专题06 平面向量5大最值题型通关指南（热点专练）（全国适用）（原卷版及解析）

1/14专题06平面向量5大最值题型通关指南内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：1、平面向量是近3年的高考命题热点，常以选择题填空题为主，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是平面向量的数量积及坐标运算，也会考察平面向量的最值问题．预测2026年：平面内容可能会考一道最值中档试题，考察平面向量的建系法求最值，以及极化恒等式的应用，同时要注意解答题中向量的几何翻译。热点题型：题型01平面向量中建系法求最值范围题型02平面向量中的三角换元求最值题型03平面向量中转化为点到线的距离最短求向量最值问题题型04平面向量中极化恒等式求最值范围问题题型05极化恒等式与其他知识相结合题型01平面向量中建系法求最值范围解｜题｜策｜略①在求平面向量最值范围问题中，看到特殊角，特殊图行，要想到可以通过建立坐标系来解决【精选例题】【例1】已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）A． B． C．-1 D．【例3】在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（

）

A． B． C． D．【例4】已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【例5】已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为.【例6】在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为．【变式训练】1．(25-26高三上·北京房山区·)已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(24-25高三下·湖南长沙部分学校联考·)已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（

）A． B．0 C．12 D．3．(25-26高三上·北京汇文中学·期中)如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示，则的最大值为，的最大值为.4．(24-25高一下·陕西西安远东第二中学·月考)直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为.5．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·月考)已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是.6．(24-25高三上·河北邢台质检联盟·期中)已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为．题型02平面向量中的三角换元求最值解｜题｜策｜略题目中涉及圆上一动点，要想到三角换元，【精选例题】【例1】已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（

）A． B．C． D．【例3】在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为；的最小值为．【例4】已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为．【例5】如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是．【例6】已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为.【变式训练】1．在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．(24-25高一下·福建厦门大学附属科技中学·)已知扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的取值范围是.3．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是4．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为；若是圆上的动点，则的取值范围是.

5．(25-26高三上·上海嘉定安亭高级中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值为.6．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·)如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为．

7．(25-26高三上·湖南永州道县敦颐高级中学·开学考)如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为.题型03平面向量中转化为点到线的距离最短求向量最值问题解｜题｜策｜略题目中出现的最小值问题，要想到它的含义就是点到直线的距离【精选例题】【例1】设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则.【例2】已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【例3】在中，，若对任意的实数恒成立，则边的最小长度是（

）．A． B． C． D．【例4】已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例5】已知非零平面向量，夹角为，且，若，则的最小值为．【变式训练】1．已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（

）A．3 B．2 C． D．2.已知中，，，，，，则的取值范围为（

）A．B．C．D．3.在中，，，，对任意，有恒成立，点P是直线BA上，则的最小值是．

4．已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是．题型04平面向量中的极化恒等式求最值范围ABABCM极化恒等式三角形模式在三角形中（M为的中点），此恒等式如何表示呢？（三角形模式）注意：使用极化恒等式的条件在处理的问题时，只有当或（是的中点）已知（或有一定的约束条件）时，我们才考虑极化恒等式，否则需要使用常规方法来解答【精选例题】【例1】铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（

）A．1 B．3 C．2 D．4【例2】在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3】如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（

）

A．9 B．11 C．13 D．15【例4】在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为．【例5】如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为.若在线段上有一个动点，则的最小值为.【变式训练】1．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（

）A．6 B．3 C． D．2．邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．23．四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是.4．(23-24高一下·河南河南名校联考·月考)如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是．

5．已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为.6．已知正的边长为2，点为所在平面内的动点，且，则的取值范围为．题型05极化恒等式与其他知识相结合【精选例题】【例1】已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例2】已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定【例3】已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例4】已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（

）A．[8，12] B． C． D．【例5】已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是.【例6】已知球是棱长为3的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体的棱上的动点，则的取值范围为．【变式训练】1．已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．(24-25高二上·吉林长春吉大附中实验学校·月考)已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．点为抛物线上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(24-25高二上·江西八校协作体·)在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．(25-26高二上·浙江台州山海协作体·期中)已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是．7．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·月考)已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是.8．(25-26·难点2直线与圆中的最值问题处理策略（练）·期中)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为.9．(25-26高二上·上海七宝中学浦江分校·期中)体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是．10．若为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是.（建议用时：60分钟）一、单选题1．(25-26高三·吉林松原吉林油田高级中学·)在菱形中，分别是边的中点，则（）A． B． C． D．2．(25-26高二上·广东广州天天向上联盟·期中)已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（

）A．2 B．4 C． D．3．(25-26高三上·江苏宿迁中学·期中)已知是圆上的动点，是圆上的动点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．(25-26高二上·浙江宁波三锋联盟·期中)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（）A． B． C． D．5．(25-26高二上·北京延庆区·期中)已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．(25-26高二上·浙江六校联盟·)已知直线：与圆：交于，两点，点在圆上，且，若，则（

