2025-2026学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线的点斜式方程是y+2=3(x+1)，则直线在y轴上的截距为A.−2 B.2 C.3−2 2.若圆的一般方程为x2+y2A.(1,−2)；r=11 B.(2,−1)；r=11

C.(1,−2)；r=11 3.已知a=(1,−2,3)，b=(−1,2,−1),c=(3,5,2)，则(A.1 B.2 C.3 D.44.曲线y=x3+lnx+1在点(1,2)处的切线方程为A.3x−y−1=0 B.4x−y−2=0 C.4x+y−6=0 D.3x+y−5=05.已知F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，点A.233 B.32 6.已知等差数列{an}满足a1=2，a4+a6=12，数列{bnA.12 B.24 C.48 D.967.设F是椭圆x29+y25=1的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线A.2 B.3 C.4 D.58.已知0<x<y<π2，则下列不等式恒成立的是(

)A.sinx−siny<x−y B.x−y<tanx−tany

C.xsiny<ycosx D.tany>xy二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=13x3+xA.f′(2)=5

B.函数f(x)的值域为[0,9]

C.函数f(x)在区间[1,3]上为增函数

D.关于x的方程f(x)=a有2个不同的根当且仅当a∈(−10.已知直线l：kx+y−2k−1=0与圆C：(x−3)2+yA.直线l过定点(2,1)

B.直线l与圆C截得弦长的最小值为6

C.当k=−1时，圆C上有且仅有3点到直线l的距离为2

D.(m,n)是圆C上的点，则n11.设O为坐标原点，直线x=my+1过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，l为抛物线C的准线，则(

)A.p=2

B.以AB为直径的圆与l相切

C.当m=3时，|AB|=163

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在正项等比数列{an}中，已知a1a3=4，a13.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，其中一条渐近线与圆(x−14.已知函数f(x)=ex−3，g(x)=lnx+12−ln2，若f(a)=g(b)成立，则b−a的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的三个顶点为A(−1,2)，B(1,0)，C(2,−2)．

(1)求边AC的垂直平分线的方程；

(2)若直线BC与圆(x−1)2+(y−b)216.(本小题15分)

已知各项均不相等的正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=6，且log2a1+log2a9−2log2a17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD，AD⊥DC，AD⊥PD，AD=DC=PD=2AB，M为PC中点．

(1)求证：PC⊥平面ADM；

(2)若PC=3CD，求二面角B−PC−D18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线Γ：y2=4x的焦点和椭圆的右焦点重合，且椭圆C和抛物线Γ的准线在第二象限交点的纵坐标为32．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过右焦点F2的直线l与椭圆C19.(本小题17分)

