNO，∵∠PMN=60°∴α=60°；②∵AB∥∴∠BNO=∠MON，∵NO是∠MNG的角平分线，∴∠MNO=∠BNO，∴∠MON=∠MNO，当点N在点G左侧时，∵PM∥EF∴∠PMD+∠GHC=180°，∴∠PMN+∠NMO=180°−α，∵∠PMN=60°∴∠NMO=120°−α，∴∠MON=1当点N在点G右侧时，∵PM∥∴∠PMC=∠GHC=α，∴∠NMD=180°−∠PMC−∠PMN=120°−α，∵∠NMD=∠MNO+∠MON，∴∠MON=1综上可知，∠MON的度数为30°+12α一、解答题1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知AB∥CD，∠ABE=150°，∠CDE=85°，求∠BED的度数．【答案】55°【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，由平行线的性质可得∠ABE+∠BEF=180°，∠DEF=∠CDE，代入数据计算即可得解．【详解】解：如答图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠ABE+∠BEF=180°，∠DEF=∠CDE．∵∠ABE=150°，∠CDE=85°，∴∠BEF=180°−∠ABE=30°，∠DEF=∠CDE=85°，∴∠BED=∠DEF−∠BEF=55°．2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，如图CD∥AB，OF平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=50°，求∠DOE的度数．【答案】65°【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的相关计算，垂线的理解，由平行线的性质可得出∠D=∠DOB=50°，有角平分线的定义可得出∠DOF=12∠BOD=25°【详解】解：∵CD∥AB，∴∠D=∠DOB=50°，∵OF平分∠BOD，∴∠DOF=1∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，∴∠DOE=∠EOF−∠DOF=65°3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD交CD于点E，过点C作CF∥AE交AB于点F．求证：CF平分∠BCD．【答案】见解析．【详解】证明：因为AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠EAB．因为CF∥AE，所以∠EAB=∠CFB,∠DEA=∠DCF．所以∠DAE=∠CFB．因为∠B=∠D=90°，所以∠DAE+∠DEA=∠CFB+∠BCF=90°，所以∠DEA=∠BCF．又因为∠DEA=∠DCF，所以∠DCF=∠BCF，所以CF平分∠BCD．4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知AB∥DE，(1)求证：BC∥EF；(2)若∠BHE=60°，射线HG平分∠BHE，求∠HGE的度数．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：（1）先由两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BHD=180°，再证明∠E=∠BHD，即可证明BC∥EF；（2）由角平分线的定义得到∠BHG=12∠BHE=30°【详解】（1）证明：∵AB∥∴∠B+∠BHD=180°，∵∠B+∠E=180°，∴∠E=∠BHD，∴BC∥EF；（2）解：∵∠BHE=60°，射线HG平分∠BHE，∴∠BHG=1∵BC∥EF，∴∠HGE=∠BHG=30°．5．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B，C，D在同一直线上，FD∥EC，(1)求∠ACB的度数；(2)求∠B的度数．【答案】(1)∠ACB=84°；(2)∠B=50°．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ECB=∠D=42°，进而利用角平分线的定义即可求解；（2）根据三角形的内角和定理即可求解；此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：∵FD∥EC，∴∠ECB=∠D=42°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=1∴∠ACB=84°；（2）解：由（1）得：∠ACB=84°，∵∠A=46°，∴∠B=180°−46°−84°=50°．6．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，已知∠1=48°，∠2=132°，∠C=∠D．(1)求证：BD∥CE；(2)若∠A=40°，求∠F的度数．【答案】(1)见解析(2)∠F=40°【分析】本题考查了平行线的判定与性质；（1）由∠1=48°，∠2=132°，得出∠1+∠2=180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出BD∥CE；（2）由BD∥CE得出∠C=∠ABD，由∠C=∠D得出∠ABD=∠D，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AC∥DF，进而可得出【详解】（1）证明：∵∠1=48°，∠2=132°，∴∠1+∠2=180°，∴BD∥CE；（2）解：∵BD∥CE，∴∠C=∠ABD，又∵∠C=∠D，∴∠ABD=∠D，∵AC∥DF，∴∠A=∠F=40°．7．（22-23七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，已知∠1+∠CFE=180°，(1)求证：AC∥EF；(2)求∠EDF．【答案】(1)见解析；(2)∠EDF=75°．【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是关键；（1）∠1+∠CFE=180°及∠1=∠ACF，得∠CFE+∠ACF=180°，由平行线的判定即可证明；（2）由AC∥EF及已知得∠BAC=∠AGE，即可得AB∥DE，从而有∠B=∠EDF，由已知即可求解．【详解】（1）证明：∵∠1+∠CFE=180°，∴∠CFE+∠ACF=180°．∴AC∥EF；（2）解：∵AC∥EF，∴∠AGE=∠DEF，∵∠BAC=∠DEF，∴∠BAC=∠AGE．