除法的智慧：“四舍五入”试商与连除问题的解决

除法的智慧：“四舍五入”试商与连除问题的解决一、教学内容分析

本课内容选自苏教版小学数学四年级上册，居于整数除法笔算教学的关键节点。从课标维度审视，在知识技能图谱上，它承接着学生对除数是一位数、整十数除法计算法则的理解，开启了除数是非整十数两位数除法计算的新篇章，是计算技能从规则化向策略化跃升的重要阶梯。核心技能“四舍五入试商”，本质上是一种将复杂问题（除数非整十）转化为已掌握问题（除数为整十）的数学建模思想与策略选择过程。而“连除的实际问题”则是对除法意义的深化应用，要求学生能从复合情境中抽象出数量关系，进行多步运算。本课的素养价值深远，它直指数学核心素养中的“运算能力”与“模型意识”。试商过程的反复调试，锻炼的是学生基于数据特征进行估算、试误与调整的科学探究般严谨思维；解决连除问题时对信息的结构化处理，则是初步的“分析问题建立模型求解验证”数学应用过程的缩影。这不仅是技能的习得，更是面对不确定性时灵活、坚韧的思维品质的培育。

基于“以学定教”原则，进行学情研判。学生的已有基础在于：已掌握除数是整十数的笔算方法，理解除法运算的意义，并具备“四舍五入”法求近似数的经验。潜在的认知障碍可能集中于两点：一是试商过程中，当“初商”偏大或偏小时，如何逻辑清晰地进行调商，学生容易陷入机械试错；二是在解决连除问题时，对隐含的“总数、份数、每份数”关系的多层级理解与转化存在困难，可能混淆每一步算式的实际含义。因此，教学调适策略需重点设计：首先，通过对比性任务（如“四舍”后商易偏大、“五入”后商易偏小的对比），引导学生发现规律，而非记忆规则。其次，运用直观模型（如方块图、线段图）为分析连除问题提供“脚手架”，帮助中下游学生可视化数量关系。在过程评估中，我将密切观察学生的草稿演算过程，通过提问“你把除数看作几十？为什么？”“这一步求的是什么？”来诊断思维节点，并设计分层练习，让不同思维速度的学生都能在“最近发展区”获得成功体验与针对性指导。二、教学目标

知识目标：学生能理解并阐述用“四舍五入”法将除数看作整十数进行试商的原理与必要性；能规范完成除数是非整十数（两位数）的除法笔算，掌握基本的调商方法；能正确分析两步计算的连除实际问题，列出综合算式并解答，说出每一步计算的含义。

能力目标：学生能根据除数的个位数字，合理选择“四舍”或“五入”进行试商，并在初商不准时，有策略地进行调商（商调小或调大）；能从现实生活情境中提取信息，通过画图、列表等方式分析数量关系，构建连除问题的数学模型，并发展有条理的逻辑表达能力。

情感态度与价值观目标：在试商调商的探索过程中，培养学生面对计算挫折时的耐心与细致；在小组合作解决实际问题的过程中，鼓励积极倾听、勇于表达不同思路，感受数学与日常生活的紧密联系，体会用数学方法系统化解决问题的理性精神。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的转化思想与模型思想。引导他们将“非整十数除法”转化为“整十数除法”来思考，体验转化的策略价值；在解决连除问题时，经历“具体情境—数学抽象（数量关系式）—算法实现”的完整建模过程，强化结构化思考的意识。

评价与元认知目标：引导学生建立自我监控的计算习惯，例如在试商后能通过估算判断商的合理性，养成“先估后算、算后验算”的反思意识；鼓励学生在练习后，用简洁的语言总结试商调商的窍门，或对比不同解题路径的优劣，初步形成对自身思维过程的审视与优化能力。三、教学重点与难点

教学重点：掌握用“四舍五入”法试商的基本方法，并能正确计算除数是两位数的除法。其确立依据源于课标对第二学段“数的运算”的核心要求：掌握必要的运算技能。本课内容是整数除法笔算体系的枢纽，试商方法的熟练与否直接决定后续所有相关复杂运算的准确性与速度，是构建稳固运算能力的基石，也是学业评价中的持续性考查要点。

