巧用转化思想解决二次函数最值问题

巧用转化思想解决二次函数最值问题转化思想是数学思想的重要组成部分，它几乎贯穿数学教学的始终。运用转化思想可以将新知识转化为已有的旧知识，将复杂的问题转化为简单的问题。二次函数最值问题是重庆中考“压轴题”的重要组成部分，也是让很多初中学生感到头疼的问题。下面我就结合实例谈一谈转化思想在二次函数最值问题中的妙用。例题：如图1，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B左边），交y轴于点C。点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合）,过点P作y轴的平行线交直线AC于点Q，求线段PQ的最大值,并求出点P的坐标。此题对于初三学生来说，很容易求出点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），从而求出直线AC的解析式为y=x+3,为求出线段PQ的最大值做好准备。对于求线段PQ这种“竖直”的线段长度，我们用坐标法通过纵坐标“上减下”很容易求出，故我们设点P的坐标为（m,-m2-2m+3),则点Q的坐标为（m,m+3)，则PQ=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m，利用二次函数的性质求出当时，，此时点P的坐标为。变式一：如图2，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B左边），交y轴于点C。点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合）,过点P作x轴的平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值,并求出点P的坐标。此时PM为“水平”的线段，我们仍然可利用坐标法通过横坐标“右减左”的方法求出，但相对例题就增加了一些难度。那么，我们能否将它转化为求“竖直”的线段长度呢？答案是肯定的。如图3，我们过点P作y轴的平行线交直线AC于点Q，由点A(-3,0),点C(0,3)得出OA=OC=3，所以容易得出∠PMQ=∠CAO=45︒，故PM=PQ，即当PQ最大时，PM也最大。从而求得当时，，此时点P的坐标为。变式二:如图4，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B左边），交y轴于点C。点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合）,过点P作PH⊥AC于点H,求线段PH的最大值,并求出点P的坐标。此时，PH为“斜着”的线段，再用坐标法直接相减显然行不通。这时我们是否又能将它转化为求“竖直”的线段长度呢？答案是仍然肯定的。如图5，我们过点P作y轴的平行线交直线AC于点Q，与变式一类似，我们容易得出∠PQH=∠ACO=45。，故，即当PQ最大时，PM也最大。从而求得当时，，此时点P的坐标为。变式三：如图6，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B左边），交y轴于点C。连接PA、PC，求△PAC面积的最大值,并求出点P的坐标。此题求△PAC面积的最大值，而△PAC的三条边均为“斜着”的线段，想直接利用坐标求解有一定的难度，这时学生通常会想到用“分”或“补”的方法来进行转化，显然这两种思路都是可行的。那么，我们是否还能像前面一样，转化为求“竖直”的线段长度呢？答案是还是肯定的。如图7，我们过点P作y轴的平行线交直线AC于点Q，则可将△PAC的面积转化为求“竖直”的线段长度：显然，当PQ最大时，△PAC的面积最大，即，此时点P的坐标为。通过以上例题和几个变式的分析比较，我们不难看出：在二次函数最大值问题中，求“水平线段”、“倾斜线段”、三角形面积等最大值问题，我们均可转化为求“竖直线段”的长度，从而使复杂的问题简单化。其实在二次函数最大值问题中，还包括周长最大值等很多类似问题都可以利用锐角三角函数或相似的知识将其转化为求“竖直线段”或“水平线段”的长度，并且对于不是特殊角的问题同样适用。在初中数学教学中，运用转化思想化繁为简、化新为旧的例子还非常多，因此，教师在初中数学教学中，