高级统计师考试题目与答案

高级统计师考试题目与答案1.某省卫健委为评估“分级诊疗”政策实施效果，从2018—2022年共60个季度面板数据中抽取12个地市、每地5家三级医院、每家医院随机抽取300例门诊病例，形成54000条就诊记录。变量包括：是否基层首诊（binary）、患者年龄（连续）、医保报销比例（0—1）、医院等级（1=三甲，0=三乙）、地区人均GDP（万元）、政策虚拟变量（2019Q4及以后取1）。研究者拟用双向固定效应Logit模型估计政策对基层首诊概率的边际效应，但发现存在“医院—季度”层面聚类相关及政策实施内生性问题。请回答：（1）写出双向固定效应Logit模型的完整设定，并说明如何引入医院与季度固定效应；（2）若怀疑政策变量与误差项相关，给出两种可行的内生性处理策略，比较其适用条件；（3）在聚类稳健标准误计算中，为什么“医院—季度”层面聚类比“医院”或“季度”单独聚类更合理？给出数学解释；（4）假设已得平均边际效应AME=0.087，聚类稳健标准误0.019，样本量54000，请构造95%置信区间，并解释经济含义；（5）若进一步发现2020Q1—2021Q2疫情冲击可能干扰政策效应，设计一个“疫情冲击异质性”稳健性检验，写出回归方程与识别假设。答案与解析：（1）模型设定：令y_{ihqt}=1表示患者i在医院h、地区q、季度t就诊时发生基层首诊。双向固定效应LogitP(y_{ihqt}=1|X,α_h,γ_t)=Λ(α_h+γ_t+X_{ihqt}′β+δ·Post_t),其中Λ(z)=exp(z)/(1+exp(z))，α_h为医院固定效应，γ_t为季度固定效应，Post_t为政策虚拟变量。Stata命令示例：xtlogityc.age##c.age报销比例i.hospidi.quarter,fevce(clusterhosp_quarter)or“i.hospid”吸收医院不随时间变化的所有异质性，“i.quarter”吸收全省共同时间冲击，二者联合构成双向固定效应。（2）内生性处理：策略A：工具变量法。利用“省内其他11个地市同季度政策实施率”作为本地政策变量的IV。原理：其他地市政策实施率通过省级行政压力影响本地政策timing，但不直接影响本地患者首诊选择。需通过两阶段残差inclusiontest（IV–Logit的Rivers-Vuong估计）或特殊回归估计（条件混合过程CMP）。策略B：双重差分—事件研究法。以2019Q4为事件点，将2018Q1—2019Q3作为pre，2020Q1—2022Q4作为post，估计动态效应β_k，k=–7,…,+12。若pre趋势为零，则支持平行趋势，可缓解内生。比较：IV需找到强相关且外生工具，对数据要求高；事件研究依赖pre趋势检验，若pre有预期效应则失效。（3）聚类数学解释：令误差项ε_{ihqt}，若corr(ε_{ihqt},ε_{jh′q′t′})≠0当且仅当h=h′且t=t′，则真实方差Var(β̂)=(X′X)^{-1}Σ_{c}X_c′Σ_cX_c(X′X)^{-1},其中c为“医院—季度”单元。若仅按医院聚类，会低估同一医院内季度间相关性，导致标准误偏小；若仅按季度聚类，会低估同一季度内医院间相关性。只有“医院—季度”聚类维度与误差相关结构匹配，才能一致估计Σ_c。（4）置信区间：AME的95%CI=0.087±1.96×0.019=[0.0498,0.1242]。经济含义：政策使基层首诊概率平均提升8.7个百分点，区间下限5个百分点，上限12.4个百分点，以2022年全省1.2亿门诊量测算，意味着每年新增约1040万人次基层首诊，节约三级医院8%门诊负荷。