∴AB∥DE．∴∠B=∠EDF．∵∠B=75°，∴∠EDF=75°．8．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E．(1)请说明∠EBD=∠EDB．(2)如果BD⊥AC,∠ADE=70°，求∠ABC的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）根据角平分线结合平行线得到内错角相等即可等量代换出结果；（2）根据垂直得到∠ADB=90°，则∠BDE=20°，∠CBD=∠EBD=∠BDE=20°，再根据角度和差即可计算．【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC∴∠CBD=∠EBD，∵DE∥BC．∴∠CBD=∠EDB．∴∠EBD=∠EDB；（2）解：∵BD⊥AC,∠ADE=70°，∴∠ADB=90°，∠BDE=∠ADB−∠ADE=90°−70°=20°，∴∠CBD=∠EBD=∠BDE=20°，∴∠ABC=20°+20°=40°．9．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：在图2中，AB∥CD，∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求【答案】85°【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点P向左作PM∥AB，过点Q向右作QN∥AB，由平行线的判定方法得AB∥PM∥QN∥【详解】解：如图，过点P向左作PM∥AB，过点Q向右作则AB∥∴∠ABP+∠BPM=180°，∠DCQ+∠CQN=180°，∠MPQ=∠PQN，∵∠B=125°，C=145°，∴∠BPM=180°−125°=55°，∠CQN=180°−145°=35°，∵∠PQC=65°，∴∠PQN=∠PQC−∠CQN=65°−35°=30°，∴∠QPM=∠PQN=30°，∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM=55°+30°=85°．10．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）如图，已知∠BAD=∠C，AB∥CD，点E在线段CB延长线上，DE平分∠ADC．(1)求证：∠DEC=∠EDC；(2)若∠DAE=5∠BAE，∠AED=45°，求∠DEC的度数．【答案】(1)见解析(2)60°【分析】本题为平行线与角平分线的综合题，考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（2）步要注意根据题意设出未知数，用含x的式子表示出相关角，列出方程解答．（1）根据AB∥CD得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠EDC，即可证明；（2）设∠BAE=x,∠DAE=5x，则∠ADC=180°−4x，根据AB∥CD得到，进而得到∠ADC=180°−∠BAD=180°−4x，根据AD∥BC,∠AED=45°，得到∠EAD+∠AED+∠DEC=180°，从而求出．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵∠BAD=∠C，∴∠C+∠ADC=180°，∴AD∥BC；

∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC，∴∠DEC=∠EDC；（2）解：∵∠DAE=5∠BAE，∠AED=45°，可设∠BAE=x,∠DAE=5x，∴∠DAB=4∠BAE=4x，∵AB∥CD，∴∠ADC=180°−∠BAD=180°−4x，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∴∠DEC=∠EDC=∵AD∥BC,∠AED=45°，∴∠EAD+∠AEC=180°，即∠EAD+∠AED+∠DEC=180°∴5x+45°+90°−2x=180°，解得：x=15°，∴∠DEC=9011．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知：如图①，AB∥CD，点P在AB,CD之间，连接AP,CP．易说明∠APC=∠BAP+∠PCD．下面是两位同学添加辅助线的方法：如图②，过点P作PQ∥AB．如图③，延长AP交CD于点M．请你选择一位同学的方法进行说明．【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质．以选择小明的方法为例，过点P作PQ∥AB，推出AB∥PQ∥CD，得到∠APQ=∠BAP，∠CPQ=∠PCD，据此即可证明结论成立；以选择小慧的方法为例，延长AP交CD于点M，利用平行线的性质，得到∠AMC=∠BAP，再利用三角形的外角性质即可证明结论成立．【详解】解：以选择小明的方法为例，证明如下：过点P作PQ∥AB，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠APQ=∠BAP，∠CPQ=∠PCD，∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=∠BAP+∠PCD；以选择小慧的方法为例，证明如下：延长AP交CD于点M，∵AB∥PQ，∴∠AMC=∠BAP，∴∠APC=∠AMC+∠PCD=∠BAP+∠PCD．12．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知AB∥（1）若∠APC=75°，∠PAB=29°，求∠PCD的度数；（2）求证：∠APC+∠PAE+∠PCF=360°；【应用】如图②，已知AB∥CD，若∠A=148°，∠C=54°，∠P=52°，则∠E+∠F=_____________【答案】（1）46°；（2）见解析；【应用】138．【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键．