）A． B．4 C． D．7．(24-25高一下·河南实验中学·月考)已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（）A． B． C． D．8．(24-25高一下·重庆女子职业高级中学·月考)已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．(24-25高一下·浙江91联盟·期中)已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（

）.A．. B．. C．. D．.10．(24-25高一下·江苏盐城五校联盟·)在平面直角坐标系中，，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．2二、多选题11．(25-26高二上·广东中山三鑫学校·月考)设动直线交圆于两点(点为圆心)，则下列说法正确的有（

）A．直线过定点 B．当取得最小值时，C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为12．在中，，点为以为圆心的单位圆上的动点，设的重心为，外心为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．当为直角三角形时，D．的最大值为13．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（

）A．1 B． C．2 D．14．(25-26高二上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)已知是坐标原点，直线：与直线：相交于点，点，均是圆：上的动点，且，是的中点，则下列说法正确的是（

）A．B．的最小值为C．的最大值为D．的最大值为15．(25-26高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知椭圆，其左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，若过点的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（

）A．的周长为定值8B．若为中点，则C．最大值为3D．若，则的最大值为316．(24-25高一下·河南驻马店·期末)已知实数，，，满足：，，，则（

）A．的最小值是B．C．的取值范围是D．存在实数，，，，使得三、填空题17．(25-26高三上·天津海河教育园区南开学校·期中)如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则：若点为线段上的动点，则的取值范围为．

18．(25-26高三上·山东实验中学·期中)已知平面向量，满足，且对任意实数都成立，则的值为.19．(24-25高一下·天津第九十五中学·月考)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为.20．已知圆和定点，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足，，则的最小值为．

专题06导数及其应用目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01导数的几何意义题型02求函数的单调区间题型03求函数的极值题型04求函数的最值题型05利用单调性求参题型06利用单调性比较大小题型07利用函数的极值求参题型08利用函数的最值求参题型09导数中的创新问题第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．（导数的几何意义）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则正实数的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】求导得，由直线与切线垂直可得，解方程得正实数的值即可.【详解】，则，因为直线的斜率为，所以，整理得，解得或，故正实数的值为.故选：D.2．（导求函数的单调区间）设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由求，解不等式求单调区间.【详解】定义域为，，所以，解得，所以，，由解得，所以的单调递减区间为.故选：A.3．（求函数的极值数）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值.【详解】函数的定义域为R，求导得，由是函数的极值点，得，解得，函数，，当或时，；当时，，所以函数的极小值.故选：A4．（求函数的最值）函数，的最大值为（

）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】求导得函数在上的单调性，进一步即可求得最大值.【详解】由题意，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数，的最大值为.故选：B.5．（利用单调性求参数范围）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解．【详解】，若在上单调递增，则在恒成立，即，令，其对称轴为，所以的最大值为，故只需．即．故选：D．6．（利用极值求参数范围）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，由在上有两个变号零点求出范围.【详解】函数的定义域为，求导得，由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，则，而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，，因此当且仅当时，有两个零点，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D7．（利用最值求参数的范围）已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得，然后分类讨论利用导函数与函数单调性的关系结合条件即得.【详解】由得，当时，在上单调递增，的最小值为，不符题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，解得.故选：A.8．（利用单调性比较大小）已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，即可得出、、的大小关系.【详解】构造函数，其中，则，所以函数在上为增函数，因为，且，，，因此.故选：C.9．（导数中的创新问题）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．②③【答案】A【分析】由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于两点所在直线的斜率，然后每个序号求导，分别代入求中值点即可判断．【详解】由题意知，即存在一点，使得此点处的切线斜率等于点与点连线的斜率，即方程解的个数就是中值点个数.①由得，而，显然成立，故有无数个“中值点”，符合题意．②由得，而，故有且仅有一个“中值点”，不符合题意．③由得，而，故有且仅有一个“中值点”，不符合题意．④由得，而，故有两个“中值点”，符合题意．故选：A.题型01导数的几何意义1．已知直线与函数的图象相切，则实数（