已知函数f(x)=aex(ex+1)，g(x)=2ex+x．

(1)求证：g(x)≥3x+2；

(2)记函数h(x)=f(x)−g(x)．

(i)若h(x)有两个零点，求实数a的取值范围；

答案解析1.【答案】C

【解析】解：由直线的点斜式方程是y+2=3(x+1)，

化为斜截式得：y=3x+3−2，

则直线在y轴上的截距为2.【答案】A

【解析】解：圆的一般方程为x2+y2−2x+4y−6=0，即(x−1)2+(y+2)2=11，

故圆心坐标为(1,−2)3.【答案】D

【解析】解：由题意可知，a+b=(0,0,2)，

又c=(3,5,2)，

则(a+b)⋅c4.【答案】B

【解析】解：由y=x3+lnx+1，得y′=3x2+1x，

∴曲线在(1,2)处的斜率k=y′|x=1=4，

∴曲线在点(1,2)处的切线方程为y−2=4(x−1)，

即4x−y−2=0．

5.【答案】B

【解析】解：由题意，点M的坐标为(0,2b)，△MF1F2为直角三角形，

所以F1(−c,0)，F2(c,0)，所以c=2b，

则a=c2−b2=3b，6.【答案】B

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，

因为a1=2，a4+a6=12，所以a1+3d+a1+5d=12，

即4+8d=12，所以d=1，所以an=2+n−1=n+1，

因为数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2bn−3(n∈N∗)，

所以当n=1时，b1=S1=2b1−3，解得b1=3；

当n≥2时，Sn−1=2bn−1−3，

用Sn=2b7.【答案】C

【解析】解：由题，如图，

右焦点坐标为F(2,0)，左焦点坐标为F′(−2,0)，

根据椭圆的定义可知|AF|+|AF′|=6，所以|AF|=6−|AF′|，

则|AB|−|AF|=|AB|−(6−|AF′|)=|AB|+|AF′|−6，

所以|AB|−|AF|最小，即|AB|+|AF′|最小，

即定点F′(−2,0)到直线x−3y−18=0上的点的距离最小即可，

根据点到直线的距离公式可得d=|−2−0×3−18|12+(−3)2=10，

所以(|AB|−|AF|)min8.【答案】D

【解析】解：由题意0<x<y<π2，

对于选项A：sinx−siny<x−y变形为sinx−x<siny−y，

构造函数f(t)=sint−t，则f′(t)=cost−1<0(因0<t<π2时cost<1)，故f(t)单调递减，

当x<y时，f(x)>f(y)，即sinx−x>siny−y，移项得sinx−siny>x−y，与选项A矛盾，A不成立；

对于选项B：x−y<tanx−tany变形为x−tanx<y−tany，

构造函数h(t)=t−tant，则h′(t)=1−sec2t=−tan2t<0，故h(t)单调递减，

当x<y时，h(x)>h(y)，即x−tanx>y−tany，移项得x−y>tanx−tany，与选项B矛盾，B不成立；

对于选项C：xsiny<ycosx变形为sinyy<cosxx，

构造函数f(t)=sintt，则f′(t)=tcost−sintt2，

分子m(t)=tcost−sint，m′(t)=−tsint<0，故m(t)单调递减，m(t)<m(0)=0，即f′(t)<0，f(t)单调递减，

当x<y时，f(x)>f(y)，即sinxx>sinyy，得ysinx>xsiny，

但需进一步验证ysinx<ycosx(即sinx<cosx)，仅当x<π4成立，取x=π3，y=π3+0.1，

计算得左边xsiny≈0.955，右边ycosx≈0.5735，左边大于右边，C不成立；

对于选项D：tany>xy，构造函数h(y)=tany−xy(固定x，y>x)，

则h′(y)=sec2y−x.因y>x>0，secy>secx，

故sec9.【答案】ACD

【解析】解：由函数f(x)=13x3+x2−3x，可得f′(x)=x2+2x−3=(x−1)(x+3)，x∈[0,3]，

则f′(2)=(2−1)(2+3)=5，故A正确；

令f′(x)>0，解得1<x≤3；令f′(x)<0，解得0≤x<1，

所以f(x)在[1,3]上单调递增，在[0,1]上单调递减，故C正确；

f(x)min=f(1)=−53，又f(0)=0，f(3)=9，

所以f(x)max=9，所以函数f(x)的值域为[−53,9]，故B错误；

由以上分析可知要使得方程f(x)=a有2个不同的根，则a∈(−510.【答案】AC

【解析】解：A中，将直线l：kx+y−2k−1=0整理可得k(x−2)+y−1=0，可得直线恒过定点P(2,1)，所以A正确；

B中，圆C：(x−3)2+y2=8，将点P(2,1)代入圆的方程可得(2−3)2+12<8，

可得点P在圆C内，当PC⊥l时，则圆心到直线的距离最大，此时弦长最短，

又因为|PC|=(2−3)2+(0−1)2=2，圆C的半径r=22，所以此时弦长为2r2−|PC|2=28−2=26，所以B不正确；

C中，当k=−1时，则直线l的方程为x−y−1=0，此时圆C(3,0)到直线l的距离d=|3−0−1|12+(−1)2=2，可得r−d=2，所以圆上恰好有3个点到直线的距离等于2，所以C正确；

D中，因为(m,n)在圆上，则nm+1相当于动点(m,n)与定点(−1,0)的斜率，

设nm+1=k，整理可得：km−n+k=0，可得圆心C(3,0)到直线的距离d=|3k−0+k|k2+1≤2211.【答案】ABD

【解析】解：选项A：抛物线C：y2=2px的焦点为P(p2,0)，直线x=my+1恒过点(1,0)，

由题意知该点即为焦点，故p2=1，得p=2，故A正确；

选项B：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

由抛物线定义，可得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，故|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，