（1）如图所示，过点P作PG∥AB，首先得到∠APG=∠PAB=29°，求出∠CPG=∠APC−∠APG=46°，然后证明出PG∥CD，即可得到∠PCD=∠CPG=46°；（2）根据PG∥AB得到∠APG+∠EAP=180°，根据PG∥CD得到∠CPG+∠PCF=180°，进而求解即可；应用：过点P作HG∥AB，延长DC到点M，由（2）得∠A+∠E+∠EPG=360°，进而得到∠E=32°+∠EPH，同理得到∠F=54°+∠HPF，进而求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG∥AB，∵∠PAB=29°，∴∠APG=∠PAB=29°；∵∠APC=75°，∴∠CPG=∠APC−∠APG=46°；∵AB∥∴PG∥CD，∴∠PCD=∠CPG=46°；（2）∵PG∥AB，∴∠APG+∠EAP=180°；∵PG∥CD，∴∠CPG+∠PCF=180°，∴∠APC+∠PAE+∠PCF=∠APG+∠PAE+∠CPG+∠PCF=180°+180°=360°；应用：如图所示，过点P作HG∥AB，延长DC到点M，由（2）得，∠A+∠E+∠EPG=360°，∵∠A=148°，∠EPG+∠EPH=180°，∴148°+∠E+180°−∠EPH=360°，∴∠E=32°+∠EPH；∵∠FCD=54°，∴∠FCM=180°−∠FCD=126°；由（2）得，∠GPF+∠F+∠FCM=360°，∵∠GPF=180°−∠HPF，∴180°−∠HPF+∠F+126°=360°，∴∠F=54°+∠HPF，∴∠E+∠F=32°+∠EPH+54°+∠HPF=86°+∠EPF=86°+52°=138°．故答案为：138．13．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，AE∥BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点(1)求证：AB∥(2)探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由；【答案】(1)详见解析(2)∠A+∠AEC+∠C=360°，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可求证，（2）作EG∥AB，根据平行公理推论得本题考查了平行线的性质和判定，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质和判定，平行公理推论是解题的关键．【详解】（1）证明：∵AE∥∴∠A+∠ABD=180°，∵∠BDC+∠BDF=180°，∠A=∠BDC，∴∠ABD=∠BDF，∴AB∥（2）解：∠A+∠AEC+∠C=360°，如图，作EG∥则∠A+∠AEG=180°，由（1）可得AB∥∴AB∥∴∠C+∠CEG=180°，∴∠A+∠AEG+∠C+∠CEG=360°，∵∠AEG+∠CEG=AEC，∴∠A+∠AEC+∠C=360°．14．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，MA1∥如图②，MA1∥（2）如图③，MA1∥（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E=130°，求【答案】（1）180°，360°，见解析；（2）540°；（3）115°【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义；（1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点A2作PA2（2）如图，过点A2作PA2（3）过F作FQ∥AB．证明FQ∥AB∥CD，可得∠ABF=∠BFQ,∠CDF=∠DFQ．求解【详解】解：（1）180°

360°，理由如下：理由：∵MA∴∠A如图，过点A2作P∵MA1∴PA∴∠A∴∠A（2）如图，过点A2作P∵MA1∴PA∴∠MA结合（1）的结论可得：∠PA∴∠A（3）如图，过F作FQ∥∵AB∥CD，∴FQ∥AB∥CD，∴∠ABF=∠BFQ,∠CDF=∠DFQ．∵∠ABE+∠BED+∠CDE=360°,∠BED=130°，∴∠ABE+∠CDE=230°．∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE,∠BFD=∠BFQ+∠DFQ，∴∠BFD=115．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN．(1)如图2，现将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，三角板DEF不动，设旋转时间为t秒，当第一次旋转到BC∥EF时，t的值是多少？(2)若三角板ABC不动，而三角板DEF绕点D以每秒1.5°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一次旋转到DE∥BC时，t的值是多少？(3)若三角板ABC绕点A以每秒3°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒5°的速度顺时针旋转，设时间为t秒（0<t<70），若边BC与三角板DEF的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值．【答案】(1)t=7.5(2)t=20(3)所有满足条件的t的值为15或60【分析】对于（1），设直线BC与MN，GH分别交于P，Q，根据平行线的性质得到∠DFG=∠AQP=∠NPQ=45°，再利用外角的性质求出对于（2），延长BC交MN于点P，根据平行线的性质得到∠1=∠2=∠ABC=60°，再表示出∠2，对于（3），分BC∥DE，BC∥DF，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到【详解】（1）解：如图，BC∥EF，设设直线BC与MN，GH分别交于P，∴∠DFG=∠NPQ=45°.∵GH∥MN，∴∠AQP=∠NPQ=45°.∵∠ABC=60°，∴∠BAQ=∠ABC−∠AQP=15°，∴t=15（2）解：如图，延长BC交MN于点P，∵GH∥MN，∴∠1=∠ABC=60°．∵DE∥BC，∴∠2=∠1=60°.∵∠3=1.5t°，∴∠2=180°−∠EDF−∠3=(90−1.5t)°，∴90−1.5t=60，∴t=20；（3）解：如图，当BC∥DE时，设直线BC与MN，GH分别交于P，此时∠MDF=5t，∴∠NDE=∠NPQ=180°−90°−5t=90°−5t.∵GH∥MN，∴∠NPQ=∠AQB=90°−5t.∵∠ABC=60°，∴∠BAQ+∠AQB=60°，即90°−5t+3t=60°，解得：t=15；如图，当BC∥DF时，延长CB，AB，分别与MN交于P，此时，∠PDF=5t−180°，∴∠CPD=∠PDF=5t−180°.∵GH∥MN，∴∠HAQ+∠AQP=180°，即∠AQP=180°−∠HAQ=180°−3t.