相似三角形中的辅助线专题训练

相似三角形中的辅助线专题训练相似三角形是平面几何中的核心内容之一，其应用广泛，贯穿于各类几何问题的求解过程。而辅助线的添加，则是破解相似三角形难题的关键钥匙。许多同学在面对复杂图形时，往往因无法恰当添加辅助线而感到束手无策。本文旨在系统梳理相似三角形中常见的辅助线添加策略，并通过典型例题的解析，帮助同学们领悟辅助线的“奥秘”，提升解题能力。一、遇比例，作平行——构造“A”型或“X”型相似当题目中出现比例线段，或需要证明线段成比例时，过某一点作某条直线的平行线，构造出“A”型（或称“金字塔”型）或“X”型（或称“沙漏”型）的相似基本图形，是最常用的辅助线添加方法之一。这种方法的核心在于，通过平行线截得的对应线段成比例，将未知比例与已知条件联系起来。例题解析：已知：在△ABC中，点D在AB上，且AD:DB=1:2，点E在AC上，连接DE，若AE:EC=1:2，求证：DE∥BC。分析与辅助线：要证DE∥BC，根据相似三角形的预备定理（平行线分线段成比例定理的推论），只需证AD/AB=AE/AC即可。但题目给出的是AD:DB=1:2和AE:EC=1:2，我们可以直接计算。不过，若从辅助线的角度思考，假设DE与BC不平行，过D作DF∥BC交AC于F，则可构造“A”型相似△ADF∽△ABC，从而有AD/AB=AF/AC。由AD:DB=1:2知AD/AB=1/3，故AF/AC=1/3，即AF:FC=1:2。又已知AE:EC=1:2，所以点E与点F重合，因此DE∥BC。证明：（略，可按上述思路写出）小结：此例虽可直接计算比例，但“作平行”的思想是相通的。当需要转移比例、构造相似时，平行线是首选工具。关键在于根据已知条件和图形特点，选择合适的点和方向作平行线。二、遇中点（或等分点），常延长——倍长中线与构造相似在三角形中，若已知中点或线段的等分点，延长过该点的线段（如中线、角平分线、普通线段等），往往能构造出全等三角形或相似三角形，从而实现线段或角的转移与等量代换。特别是“倍长中线法”，不仅在全等三角形中常用，在相似三角形中也能发挥重要作用。例题解析：已知：在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，且AE:ED=1:2，连接BE并延长交AC于F。求AF:FC的值。分析与辅助线：题目中D是BC中点，E是AD上的一个三等分点。要找AF与FC的比，直接在△AFC中看并不明显。考虑到D是中点，我们可以延长AD至G，使DG=AD，连接BG（或CG），构造全等三角形。但此处更直接的或许是过D点作AC的平行线，交BF于点G。这样，在△AFE和△DGE中，由于DG∥AF，△AFE∽△DGE，且相似比为AE:ED=1:2，所以AF:DG=1:2。又因为D是BC中点，DG∥FC，所以DG是△BCF的中位线，DG=1/2FC。从而AF:(1/2FC)=1:2，故AF:FC=1:4。证明：（简述）过D作DG∥AC交BF于G。∵DG∥AC，∴△AFE∽△DGE。∵AE:ED=1:2，∴AF/DG=AE/ED=1/2，即DG=2AF。∵D是BC中点，DG∥FC，∴G是BF中点，DG是△BCF的中位线。∴DG=1/2FC。∴2AF=1/2FC，∴AF/FC=1/4。小结：本题通过过中点（或等分点）作平行线，构造了相似三角形和中位线基本图形，将所求比例AF:FC转化为可求的AE:ED和中位线与第三边的关系。延长线段（倍长）也是一种思路，若延长BE至G使EG=BE，连接AG，也可构造相似或利用三角形重心性质求解，同学们不妨尝试一下。三、遇直角，巧作高——构造直角三角形相似与射影定理当题目中涉及直角三角形时，作出斜边上的高，能得到两个与原三角形相似的小直角三角形，这是直角三角形中一个非常重要的性质。射影定理便是基于此产生的。巧妙运用这一辅助线，可以解决与直角三角形边长、面积、比例等相关的诸多问题。例题解析：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，若AD=4，BD=9，求CD的长及AC:BC的值。分析与辅助线：题目本身已经给出了斜边上的高CD，这就是最关键的辅助线。根据直角三角形射影定理（或相似三角形的性质），我们有CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB。这些关系式直接由△ACD∽△ABC∽△CBD得到。解答：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∴△ACD∽△CBD（AA相似）。∴CD/AD=BD/CD，即CD²=AD·BD=4×9=36，∴CD=6（CD>0）。又∵△ACD∽△ABC，∴AC/AB=AD/AC，即AC²=AD·AB=AD·(AD+BD)=4×(4+9)=4×13。同理，BC²=BD·AB=9×13。∴AC²/BC²=(4×13)/(9×13)=4/9，∴AC/BC=2/3（AC,BC>0）。小结：对于直角三角形，斜边上的高是天然的辅助线，它能将一个直角三角形分割成两个相似的小直角三角形，从而得出一系列比例线段关系。射影定理是这些关系的直接体现，要熟练掌握并灵活运用。四、遇角平分线，巧利用——构造对称与相似角平分线不仅平分角，其性质（角平分线上的点到角两边距离相等）也为我们添加辅助线提供了思路。有时，通过在角的两边截取相等线段或向角两边作垂线，可以构造出全等三角形；而有时，则可以通过延长角平分线或利用角平分线构造出相似三角形。例题解析：已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，求证：AB/AC=BD/DC。（角平分线分线段成比例定理）分析与辅助线：这是一个经典的定理。要证明AB/AC=BD/DC，即证明两条线段的比等于另两条线段的比。我们可以考虑过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E。这样，利用平行线的性质和角平分线的定义，可以得到AC=AE，从而将AB/AC转化为AB/AE，再利用△BDA∽△BCE，得出AB/AE=BD/DC。证明：过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E。∵CE∥AD，∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE。∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD。∴∠E=∠ACE，∴AE=AC。∵CE∥AD，∴△BDA∽△BCE。∴BA/BE=BD/BC，即BA/(BA+AE)=BD/(BD+DC)。由合比性质可得：BA/AE=BD/DC。∵AE=AC，∴AB/AC=BD/DC。小结：本题通过过角的一边上的点作角平分线的平行线，构造了等腰三角形和相似三角形，巧妙地证明了角平分线分线段成比例定理。这体现了辅助线在沟通已知与未知、实现转化方面的重要作用。五、辅助线添加的一般思路与总结通过以上几种典型类型的探讨，我们可以看出，添加辅助线的目的在于：构造基本图形（如“A”型、“X”型相似）、转移线段或角、集中分散的条件、建立已知与未知的联系。在具体解题时，我们可以遵循以下思路：1.明确目标：要证什么？要求什么？（线段相等、角相等、比例式、乘积式等）2.分析条件：已知哪些条件？图形有什么特点？（中点、中线、角平分线、直角、比例线段等）3.联想模型：这些条件和目标与哪些基本图形、定理（如相似的判定定理、性质定理）相关？4.尝试构造：如何添加一条或几条辅助线，将图形补全或分割，使其符合某个基本模型，从而运用相应定理解决问题。温馨提示：*灵活性：辅助线的添加没有固定的模式，要根据具体题目灵活应变。同一种题目，也可能有多种不同的辅助线作法。*经验积累：多做练习，多总结反思，积累常见辅助线的添加方法和技巧。*从简单入手：