2026年统计学试题库及参考答案

2026年统计学试题库及参考答案1.单项选择题（每题2分，共20分）1.1某市交通部门连续30天记录早高峰拥堵指数，数据分布右偏且存在3个明显异常值。若希望用单一指标描述“典型拥堵水平”，下列统计量中最稳健的是A.算术均值 B.中位数 C.几何均值 D.上四分位数答案：B解析：右偏分布中均值会被极大值拉高，而中位数仅依赖排序位置，对异常值不敏感，因此稳健性最高。1.2设随机变量X~N(μ,σ²)，若σ未知且样本量n=16，则μ的95%置信区间应选用的临界值为A.z₀.₀₂₅ B.t₀.₀₂₅(15) C.t₀.₀₂₅(16) D.χ²₀.₀₂₅(15)答案：B解析：σ未知、小样本下使用t分布，自由度=n−1=15。1.3在线性回归y=β₀+β₁x+ε中，若解释变量x的样本方差增大而其他条件不变，则β₁的估计量方差Var(β̂₁)将A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减答案：B解析：Var(β̂₁)=σ²/Σ(xi−x̄)²，分母随x波动增大而增大，故方差减小。1.4对二项分布B(n,p)进行假设检验H₀:p=0.3，若n=100，样本比例p̂=0.36，则检验统计量z的观测值约为A.1.28 B.1.43 C.1.65 D.1.96答案：B解析：z=(0.36−0.3)/√(0.3×0.7/100)=0.06/0.0419≈1.43。1.5在单因素方差分析中，若组间均方MSB=120，组内均方MSE=30，则F统计量值为A.3 B.4 C.5 D.6答案：B解析：F=MSB/MSE=120/30=4。1.6设X与Y的Pearson相关系数r=0.85，若将X的单位由“米”改为“厘米”，则新的相关系数A.0.0085 B.0.085 C.0.85 D.85答案：C解析：线性变换不改变相关系数。1.7对某时间序列建立ARIMA(1,1,1)模型，若经差分后序列的自相关图在滞后1阶后呈指数衰减，偏自相关图在滞后1阶后截尾，则模型参数特征为A.AR系数显著，MA系数不显著 B.两者均显著 C.仅MA显著 D.无法判断答案：B解析：ACF指数衰减提示MA成分，PACF截尾提示AR成分，故两者均显著。1.8在贝叶斯框架下，若先验分布为Beta(2,2)，似然为二项分布B(20,θ)且观测到x=8，则后验分布为A.Beta(10,14) B.Beta(8,12) C.Beta(10,12) D.Beta(28,32)答案：A解析：Beta先验共轭，后验参数α=2+8=10，β=2+12=14。1.9对高维数据(p>n)进行变量选择，下列方法中最不可能出现过拟合的是A.逐步回归 B.Lasso C.岭回归 D.主成分回归答案：C解析：岭回归通过惩罚项收缩系数但不剔除变量，降低方差，过拟合风险最小。1.10若随机向量X∼Nₚ(μ,Σ)，则二次型(X−μ)ᵀΣ⁻¹(X−μ)服从A.χ²(p) B.t(p) C.F(p,n−p) D.N(0,1)答案：A解析：多元正态理论标准结论。2.多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）2.1下列关于非参数检验的描述正确的有A.Kruskal-Wallis检验适用于多组独立样本B.Wilcoxon符号秩检验要求总体分布对称C.Spearman秩相关系数可衡量单调关系D.符号检验比Wilcoxon符号秩检验功效更高E.游程检验可用于检测随机性答案：A、B、C、E解析：D错误，符号检验仅利用正负号，功效低于利用秩次的Wilcoxon。2.2在经典线性模型y=Xβ+ε，ε∼N(0,σ²I)下，下列结论恒成立的有A.OLS估计量β̂是无偏的B.σ̂²=RSS/(n−p)是σ²的无偏估计C.β̂的协方差阵为σ²(XᵀX)⁻¹D.当X列满秩时β̂唯一E.R²随解释变量增加必然增大答案：A、B、C、D解析：E错误，调整R²可能下降。2.3关于主成分分析(PCA)，正确的有A.主成分方向是协方差阵特征向量B.第k主成分方差等于第k大特征值C.主成分得分互不相关D.标准化与否不影响主成分顺序E.主成分可解释原始变量全部方差答案：A、B、C解析：D错误，标准化后量纲消失，特征值分布改变；E错误，通常只保留部分方差。2.4下列属于时间序列平稳性检验方法的有A.ADF检验 B.KPSS检验 C.Ljung-Box检验 D.PP检验 E.Durbin-Watson检验答案：A、B、D解析：C用于残差白噪声检验，E用于一阶自相关。