专题04 构造函数法解决不等式问题 (典型例题+题型归类练)（解析版）

专题04构造函数法解决不等式问题(典型例题+题型归类练)目录高频考点一：构造或(，且)型高频考点二：构造或(，且)型高频考点三：构造或型高频考点四：构造或型一、必备秘籍1、两个基本还原①②2、类型一：构造可导积函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2③高频考点1：④高频考点1：高频考点2⑤⑥序号条件构造函数123456783、类型二：构造可商函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2：③⑥二、典型例题高频考点一：构造或(，且)型例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知非负函数的导函数为，且的定义域为，若对于定义域内的任意，均满足，则下列式子中不一定正确的是（

）A． B．C． D．解题思路由题意：，定义域为变形为：注意到中间连接号为“”构造函数为除的形式；再由中，前面乘以，前的系数为，可构造研究的单调性：，所以，所以在上单调递增，通过的单调性判断选项.点评：①中间连接号为“”一般构造除的形式（含恰好相反）；②前有乘以，看前的系数是，就构造成含的形式；③和前的系数都是1，就构造成含的形式；答案】B【详解】因为，且，可得，即，令，则，所以，所以在上单调递增，对于选项A：由可得，即，故选项A正确；对于选项B：由可得，即，得不出，故选项B不正确；对于选项C：由可得，即，因为，所以，可得，故选项C正确；对于选项D：由可得，即，故选项D正确；所以不一定正确的是选项B，故选：B.例题2．（2022·广东韶关实验中学高二期中）是定义在上的可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（

）A． B．C． D．解题思路由题意：，定义域为，注意到中间连接号为“”构造函数为乘的形式；再由中，前面乘以，前的系数为，可构造研究的单调性：，所以在上单调递减，通过的单调性判断选项.点评：①中间连接号为“”一般构造除的形式（含恰好相反）；②前有乘以，看前的系数是，就构造成含的形式；③和前的系数都是1，就构造成含的形式；【答案】B【详解】解：设，，则，在区间上单调递减，，∴g(b)<g(a),即，故选：B．例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域为R，导函数为，若对任意，都有恒成立，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．解题思路由题意：，对任意都成立注意到中间连接号为“”构造函数为乘的形式；再由中，前面乘以，前的系数为，可构造研究的单调性：，当时，由，，则在上单调递增，又因为偶函数的定义域为，∴为偶函数，利用在上单调递增和为偶函数判定选项.点评：①中间连接号为“”一般构造除的形式（含恰好相反）；②前有乘以，看前的系数是，就构造成含的形式；③和前的系数都是1，就构造成含的形式；【答案】C【详解】令，则，则A错误；令，则，当时，由，，则在上单调递增，又因为偶函数的定义域为R，∴为偶函数，在上单调递增，，，故B错误；，，故C正确；由题意，不妨假设(c为常数)符合题意，此时，故D错误.故选：C.高频考点二：构造或(，且)型例题4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．解题思路由题意：，对任意都成立注意到中间连接号为“”构造函数为除的形式；再由中，前面乘以，前的系数为，可构造研究的单调性：，因为不等式恒成立，所以，即在上单调递增，根据的单调性判断选项.点评：①中间连接号为“”一般构造除的形式（含恰好相反）；②前有乘以，看前的系数是，就构造成含的形式；③和前的系数都是1，就构造成含的形式；【答案】B【详解】由题意，构造函数，则因为不等式恒成立，所以，即在上单调递增，对于A选项，因为，即，即，故A选项错误对于B选项，因为，即，即，故B选项正确对于C选项，因为，即，即，故C选项错误对于D选项，因为，即，即，故D选项错误故选：B例题5．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．解题思路由题意：，对任意都成立注意到中间连接号为“”构造函数为乘的形式；再由中，前面乘以，前的系数为，可构造研究的单调性：，因为不等式恒成立，所以，在上单调递减，根据的单调性判断选项.点评：①中间连接号为“”一般构造除的形式（含恰好相反）；②前有乘以，看前的系数是，就构造成含的形式；③和前的系数都是1，就构造成含的形式；【答案】A【详解】构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减，由于，故，故选：A高频考点三：构造或型例题6．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（