教学难点：灵活进行试商与调商，以及理解连除实际问题的数量关系并列出综合算式。预设依据来自学情分析：试商调商需要学生综合运用估算、口算和乘减法进行动态调整，思维链条长，对专注力和心算能力要求高，易出错。连除问题则涉及对复合信息的二次分配理解，学生容易机械套用“连除”形式，却不理解每一步除法的实际意义，这反映了从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡中的典型困难。突破方向在于，将调商过程“可视化”（如用积与被除数比较），并为连除问题提供多元表征（实物操作、示意图）作为理解支撑。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态演示试商、调商过程的动画；连除问题情境图）；实物投影仪。1.2学习资料：分层学习任务单（包含“探究导航”、“分层练兵场”、“我的收获”等模块）；板书记划卡片（关键词：四舍法、五入法、初商、调商）。2.学生准备2.1知识准备：复习除数是一位数和整十数的除法计算，回顾“四舍五入”法求近似数。2.2学具准备：草稿本、彩色笔（用于画图分析）。3.环境布置3.1座位安排：四人小组合作式座位，便于讨论与互助。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与冲突激发：“同学们，学校图书室新进了一批图书，管理员王老师遇到了一个计算难题：一共有192本书，如果每班分24本，可以分给几个班？他尝试用竖式计算‘192÷24’，却发现除数24不是整十数，以前学的方法好像不太灵了。大家能帮帮他吗？”1.1核心问题提出与路径明晰：“看来，当除数是24、29、31、36这样的数时，我们急需一种新的‘法宝’来帮我们快速找到商。这个法宝就和我们学过的‘四舍五入’有关。今天，我们就化身‘计算小侦探’，一起探索‘四舍五入试商法’，并用它来解决像王老师遇到的这类问题，甚至更复杂的‘连除’难题。我们先来想想，怎么把陌生的‘24’变成我们熟悉的‘朋友’呢？”第二、新授环节任务一：初探“四舍”法试商教师活动：首先，引导学生聚焦问题“192÷24”。提问：“同学们，仔细观察除数24，它更接近哪个整十数？（20）我们可以把它看作多少来试商？（20）这个把24看作20的过程，在数学上叫？”（板书：四舍法）。接着，示范完整笔算过程：把24看作20，想20乘几最接近190？商9。但重点追问：“商9一定对吗？我们需要用真正的除数去验证。请大家用24乘9算算看。”学生计算发现24×9=216，超过192了。此时引导：“哎呀，商9太大了！这说明把除数看小了，商就容易偏大。那怎么办？”引出“调商”：将商调小为8，再计算24×8=192，正好。总结：“看来，用‘四舍’法试商，初商可能偏大，需要往小调。”学生活动：跟随教师引导，口头参与将除数“四舍”的决策过程。在教师示范后，独立完成用初商9和调商后的8进行计算验证的步骤，经历“试验调”的完整过程。与同桌交流“为什么商9会偏大”。即时评价标准：1.能准确说出将24“四舍”看作20。2.理解试商“9”是基于看作的20而非真实的24。3.能通过计算乘积（24×9）发现初商偏大，并接受调商逻辑。形成知识、思维、方法清单：★核心概念：“四舍”法试商——当除数个位是1、2、3、4时，将其“四舍”看作较小的整十数进行试商。▲易错点与思维关键：因把除数看小了，所得的初商可能偏大，需要调小。同学们可以记住口诀：“四舍商易大，往小调一下”。任务二：发现“五入”法试商的规律教师活动：出示新题“192÷29”。“这次除数是29，它接近哪个整十数？（30）我们把29看作30来试商，这叫做？”（板书：五入法）。“大家先别动笔，猜一猜，把除数看大了，试出的商会容易偏大还是偏小呢？说说你的理由。”让学生先预测，激发探究欲。然后请学生尝试独立完成试商与计算。巡视中，关注学生是否遇到商6后，29×6=174，余数18，比除数小，计算正确。请一名学生板演并讲解。对比任务一，组织讨论：“‘四舍’和‘五入’试商，调商的方向有什么不同规律？”引导学生归纳。学生活动：基于“四舍”法的经验，对“五入”法的调商方向进行预测和推理。独立尝试计算192÷29，验证自己的猜想。通过对比两个任务，小组讨论并尝试总结试商调商的一般规律。即时评价标准：1.能主动将“五入”情境与“四舍”进行类比推理。2.能独立完成“五入”法试商的完整计算过程。3.能在小组讨论中清晰地表达“把除数看大，初商易小”的发现。形成知识、思维、方法清单：★核心概念：“五入”法试商——当除数个位是5、6、7、8、9时，将其“五入”看作较大的整十数进行试商。▲易错点与思维关键：因把除数看大了，所得的初商可能偏小。