∵∠ABC=∠PBQ=60°，∴60°+180°−3t+5t−180°=180°，解得：t=60.综上：所有满足条件的t的值为15或60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解．16．（23-24七年级上·山西长治·期末）综合与探究：已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF．(1)如图1，若∠AEP=45°，∠EPF=80°，求∠PFC的度数．(2)如图2，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由．(3)如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由．【答案】(1)∠PFC=35°(2)∠EPF=2∠EQF，见解析(3)2∠EQF+∠EPF=360°，见解析【分析】本题考查平行线的性质和角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（1）过点P作PM∥AB，根据平行公理的推论、平行线的性质可得∠1=∠AEP，∠2=∠PFC，从而得到∠EPF=∠AEP+∠PFC，代入数据计算即可；（2）由（1）中的结论得∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，根据角平分线的定义得∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，可得结论；（3）由（1）中的结论和邻补角的定义得∠EPF与∠EQF的数量关系．【详解】（1）解：如图，过点P作PM∥AB，∴∠AEP=∠1，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠2=∠PFC，∴∠EPF=∠AEP+∠PFC，∵∠AEP=45°，∠EPF=80°，∴∠PFC=∠EPF−∠AEP=80°−45°=35°，∴∠PFC的度数为35°；（2）解：∠EPF=2∠EQF，理由：由（1）可知：∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，∴∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，∴∠EPF=∠AEP+∠CFP=2∠AEQ+2∠CFQ=2(∠AEQ+∠CFQ)=2∠EQF，∴∠EPF=2∠EQF；（3）解：2∠EQF+∠EPF=360°，理由：由（1）可知：∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，∠EPF=∠BEP+∠DFP，∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，∴∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，∴2∠EQF=2∠AEQ+2∠CFQ=∠AEP+∠CFP，∴2∠EQF+∠EPF=∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°，∴2∠EQF+∠EPF=360°．17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2分别交于点C和点D，P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1(1)若P点在线段CD（C、D两点除外）上）运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？说明理由．(2)在l1∥l2的前提下，若P点在线段CD之外时，∠1、【答案】(1)∠2=∠1+∠3，理由见解析(2)∠2=∠3−∠1或∠2=∠1−∠3【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．（1）过点P作PE∥l1，根据l1∥l2可知PE（2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段DC的延长线上与点P在线段CD的延长线上两种情况进行讨论．【详解】（1）解：∠2=∠1+∠3．理由如下：如图，过点P作PE∥因为l1所以PE∥所以∠1=∠APE，∠3=∠BPE．又因为∠APB=∠APE+∠BPE，所以∠2=∠1+∠3；（2）解：①当点P在线段DC的延长线上时，∠2=∠3−∠1．理由如下：如图所示，当点P在线段DC的延长线上时，过点P作PF∥所以∠FPA=∠1．因为l1∥l所以∠FPB=∠3，所以∠2=∠FPB−∠FPA=∠3−∠1；②当点P在线段CD的延长线上时，∠2=∠1−∠3．理由如下：如图所示，当点P在线段CD的延长线上时，过点P作PE∥l所以∠EPB=∠3．因为l1所以PE∥所以∠EPA=∠1，所以∠2=∠EPA−∠EPB=∠1−∠3．18．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面内一点，连接AP与CP．(1)如图1，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP=60°，∠DCP=20°时，则∠APC=(2)如图2，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，当点P在CD下方时，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K（K在CD下方），且∠BAP=α，∠DCP=β，直接写出∠K的大小（用含α和β的代数式表示）．【答案】(1)80(2)2∠AKC=∠APC，理由见解析(3)1【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根据∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，进而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK=1（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥DC，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，进而得到∠AKC=∠AKE−∠CKE=∠BAK−∠DCK，∠APC=∠BAP−∠DCP=α−β