）A．4 B．3 C．2 D．-5【答案】A【分析】利用导数来求出斜率，通过切线斜率来求切点坐标，再代入切线方程，即可求参数值.【详解】由切线斜率，则，解得：或(舍去)，因为，所以切点坐标为，代入切线方程得：，故选：A.2．曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求函数的导函数，再求导函数在时的值，结合导数的几何意义求切线斜率，利用点斜式求切线方程．【详解】因为，所以，故，所以曲线在点处的切线斜率，故曲线在点处的切线方程为，即，故选：A.3．已知函数在点处的切线方程为，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】对函数求导，根据导数的几何意义结合切线方程求出结果即可.【详解】对函数求导得，因为函数在点处的切线方程为，所以有，解得.所以.故选：A.4．若直线与曲线相切，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据导数的几何意义（切线斜率）和切点同时在直线与曲线上列方程求解即可．【详解】设切点为，曲线在切点处的斜率为，直线在切点处的斜率为1，切点处两者斜率相等，所以，得，即切点横坐标，又因为切点同时在直线与曲线上，纵坐标相等，所以，也即．故选：D．题型02求函数的单调区间5．函数的单调增区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的导数大于0可得增区间.【详解】因为，.则，由，解得，此时单调递增.故选：B6．函数的单调减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，令导数小于零求解．【详解】函数的定义域为，，由得，所以的单调减区间为.故选：D.7．已知函数，则的单调递增区间为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间.【详解】函数的定义域为，则，因为，由，可得，故函数的单调递增区间为.故选：A.题型03求函数的极值8．函数的极小值为（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】B【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值.【详解】由，可得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以的极小值为.故选：B．9．已知函数，则在上的极值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据极值的定义，结合导数的运算进行求解即可.【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，所以在上的极值为，故选：A10．函数在上的极值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据函数极值的定义进行求解即可.【详解】，因为，所以当时，，所以该函数在区间上单调递增，当时，，所以该函数在区间上单调递减，所以当时，是函数的极大值点，所以极大值为，故选：A11．已知，是函数的极值点，则的极大值为（

）A． B．e C．0 D．【答案】B【分析】对函数求导，求出参数，得出函数和导函数的表达式并分析单调性，即可求出极大值.【详解】由题意，，在中，，，即，解得，∴，，当时，解得或当即时，函数单调递减，当即，时，函数单调递增，∴函数在处取极大值，为，故选：B.题型04求函数的最值12．函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出导函数，即可求出单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，即可求出函数的最值.【详解】因为，所以，由，得．又当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，又因为，．故，．故选：B13．若函数的最小值为1，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．8 D．27【答案】D【分析】利用换元法转化为，结合导数判断单调性可得答案.【详解】令，因为，所以；，，仅当时取等号，此时为增函数，当时，有最小值，由可得，则函数最大值为，且时取到最大值；故选：D14．函数的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】利用导数判断函数的单调性后可得函数的最小值.【详解】，设，则，故为上的增函数，而，，故当时，即，当时，即，故在上为减函数，在上为增函数，故，故选：C.15．函数在上的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】求出，根据导数求出单调性即可求解.【详解】，令，则，因为在，在，所以在单调递减，在单调递增，因为，所以最小值为.故选：A.05利用单调性求参16．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得对于恒成立，可得对于恒成立，进而求解即可.【详解】由，则，因为函数在上单调递减，所以对于恒成立，即对于恒成立，而，则，即，则实数a的取值范围为.故选：D.17．已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可.【详解】因为，函数在区间上是减函数，所以，恒成立.所以，恒成立.设，，因为对称轴为，所以在为增函数，所以，所以.故选：C18．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得.【详解】依题意，在区间上能成立，即在区间上能成立，设，则，故只需求在上的最小值，而在时，取得最小值，故得.故选：B.19．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，根据导函数的符号求解.【详解】，由条件知当时，，即，令，是减函数，；故选：D.题型06利用单调性比较大小20．已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合三角函数知识，即可得到与的大小关系，通过构造函数，利用单调性即可推导出与的大小关系，进一步比较即可.【详解】由三角函数线知识可知，当时，，故.令，则故在上单调递减，则.故，即，故.综上，.故选：A.21．已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，即可得出、、的大小关系.【详解】构造函数，其中，则，所以函数在上为增函数，因为，且，，，因此.故选：C.22．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，根据为奇函数，得出为偶函数，再结合题干得的单调性，即可得解.【详解】因为是奇函数，所以，设函数，则，所以是偶函数.因为，且当时，，所以在上单调递增.因为是偶函数，所以在上单调递减.若，