口诀是：“五入商易小，往大调准好”。学科方法：对比归纳法——通过对比“四舍”与“五入”两种情况的调商方向，归纳出普适性规律，这是数学中重要的发现方法。任务三：巩固试商调商技能教师活动：设计一组对比练习，如：①84÷21（四舍，不需调商），②84÷23（四舍，需调商），③160÷38（五入，需调商），④160÷32（五入，可商5）。“请大家当一回‘试商诊断师’，先判断每道题该用‘四舍’还是‘五入’，并估一估初商可能是几，可能会怎么调。然后再动笔精确计算验证。”巡视指导，重点关注学困生对调商方向的判断。收集典型错误（如调商方向反了）进行投影，让学生辨析。学生活动：独立完成练习，在计算前先进行“诊断预测”，养成先思考策略再动笔的习惯。计算后与预测对比，反思差异。参与集体错例辨析，巩固认知。即时评价标准：1.能根据除数个位数正确选择“四舍”或“五入”策略。2.能对调商可能性做出合理预估。3.计算过程规范，结果正确。形成知识、思维、方法清单：★关键技能：试商调商的完整流程——一审（除数个位，定方法）、二估（看被除数，估初商）、三试乘、四比较、五调整。应用提示：养成“先估后算”的习惯，能极大提高计算的一次成功率。估算时，可同时估算商的大致范围。任务四：破解连除实际问题——分步理解教师活动：创设情境：“2个书架一共放了224本书，每个书架有4层。问题是平均每个书架每层放多少本书？”“这个问题一步能解决吗？信息有点多，别急，我们请出画图这个好帮手。”带领学生用长方形代表书架，画出2个书架，每个书架分4层。引导分步思考：第一步，求“平均每个书架放多少本？”（板书：224÷2=112（本））。“这112本，在图上是哪一部分？”第二步，求“每个书架每层放多少本？”（板书：112÷4=28（本））。强调每一步算式的实际意义。学生活动：跟随教师一起画示意图，将文字信息转化为直观图形。根据示意图，理解“先求每个书架本数，再求每层本数”的解题思路，并清晰说出每一步除法算式的含义。即时评价标准：1.能尝试用简单的图示表示情境中的数量关系。2.能清晰表达出解决问题的两步思路。3.能准确说出分步算式中每个数的意义。形成知识、思维、方法清单：★问题模型：连除问题——已知总数和两次平均分的份数，求最终每份数。思维方法：分析法（从问题出发）或综合法（从条件出发）。这里用的是综合法：根据总数和书架数→每个书架本数；再根据每个书架本数和层数→每层本数。任务五：连除问题的综合列式与多元解法教师活动：追问：“刚才我们分了两步，能不能列成一个综合算式？”引导学生列出224÷2÷4，并说明运算顺序。“还有不同的想法吗？谁能在图上指一指，如果先算‘一共有多少层’，该怎么想？”启发另一种思路：先求总层数2×4=8（层），再求每层本数224÷8=28（本）。列出综合算式224÷（2×4）。“比较一下这两种方法，它们之间有什么联系？”引导学生发现其实都是求“把224本书平均分到8层”，验证结果相同，体会解决问题策略的多样性。学生活动：尝试将分步算式合并成综合算式。在教师启发下，探索“先求总份数”的第二种解法。通过对比两种解法的思路和算式，理解它们的内在一致性（总数÷总份数=每份数），感受数学的灵活与简洁。即时评价标准：1.能正确列出连除综合算式并理解运算顺序。2.能在教师引导或小组讨论中发现第二种解题思路。3.能通过解释或计算验证两种方法的等价性。形成知识、思维、方法清单：★核心原理：连除问题的两种基本思路：①依次平均分（连除）；②先求总份数，再一次性平均分。学科思想：数形结合——示意图是分析数量关系的利器。模型关联：最终都归结为“总数÷总份数=每份数”这一基本数量关系模型。任务六：策略选择与灵活应用教师活动：出示变式题：“一盒乒乓球有6个，每个4元。张老师买乒乓球用了120元，他买了多少盒？”“这道题还是连除吗？信息给出的顺序和我们思考的顺序可能不同，请大家先画图或列表整理信息，再选择你喜欢的方法解答。”巡视，鼓励用不同方法（如：先求一个乒乓球单价？先求一共买了多少个？）。请不同解法的学生展示。学生活动：独立或在小组内通过画图、列表整理信息，厘清“总价单价数量”之间的关系。尝试从不同角度分析，可能得出120÷4÷6（先求个数，再求盒数）或120÷（4×6）（先求一盒价格，再求盒数）等解法。交流不同思路。即时评价标准：1.能主动使用工具整理杂乱信息。2.能根据数量关系灵活选择或组合已知策略解决问题。3.解题过程清晰，表达有条理。形成知识、思维、方法清单：▲能力拓展：信息处理与策略优化——面对实际问题，信息并非总是顺序呈现。需要先整理（画图、列表），再选择最清晰或最简便的路径解答。素养指向：此任务直接锻炼了学生的模型意识与应用能力，将计算技能置于真实问题解决中予以考验和升华。第三、当堂巩固训练