2.5在Bootstrap置信区间构造中，A.百分位区间不需要正态假设B.BCa区间可修正偏度与偏差C.重复抽样次数B越大区间越窄D.自助样本量必须与原始样本量相同E.对极值量（如最大值）自助效果差答案：A、B、D、E解析：C错误，B增大降低蒙特卡洛误差，但区间宽度由数据变异决定，不会无限变窄。3.填空题（每空2分，共20分）3.1设X₁,…,Xₙ为来自U(0,θ)的样本，则θ的矩估计为________，最大似然估计为________。答案：2X̄；max(Xᵢ)解析：矩估计由E(X)=θ/2反解；似然函数在θ≥max(Xᵢ)时单调减，故MLE为最大次序统计量。3.2在Poisson回归中，常用________函数作为典则连接函数，其形式为________。答案：对数；log(μ)3.3若随机变量T服从自由度为ν的t分布，则E(T)=________(ν>1)，Var(T)=________(ν>2)。答案：0；ν/(ν−2)3.4对p维数据做聚类，若采用欧氏距离且变量量纲差异大，应先进行________处理，常用方法是________。答案：标准化；Z-score标准化3.5在控制图应用中，若过程均值发生1.5σ偏移，则传统3σ控制图的平均运行长度ARL≈________。答案：14.0解析：通过正态分布计算P(out|shift)=0.0668，ARL=1/0.0668≈14.0。4.计算与证明题（共45分）4.1（8分）设X₁,…,Xₙi.i.d.∼Exp(λ)，其pdf为f(x)=λe^(−λx),x>0。(1)求λ的矩估计λ̃；(2)证明λ̃是λ的相合估计。答案与解析：(1)E(X)=1/λ，令样本均值X̄=1/λ̃，解得λ̃=1/X̄。(2)由大数定律X̄→1/λa.s.，连续映射定理得1/X̄→λa.s.，故λ̃相合。4.2（10分）某电商平台欲评估新版推荐算法是否提升转化率。随机抽取10000名用户，均分两组：对照组：5000人，转化218人；实验组：5000人，转化256人。(1)建立假设检验并计算检验统计量；(2)求p值并给出结论（α=0.05）；(3)计算两组转化率差值的95%置信区间。答案与解析：(1)H₀:p₁=p₂，H₁:p₁≠p₂。p̂₁=218/5000=0.0436，p̂₂=256/5000=0.0512，合并率p̂=(218+256)/10000=0.0474，z=(0.0512−0.0436)/√[0.0474×0.9526×(1/5000+1/5000)]=0.0076/0.00426≈1.78。(2)双侧p=2×P(Z>1.78)=2×0.0375=0.075>0.05，不拒绝H₀，尚不能认为新版显著提升转化率。(3)差值p̂₂−p̂₁=0.0076，标准误SE=√[p̂₁(1−p̂₁)/5000+p̂₂(1−p̂₂)/5000]=0.00428，95%CI：0.0076±1.96×0.00428=[−0.0008,0.0160]，包含0，与检验结论一致。4.3（10分）已知随机向量Z=[X,Y]ᵀ服从二元正态，且μ=[2,3]ᵀ，Σ=[[4,2.4],[2.4,9]]。(1)求X与Y的相关系数ρ；(2)求条件分布Y|X=x的期望与方差；(3)若观测到X=3，预测Y并给出95%预测区间。答案与解析：(1)ρ=2.4/√(4×9)=2.4/6=0.4。(2)条件期望E(Y|X=x)=μ_Y+ρσ_Y/σ_X(x−μ_X)=3+0.4×3/2(x−2)=3+0.6(x−2)=0.6x+1.8；条件方差Var(Y|X=x)=σ_Y²(1−ρ²)=9×(1−0.16)=7.56。(3)当x=3，Ŷ=0.6×3+1.8=3.6，95%区间：3.6±1.96×√7.56=3.6±5.39→[−1.79,8.99]。4.4（8分）设线性模型y=Xβ+ε，ε∼N(0,σ²I)，X为n×p列满秩矩阵。记H=X(XᵀX)⁻¹Xᵀ为帽子矩阵。(1)证明tr(H)=p；(2)证明残差向量e=(I−H)y的协方差阵Cov(e)=σ²(I−H)。答案与解析：(1)tr(H)=tr[X(XᵀX)⁻¹Xᵀ]=tr[(XᵀX)⁻¹XᵀX]=tr(I_p)=p。(2)Cov(e)=Cov[(I−H)y]=(I−H)Cov(y)(I−H)ᵀ=σ²(I−H)²=σ²(I−H)，因I−H幂等对称。4.5（9分）某连锁超市收集36个月销售数据（单位：百万元），建立如下趋势+季节模型Y_t=T_t+S_t+ε_t，其中T_t=α+βt，季节因子S_t满足ΣS_t=0，ε_t∼N(0,σ²)。