（5）疫情异质性检验：定义疫情冲击虚拟变量Covid_{qt}=1若t∈[2020Q1,2021Q2]且q为疫情高爆发地区（累计确诊率>中位数），交互项模型：y_{ihqt}=α_h+γ_t+β_1Post_t+β_2Post_t·Covid_{qt}+X′θ+ε_{ihqt}.识别假设：疫情冲击对基层首诊的影响仅通过Covid_{qt}体现，且该冲击与政策实施时间非完全重叠；若β_2不显著，说明政策效应未被疫情扭曲，结果稳健。2.国家统计某司对31个省份2010—2022年季度GDP进行修订，发现官方初步核算值（firstrelease）与最终核实值（final）存在系统差异。设修订误差e_{it}=y_{it}^{final}−y_{it}^{first}，建立动态面板模型e_{it}=ρe_{i,t−1}+β_1|y_{it}^{first}|+β_2σ_{it}+β_3Crisis_t+μ_i+λ_t+υ_{it},其中σ_{it}为省份i季度t的12个行业增加值波动标准差，Crisis_t为2015Q3—2016Q2的股灾虚拟变量。请回答：（1）说明为何OLS估计ρ会高估，并给出偏误方向数学推导；（2）采用系统GMM估计时，如何构造内部工具变量？写出一步与两步GMM的矩条件；（3）若发现AR(2)检验p=0.08，Sargan检验p=0.002，应如何判断模型设定？给出后续调整方案；（4）假设已得β̂_1=−0.14，其经济含义是什么？结合GDP规模解释；（5）设计一个“修订透明度”外生冲击，利用该冲击识别β_3的因果效应，写出回归方程与识别策略。答案与解析：（1）OLS偏误：模型含个体效应μ_i，e_{i,t−1}与μ_i相关，导致Cov(e_{i,t−1},υ_{it}−ρe_{i,t−1})≠0。具体地，plimρ̂_{OLS}=ρ+Cov(e_{i,t−1},μ_i)/Var(e_{i,t−1})>ρ，因修订误差具有持续性，μ_i越大e_{i,t−1}越大，Cov为正，故ρ高估。（2）系统GMM：内部工具：对差分方程Δe_{it}=ρΔe_{i,t−1}+…+Δυ_{it}，使用e_{i,t−2},e_{i,t−3},…作为Δe_{i,t−1}的工具；对水平方程，使用Δe_{i,t−1}作为e_{i,t−1}的工具。一步矩条件：E[Z′Δυ]=0；两步权重矩阵W_N=(1/NΣZ′Δυ̂Δυ̂′Z)^{-1}，迭代至收敛。（3）检验判断：AR(2)p=0.08>0.05，不能拒绝差分误差无二阶序列相关，支持矩条件有效；但Sarganp=0.002，拒绝“所有工具变量有效”原假设，存在过度识别问题。调整：缩减工具变量滞后阶数，仅使用t−2期工具；或采用Collapse选项减少工具维度；再行HansenC检验，若p>0.1则接受。（4）经济含义：β̂_1=−0.14表明初步核算规模每扩大1个百分点，修订误差绝对值减少0.14个百分点，呈现“规模越大核算越准”特征。以广东2022年季度GDP3万亿元为例，若初步值高估2%，则修订下调约60亿元；若规模扩大10%，修订误差减少1.4个百分点，下调幅度降至0.6%，即18亿元，体现大省份统计基础更好。（5）外生冲击：2017年国家统计局推行“GDP统一核算改革”，规定2018年起各省GDP由国家核算后反馈，视为外生提升透明度。定义Reform_t=1若t≥2018Q1，三重差分：e_{it}=μ_i+λ_t+β_3Crisis_t·Reform_t+θX_{it}+υ_{it}.识别策略：股灾时段Crisis_t与Reform_t交集仅2018Q1—2018Q2，利用“改革前后×股灾与否”交叉，β_3捕捉透明度提升对修订误差的因果效应，假设改革时间不由各省误差大小决定，具备外生性。