基础层（全员必做）：1.竖式计算：97÷23，198÷28。强调先判断试商方法，再计算。2.简单连除：3箱蜜蜂一年可以酿108千克蜂蜜，每箱有6脾蜜蜂。平均每脾蜜蜂一年酿蜜多少千克？（要求用两种方法列式）。

综合层（多数挑战）：1.“巧诊断”：出示如“156÷32，初商5，32×5=160>156，学生直接写商5”的错误案例，请学生诊断错误原因并改正。2.情境题：学校给四年级段180名学生订购夏季校服，每套95元。财务老师带了4摞钱，每摞50张100元，够吗？请估算并说明理由。（融合估算与连乘）

挑战层（学有余力）：探究题：在计算□÷34时，小明把34看成30试商，得到的初商是8，但正确的商应该是多少？这道题的被除数可能是多少？（逆向思维，深化对试商原理的理解）

反馈机制：基础题采用同桌互查，重点检查试商标记和调商过程。综合层与挑战层题目，通过实物投影展示不同学生的解法，由学生讲解思路，教师侧重点评思维过程（如估算策略的选择、逆向思考的突破口）。对普遍性困难进行集中精讲。第四、课堂小结

“同学们，今天的‘计算侦探’之旅收获如何？请大家在小组内，用‘我今天学会了……’、‘我明白了……的道理’、‘我发现了……的小窍门’这样的句式来分享你的收获。”邀请几位学生从知识、方法、感受等多维度进行总结。“老师也把自己的收获编成一首小诗送给大家：四舍五入是法宝，试商快又好。四舍商大往小调，五入商小往大找。连除问题莫慌张，画图分析思路畅。先找总份或依次分，模型记牢方法强。”最后布置分层作业：必做——课本相关基础练习；选做A（拓展）——寻找一个生活中的连除问题并解答；选做B（探究）——研究除数个位是“4”或“5”时，用“四舍五入”法试商各有什么优劣，哪种更接近精确商？为下节课的“灵活试商”埋下伏笔。六、作业设计基础性作业：1.完成练习册指定页面的竖式计算题（约6道），涵盖“四舍”需调、“五入”需调、不需调等类型。要求规范书写并验算。2.解决两个基础连除应用题（如：6辆卡车3次运沙土90吨，平均每辆卡车每次运多少吨？），要求用两种方法列式并作答。拓展性作业：3.“我是小老师”：请你在错题本上，针对“四舍五入”试商最容易出错的一种情况（如“四舍”后调商），创作一道例题，并写出详细的解题步骤和提醒小伙伴的“温馨提示”。4.生活小调查：回家后，调查家里一桶大包装食品（如饼干、坚果）的总净含量和独立小包装的净含量与数量，计算一下平均每小包的净含量是否与标签一致，并尝试用今天所学知识解释你的计算过程。探究性/创造性作业：5.数学日记：以《“调商”的学问》为题，写一篇短文，记录你今天学习试商调商过程中的思考、遇到的困难以及你是如何克服的，可以配上你自己画的思维导图或流程图。6.挑战题设计：模仿今天课堂上的挑战题，你自己设计一道关于试商或连除的、有“陷阱”或需要巧妙思考的题目，并附上答案和解析。下节课我们将评选“最佳出题人”。七、本节知识清单及拓展★核心概念1：“四舍五入”法试商。当除数是非整十两位数时，根据其个位数字，用“四舍五入”法将其看作最接近的整十数来估算商。这是将新问题转化为旧知识的关键策略。▲认知提示：“接近”是关键词，个位是4或5时有时可灵活处理，但初学阶段严格按规则，以建立稳固认知。★核心概念2：调商的方向规律。用“四舍”法（把除数看小），初商可能偏大，需往小调；用“五入”法（把除数看大），初商可能偏小，需往大调。这是本课最核心的思维规律。