，，又因为，所以.故选：B.23．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作差法比较大小，根据函数在单调递增比较大小即可.【详解】由于，故，所以，即，故，排除AB；令，则，当时，，函数在单调递增，所以，即，故，故D选项错误.综上，．故选：C题型07利用函数的极值求参24．已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得，由函数没有极值，得到，即可求解.【详解】由函数，可得，因为函数没有极值，可得，即，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.25．函数有极值，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由有极值，得有变号零点，即有2个不相等的实数根，列出不等式求解即可．【详解】函数定义域为，，因为有极值，所以函数有变号零点，即有2个不相等的实数根，所以，故选：B．26．若函数既有极大值也有极小值，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导可得，再根据在区间上有两个根，结合韦达定理与判别式列式求解即可.【详解】由题意，又函数既有极大值也有极小值，故方程有两个不相等的正根，故，则，排除ACD.因为，故异号，故.故选：B27．函数在R上存在极大值的充分条件是：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导，利用判别式求出的范围，然后由包含关系可得.【详解】要使在R上存在极大值，只需有两个异号零点，所以，即，记集合，则在R上存在极大值的充分条件是的子集.故选：A题题型08利用函数的最值求参28．已知函数在区间上的最大值为，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】利用基本不等式求得最值，列式求解即可.【详解】因为，当时，，当且仅当时等号成立，所以，故，解得，故选：C29．若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值．【详解】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，令，解得或，若函数在内存在最小值，则，得．故选：C30．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据的导数求的单调性和极值，作出简图，数形结合即可求m的范围.【详解】因为，所以当或时，当时，所以在，单调递增，在单调递减，又，，，，故的图象如图：函数在区间上有最小值，则由图可知，即的取值范围是.故选：D.31．若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.【详解】，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，即在处取得最值，则有，解得.故选：C.题型09导数中的创新问题32．（24-25高二下·湖北武汉·期中）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据定义分别求得和，再构造函数，根据导数确定零点的取值范围即可求解．【详解】，则，即，，则，设，则，所以在单调递增，又，所以存在，使得，即；，则，即，综上所述，，故选：A．33．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解.【详解】对于A，，，由，得，解得，所以函数存在“二倍阶值点”；对于B，，，由，得，因为，，解得，所以函数存在“二倍阶值点”；对于C，，，由，得，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，有极小值也是最小值，且，所以无解，所以函数不存在“二倍阶值点”；对于D，，，由，得，令，，所以在上单调递增，又，，根据零点存在性定理可知在上存在零点，所以方程有解，所以函数存在“二倍阶值点”.故选：C.34．（24-25高二下·广东东莞·月考）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出各函数的导函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项.【详解】对于①，则，由，即，，所以无实数根，因此不存在“自足点”，故①错误；对于②，，则，由，可得，其中，令，显然在定义域上单调递增，又，，所以函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，故②正确；对于③，则，其中，因为，故函数存在“自足点”，故③正确；对于④，则，由，可得，因为，，所以，所以方程无实解，故④错误.故存在“自足点”的函数共有个.故选：B1．若函数的图象在处的切线过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义，求出在处的切线方程，再结合条件，即可求解.【详解】因为，则，所以，又，所以在处的切线方程为，又切线过点，所以，解得，故选：A.2．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将问题转化为在区间恒成立，分离参数后结合对勾函数的单调性可得.【详解】，因为函数在区间单调递增，所以在区间恒成立，即在区间恒成立，即在区间恒成立，由对勾函数的单调性可得故.故选：D.3．若函数的极小值为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求导，根据导数确定导函数的单调性，即可结合极值的定义求解.【详解】由可得，当时，，此时在单调递增，无极值，当时，由于函数均在单调递增，则在单调递增，结合有极值，故必然有零点，且有唯一的零点，设为，则，即，有，当在单调递减，当在单调递增，故是的极小值点，故，则，解得，综上可得，故选：C4．若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围.【详解】由，得，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，即的取值范围为.故选：C5．函数的递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对函数求导，令导函数大于0构建不等式，其解集为单调增区间.【详解】由，得，其中，，令，即，解得，所以函数的递增区间是.故选：D6．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，然后利用导数解不等式.【详解】设，因为，所以，所以单调递增，又，所以的解集为，即的解集为，故选：D.7．若函数有两个极值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】问题转化为有两个变号零点，即有两个不同正根，利用判别式求解即可.【详解】由题可知：，因为函数有两个极值，所以有两个变号零点，即有两个不同正根，因为,所以方程化为有两个不同正根，所以且,可得，即实数的取值范围为.故选：B8．函数在上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得函数的导数，求得函数的单调性，即可求得最小值，再求出函数在的端点处的函数值，比较大小，可求得最大值，进而得出函数的值域.【详解】由求导，得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，又，所以函数在上的最大值为，因此函数在上的值域是.故选：C9．已知函数在单调递增，则的最小值为．【答案】【分析】先把题中条件转化为函数导数恒成立，分类讨论利用导数研究函数的单调性求得答案；【详解】由题知在恒成立．当时，由于爆炸性增长，所以无论b取任何值，总存在，使得当时，有，不符合题意；当时，即，当时，上式成立，当时，即，令，则，所以在单调递增，在单调递减，则，故的最小值为．故答案为：.10．设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为.【答案】【分析】求导，得函数的单调性，即可求解极值点，列不等式即可求解.【详解】，当时，在恒成立，函数没有小于0的极值点，不合题意；当时，当且时，在单调递增，在单调递减，故是的唯一极值点，符合题意.11．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】首先利用导数求解曲线的切线方程，并求解出切线与坐标轴的交点坐标，最后再根据面积公式进