经最小二乘估计得α̂=12.3，β̂=0.45，季节因子估计值Ŝ₁=−2.1，Ŝ₂=−1.0，Ŝ₃=1.4，Ŝ₄=1.7（按季度循环）。(1)预测2026年第三季度销售额；(2)若σ̂=1.2，给出该预测值的95%置信区间；(3)简述如何检验“季节效应是否显著”。答案与解析：(1)2026年第三季度对应t=37+2=39（假设2022Q1为t=1），T̂₃₉=12.3+0.45×39=29.85，Ŝ₃=1.4，预测值Ŷ=29.85+1.4=31.25（百万元）。(2)预测标准误=σ̂=1.2，区间：31.25±1.96×1.2=[28.90,33.60]。(3)建立方差分析模型，将季节作为因子，检验H₀:S₁=S₂=S₃=S₄=0，用F检验比较全模型与无季节模型的RSS差异，若p<α则季节效应显著。5.综合应用题（共40分）5.1（15分）某医疗研究机构开发新型血糖仪，需评估其测量误差。招募50名志愿者，每人用新仪器与标准实验室方法各测一次空腹血糖，数据如下（单位：mg/dL）：（原始数据略，给出差值dᵢ=新−标准，计算得d̄=4.8，s_d=7.5）(1)给出差值描述性统计并绘制箱线图要点；(2)检验新仪器是否存在系统偏差（α=0.05）；(3)计算差值的95%容忍区间，要求覆盖90%总体差值；(4)若临床认为|差值|≤10mg/dL为可接受，请用等价性检验思路给出结论。答案与解析：(1)中位数约4.5，Q1=0.2，Q3=8.9，存在1个上界外异常值，箱线图显示右尾略长。(2)H₀:μ_d=0，t=d̄/(s_d/√n)=4.8/(7.5/√50)=4.8/1.06≈4.53，df=49，双侧p<0.001，拒绝H₀，存在显著正偏差。(3)容忍区间公式：d̄±k×s_d，其中k为容忍因子，对(0.90,0.95)且n=50，查表得k≈2.382，区间：4.8±2.382×7.5=[−13.1,22.7]，说明95%置信下90%总体差值落入此区间，范围较宽。(4)等价界值Δ=10，建立两个单侧检验：H₀₁:μ_d≤−10，H₀₂:μ_d≥10，t₁=(4.8+10)/1.06=14.0，t₂=(4.8−10)/1.06=−4.9，对应p₁<0.001，p₂<0.001，均拒绝，故不能宣称等价，新仪器偏差超出临床可接受范围。5.2（15分）某市政府统计部门欲利用手机信令数据估计夜间常住人口。以250m×250m网格为单元，抽取100个网格，记录凌晨2点手机设备数（X）与同期普查人口（Y），建立对数线性模型log(Y)=β₀+β₁log(X)+ε。回归结果：β̂₀=0.81，β̂₁=0.92，R²=0.78，残差标准误σ̂=0.15。(1)解释β̂₁=0.92的含义；(2)若某网格测得X=3200，预测Y及95%置信区间；(3)讨论模型可能存在的内生性问题及改进思路；(4)给出基于模型推断全市人口的步骤与注意事项。答案与解析：(1)手机设备数每增加1%，普查人口平均增加约0.92%，弹性接近1，提示两者规模接近正比。(2)log(X̂)=log(3200)=8.07，log(Ŷ)=0.81+0.92×8.07=8.23，Ŷ=exp(8.23)=3750，95%CI：log(Ŷ)±t₀.₀₂₅(98)×0.15×√[1/n+(logX−logX̄)²/Sxx]，假设logX̄≈8.0，Sxx≈2.5，标准误≈0.15×1.02=0.153，区间8.23±1.98×0.153→[7.93,8.53]，反变换得Y∈[2770,5060]，区间较宽，需扩大样本或引入辅助变量。(3)内生性问题：①手机拥有率与年龄、收入相关，导致X与Y关系因网格人口结构不同而变化；②节假日或特殊事件使夜间手机分布偏离居住人口。改进：引入网格层面协变量（平均年龄、住房类型、商业设施密度），使用工具变量（如基站信号强度外生变化）；采用分层抽样或混合效应模型。(4)步骤：①将全市所有网格X输入模型得Ŷ；②汇总得总人口估计；③用事后分层或比率估计校正系统性偏差；④通过Bootstrap或Jackknife评估估计方差；⑤与行政记录比对验证。注意事项：隐私脱敏、设备重复计数、游客剔除、模型外推不确定性。5.3（10分）某高校统计系开展“数据科学竞赛”满意度调查，采用分层抽样：本科生层N₁=3000，研究生层N₂=1000，分别抽取n₁=120，n₂=80。满意度得分（0−100）汇总如下：本科：x̄₁=72，s₁²=64；研究生：x̄₂=78，s₂²=49