▲记忆窍门：联系生活理解：估计时把困难（除数）想小了，计划（商）就容易冒进（偏大）；把困难想大了，计划就容易保守（偏小）。★核心概念3：除数是两位数的除法笔算流程。一审：看除数个位，定“舍”或“入”；二估：看作整十数，估出初商；三乘：用真实除数乘初商；四比：比较积与被除数；五调：根据比较结果调整商；六落：落下余数继续除（若需要）。★核心概念4：连除实际问题。指需要连续进行两次或以上除法运算才能解决的问题。其基本数量关系源于“总数÷份数=每份数”的多次应用。★核心方法1：分析连除问题的两种思路。思路一：依次平均分，列连除算式，如a÷b÷c；思路二：先求总份数，再一次性平均分，列带小括号的算式，如a÷(b×c)。两种思路殊途同归。▲选择建议：根据题目信息给出的顺序和计算的简便性来选择。思路二在总份数容易求时往往更简洁。★核心方法2：借助图示分析数量关系。对于较复杂的实际问题，用长方形、圆圈等符号画出简单的示意图，能直观呈现“总数”、“中间量”、“每份量”之间的关系，是突破理解障碍的有效工具。★易错点1：试商后忘记用原除数相乘。这是最常见的计算错误。务必在竖式旁清晰标注将除数看作几十，但乘的时候必须用原除数。★易错点2：调商方向错误。混淆“四舍”和“五入”对初商的影响。牢记“舍小则商大，入大则商小”的调整口诀。★易错点3：连除综合算式的运算顺序错误。连除按从左往右顺序计算；先乘后除的，除法部分需加小括号，如224÷(2×4)。▲学科思想渗透：本课深刻体现了“转化”思想（非整十转整十）、“模型”思想（建立试商流程与连除问题模型）和“优化”思想（选择合理的试商与解题策略）。★素养衔接点：熟练的试商能力是运算能力的支柱；解决连除问题的过程完整经历了从现实情境中抽象出数学问题（模型意识），运用数学语言予以表征和解决，再回到实际验证的初步过程。八、教学反思

假设本节课已实施完毕，从预设与生成的视角进行复盘，我认为在教学目标达成上，知识技能目标通过层层递进的任务和充分的练习，大部分学生能够达成。证据在于，在“当堂巩固”的基础层，正确率预计可达85%以上；在综合层的情境题中，超过半数的学生能提出合理的估算策略。能力与思维目标上，学生在任务二（预测“五入”调商方向）和任务六（策略选择）中的表现，是衡量其迁移与应用能力的关键观察点，预计中等及以上学生能展现出较好的类比推理和策略意识。

对各教学环节有效性的评估：导入环节的情境创设成功引发了认知冲突，“怎么把24变成我们的朋友？”这一设问将学生的思维直接引向“转化”。新授环节的六个任务构成了一个稳固的“支架”系统。“任务一”的教师“扶”得较细，旨在建立正确范例和流程感知；而“任务二”中‘先猜再试’的设计，意图明显是‘放’，鼓励学生运用刚刚获得的经验进行主动探索。从学生猜测时的热烈讨论可见，这一“放”激发了真正的思维参与。任务三的“诊断师”角色赋予，将枯燥练习变为趣味挑战，是维持学习动机的巧妙设计。任务四到六关于连除问题的处理，遵循了“分步理解→综合表达→多元策略→灵活应用”的认知规律，图示的贯穿使用有效降低了抽象难度。“当时设计时，我就担心连除的两种思路学生是否能自主发现第二种。课堂中，确实有一部分学生卡在了第一种思路上，这时我追问‘还能先算什么？’并辅以在图上的比划，起到了关键的启发作用。”

对不同层次学生的深度剖析：对于计算能力强、思维快的A层学生，他们在任务二、三中很快发现了规律，并在任务六中提出了令我惊喜的解法（如先求总价包含多少个4元）。对于他们，