）A． B．C． D．解题思路由题意：，对任意都成立注意到，变形得：中间连接号为“”构造函数为除的形式；再由中，前面乘以，可构造研究的单调性：，在上为增函数，根据的单调性判断选项.点评：①中间连接号为“”一般构造除的形式（含恰好相反）；②前有乘以，看前有乘以，就构造成含的形式；③前有乘以，看前有乘以，就构造成含的形式；【答案】B【详解】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，故B正确；，，故C错误；，，故D错误.故选：B高频考点四：构造或型例题7．（2021·江西·高二期中（理））已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．解题思路由题意：，对任意都成立注意到，中间连接号为“”，注意到含，构造函数为除的形式；再由中，前面乘以，可构造研究的单调性：，在区间上是增函数，根据的单调性判断选项.点评：①中间连接号为“”一般构造除的形式（含恰好相反）；②前有乘以，看前有乘以，就构造成含的形式；③前有乘以，看前有乘以，就构造成含的形式；【答案】D【详解】因为是奇函数，所以是偶函数．设，∴当时，，∴在区间上是增函数，∴在区间是减函数，∵．当时，不等式等价于，当时，不等式等价于，∴原不等式的解集为．故选：D．例题8．（2022·福建龙岩·高二期中）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．解题思路由题意：，对任意都成立注意到，中间连接号为“”，注意到含，构造函数为乘的形式；再由中，前面乘以，可构造研究的单调性：，在区间上是增函数，根据的单调性判断选项.点评：①中间连接号为“”一般构造除的形式（含恰好相反）；②前有乘以，看前有乘以，就构造成含的形式；③前有乘以，看前有乘以，就构造成含的形式；【答案】C【详解】因为，所以设，则，所以在上为增函数，又因为，，，，所以，即故选：C题型归类练1．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在上的函数的导函数为，满足，若函数的图像关于直线对称，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：函数的图象关于直线对称，，，设，则，又，；单调递减，而当时，；不等式，即，解得：，故不等式的解集为，故选：C．2．（2022·山东师范大学附中高二期中）已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，则，因为导函数满足恒成立且，所以，所以在单调递增，因为，所以不等式等价于，因为所以在单调递增，所以，所以不等式的解集为，故选：D3．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二阶段练习（理））设函数是定义在R上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】解：设，则，故在上单调递减，，，即，，，．故选：C．4．（2022·辽宁丹东·高二期末）若函数在R上可导，且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】构造函数，函数在上可导，且满足，，时，函数单调递增，（3）（2），即，即，故选：A5．（2022·四川遂宁·高二期末（文））定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，∴在R上单调递减，又∵，∴，即，∴.故选：C.6．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知定义在R上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（为的导函数），若，，，则a、b、c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则，因为当时，成立，所以，为递增函数，又因为函数为奇函数，可得，则，所以函数为偶函数，所以函数在为单调递减函数，由，，，因为，所以，即.故选：B.7．（2022·四川乐山·高二期末（文））已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由已知可设，是定义域为的偶函数，可知为奇函数，，即.又，故当时，，故在单调递增，结合为奇函数，故在也单调递增.综上，要使，当时，，根据的单调性与零点易得；同理，当时，，根据的单调性与零点易得.故使得成立的x的取值范围是，故选：D8．（2022·河南·封丘一中高二期末（文））已知定义在R上的函数的导函数为，且，为偶函数，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，当时，．因为，所以，所以在上单调递减．因为为偶函数，所以，所以为偶函数，所以，，，所以．故选：C9．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】令，因为是偶函数，所以为偶函数，当时，，所以在单调递减，在单调递增，则，即，则，故A错误；，即，故B错误；，即，故C错误；，即，则，故D正确.故选：D.10．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】构造函数，其中，则，所以，函数为上的奇函数，当时，，所以，函数在上为增函数，因为，则，由得，可得，解得.故选：C11．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）已知奇函数是定义在上的可导函数，且的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，则为奇函数，当时，，故在上单调递减，故，故选：A12．（2022·重庆·高二阶段练习）已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】构造函数，其中，则，所以，函数为奇函数，当时，，所以，函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数，由题意可知，函数在上连续，故函数在上为增函数.对于A选项，，即，则，A错；对于B选项，，即，则，B对；对于C选项，，即，则，C错；对于D选项，，即，则，D错.故选：B.13．（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习（理））定义在R上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：令，则，因为，，所以，所以函数为减函数，所以，即，所以.故选：D.14．（2021·甘肃·兰州一中高三阶段练习（理））已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为偶函数的定义域为，设，则，即也是偶函数.当时，根据题意，则在上是减函数，而函数为偶函数，则在上是增函数.于是，，所以.故选：A.15．（2021·广东·东莞市东华高级中学高二期末）已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：偶函数对于任意的满足，令，则，即为偶函数．又，故在区间上是减函数，所以，即，故B正确；，故A错误；，故C错误；，故D错误；故选：B．16．（2021·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（