3.某电商平台的日活用户（DAU）序列{y_t}_{t=1}^{1826}取自2018—2022年，呈现周内效应、春节漂移、结构断点（2020Q1疫情）、异方差与右偏。现建立SARMAX模型：(1−ϕ_1B−ϕ_2B^2)(1−B^{7})logy_t=(1+θ_1B^7)ε_t+β_1x_{1t}+β_2x_{2t},其中x_{1t}为“居家办公”百度指数，x_{2t}为平台补贴金额（百万元），ε_t∼N(0,σ_t^2)，σ_t^2=exp(γ_0+γ_1|ε_{t−1}|)。请回答：（1）写出该模型的条件似然函数，并说明如何数值最大化；（2）若QMLE估计后标准化残差仍出现左尾厚尾，给出一种改进分布并写出对数似然增量；（3）进行multi-step预测时，为何需对解释变量x_{1,t+h},x_{2,t+h}也建模？给出联合预测流程；（4）假设已得β̂_1=0.12，β̂_2=0.08，解释经济弹性；（5）设计一个“补贴外生实验”验证β_2的因果性，描述随机化方案与估计量。答案与解析：（1）条件似然：令z_t=(1−B^7)logy_t，则z_t=ϕ_1z_{t−1}+ϕ_2z_{t−2}+β_1x_{1t}+β_2x_{2t}+η_t,η_t=(1+θ_1B^7)ε_t,ε_t∼N(0,σ_t^2).联合密度L(Θ)=∏_{t=8}^N(2πσ_t^2)^{-1/2}exp(−η_t^2/(2σ_t^2)),σ_t^2=exp(γ_0+γ_1|ε_{t−1}|).采用数值BFGS最大化，梯度解析推导：∂L/∂γ_1=∑(η_t^2/σ_t^2−1)|ε_{t−1}|。（2）厚尾改进：采用标准化t分布，自由度ν待估。增量对数似然ℓ_t=−1/2log(π(ν−2)σ_t^2)−(ν+1)/2log(1+η_t^2/(σ_t^2(ν−2))).ν→∞退化为正态，ν越小尾越厚，用ML估计ν可捕捉左尾。（3）联合预测：x_{1},x_{2}具有序列相关，若外推常数将低估不确定性。流程：1)对x_{1t}建立VAR(3)，x_{2t}建立带漂移随机游走；2)用bootstrap生成x_{1,t+h},x_{2,t+h}路径；3)每条路径代入SARMAX，模拟η_{t+h}，得y_{t+h}分布；4)取5千次模拟中位数为点预测，2.5%—97.5%分为区间。（4）弹性解释：β̂_1=0.12表示“居家办公”指数每增加1%，周日活对数差分增加0.12%，即DAU约增0.12%；β̂_2=0.08表示补贴每增1百万元，DAU增0.08%。以2022年日均DAU1亿为例，补贴增1千万，DAU增8万，单用户补贴成本125元，需与转化率、客单价比较评估ROI。（5）外生实验：选2023年6月6周，随机抽50%活跃用户进入实验组，在每周三、五发放5元无门槛券，对照组不发放。随机化单元为用户ID，阻断网络溢出。估计量：Δ=log(DAU_{treat}/DAU_{control})，回归Δ_t=α+β_2·Subsidy_t+ε_t,Subsidy_t为实验组补贴强度。因随机分配，β_2捕捉因果弹性，与SARMAX结果互为验证。4.为估计中国280个地级市2011—2020年数字经济对绿色全要素生产率（GTFP）的非线性门槛效应，研究者构建面板门槛模型：GTFP_{it}=μ_i+λ_t+β_1Dig_{it}·I(Dig_{it}≤γ)+β_2Dig_{it}·I(Dig_{it}>γ)+ΓX_{it}+ε_{it},其中Dig_{it}为数字经济发展指数，X_{it}含人力资本、FDI、环境规制等。请回答：（1）说明如何选取门槛变量与门槛值γ的估计步骤，并给出Bootstrap检验统计量；（2）若发现存在三重门槛，写出完整模型并说明自由度调整；（3）解释为何固定效应估计within变换会扭曲门槛识别，给出一致估计策略；（4）假设β̂_1=0.18，β̂_2=0.05，门槛值γ=62，样本内Dig均值55，给出经济解释与政策含义；（5）设计一个“宽带中国”示范城市政策作为工具变量，验证Dig的外生性，写出两阶段回归与识别假设。答案与解析：（1）门槛估计：1)对γ网格搜索1—99分位，最小化残差平方和SSR(γ)；2)得γ̂=argminSSR(γ)；3)检验H_0：无门槛，LM统计量F=(SSR_0−SSR_1)/σ̂^2,σ̂^2=SSR_1/(nT−2K−1)。Bootstrap300次，每次对ε_{it}有放回抽样重构因变量，计算F^，p值为#(F^>F)/300。若p<0.05，拒绝无门槛。（2）三重门槛：GTFP=μ_i+λ_t+β_1Dig·I(Dig≤γ_1)+β_2Dig·I(γ_1<Dig≤γ_2)+β_3Dig·I(γ_2<Dig≤γ_3)+β_4Dig·I(Dig>γ_3)+ΓX+ε.自由度：每增一个门槛，多估计一个γ，需用Hansen(1999)修正，对γ_1,γ_2,γ_3联合网格搜索，SSR最小化后，用Bootstrap检验H_0：双重vs三重，统计量类似，但约束模型为双重。（3）Within扭曲：within变换y_{it}−ȳ_i使门槛变量也减去个体均值，导致γ估计偏向样本中位数。一致策略：采用“组内向前差分”+Hansen固定效应门槛估计，或直接最小化SSR时包含个体虚拟变量，使用LSDV迭代，避免within变换。（4）经济解释：当数字指数低于62时，Dig每增1单位，GTFP提升0.18；超过62后边际效应降至0.05，呈递减。均值55处于高效区间，政策应优先扶持Dig<62的城市，如西部地级市，通过数字基建跨越门槛，避免东部过度投资。（5）工具变量：2014、2015两批“宽带中国”示范城市由工信部分批公布，可视为外生。第一阶段：Dig_{it}=α_i+λ_t+π_1Broadband_{it}+ΓZ_{it}+u_{it},Broadband_{it}=1若城市i在t年入选示范。第二阶段用拟合值Diĝ_{it}代入门槛模型。识别假设：示范城市selection不受GTFP潜在水平影响，仅通过宽带普及影响Dig，满足排他性。5.某大型连锁零售集团拥有1200家门店，2019—2022年每日销售额{y_{isd}}（s=店，d=日）与促销信息、天气、节假日等匹配。为评估“夜间灯光亮化”工程对夜间销售额（18:00—24:00）的因果效应，公司选择2021年7月对300家门店安装LED灯带，其余为对照。请回答：（1）若采用DID估计，写出回归方程，并说明如何构造标准误以考虑店—月层面聚类；（2）发现处理组选取非随机，大店更易被选中，给出一种基于倾向得分的双重稳健估计量，写出公式；（3）灯光工程可能通过“安全感知”与“停留时间”两个渠道，设计一个中介效应模型，说明如何识别；（4）假设已得ATT=8.7%，夜间销售额占比从35%提升至38%，计算整体销售额提升幅度，并解释为何昼间可能无显著变化；（5）若2021年8月局部疫情导致部分门店暂停营业，如何调整样本以保持识别有效性？给出具体步骤。答案与解析：（1）DID方程：log(Y_{sd})=α_s+λ_d+τ·Treat_s·Post_d+X_{sd}′β+ε_{sd},Post_d=1若d≥2021-07-01。聚类：店—月层面1200×48=57600单元，Stata命令：areglnsalesc.T