以AB为直径的圆的半径为x1+x2+22，

AB中点坐标为(x1+x22,y1+y22)，

中点到准线l：x=−1的距离为x1+x22−(−1)=x1+x2+22，等于半径，

故以AB为直径的圆与l相切，故B正确；

选项C：当m=3时，直线方程为x=3y+1，

代入y2=4x，得y2−43y−4=0，

由韦达定理，y1+y2=43，y1y2=−4，

则|y1−y2|=(y1+y2)2−4y112.【答案】6【解析】解：正项等比数列{an}中，a1a3=4，a2+a4=8，

可得(a2)2=a1a3=4，解得13.【答案】3【解析】解：由题意双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，

可得离心率e=1+b2a2=2，解得ba=3，即双曲线的渐近线为y=±3x，

根据对称性，不妨取双曲线C的一条渐近线y=14.【答案】ln2−1

【解析】解：设t=ea−3，则a=3+lnt，t=lnb+12−ln2，则b=2et−12，

则b−a=2et−12−3−lnt，

令h(x)=2ex−12−lnx−3,x>0，

则h′(x)=2ex−12−1x，∴h(x)递增，

当x=12时，h′(x)=0，

∴h(x)有唯一零点，

15.【答案】y=34(x−【解析】解：(1)已知A(−1,2)，C(2,−2)，

则A、C的中点坐标为(12,0)，kAC=2−(−2)−1−2=−43，

则边AC的垂直平分线的方程为y=34(x−12)；

(2)由题意可得直线BC的方程为y=−2(x−1)，

又圆(x−1)2+(y−b)2=5的圆心坐标为(1,b)，半径为516.【答案】an=n

【解析】解：(1)因为各项均不相等的正项等差数列{an}的前n项和为Sn，

又S3=6，且log2a1+log2a9−2log2a3=0，

所以3a1+3d=6a1(a1+8d)=(a1+2d)2，解得a117.【答案】因为AD⊥DC，AD⊥PD，DC∩PD=D，且PD，DC⊂平面PCD，

所以AD⊥平面PCD，

而PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC，

又因为DC=PD，M为PC中点，可得DM⊥PC，

又因为DM∩AD=D，且DM，AD⊂平面ADM，

所以PC⊥平面ADM

17【解析】(1)证明：因为AD⊥DC，AD⊥PD，DC∩PD=D，且PD，DC⊂平面PCD，

所以AD⊥平面PCD，

而PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC，

又因为DC=PD，M为PC中点，可得DM⊥PC，

又因为DM∩AD=D，且DM，AD⊂平面ADM，

所以PC⊥平面ADM；

(2)解：AD⊥DC，AD⊥PD，AD=DC=PD=2AB，PC=3CD，

设AB=1，则PD=DC=AD=2，可得AC=22，PA=22，PC=23，

cos∠PDC=PD2+CD2−PC22PD⋅CD=4+4−122×2×2=−12，可得∠PDC=2π3，

所以∠PCD=∠CPD=π6，

取CD的中点N，可得BN//AD，且NB=AD=2，

由(1)可得BN⊥平面PCD，

所以△PCN为△PBC在平面PCD内的投影，

设二面角B−PC−D的平面角为θ，且θ为锐二面角，

可得cosθ=S△PNCS△PBC，

所以S△PCN=12CN⋅PCsin∠PCD=12×1×23×12=32，

在△PBC中，BC=BN2+CN2=4+1=5，

PN=CN18.【答案】x24+y2【解析】解：(1)由题，抛物线的焦点为(1,0)，准线x=−1，

所以c=1，椭圆C和抛物线Γ的准线在第二象限交点为(−1,32)，

所以1a2+94b2=1，a2−b2=1，

解得a2=4，b2=3，

所以x24+y23=1；

(2)由题意可知直线l的斜率不为0，

设直线l的方程：x=my+1，Q(x1,y1)，P(x2,y2)，则Q1(x1,−y1)，

联立x=my+1,x24+y23=1，化简得(3m2+4)y2+6my−9=0，

则Δ=36m2+36(3m2+4)>0，

所以y1+y2=−6m4+3m2，y1⋅y2=−94+3m2，

直线P19.【答案】证明：要证g(x)≥3x+2，即证2ex+x≥3x+2，即证2ex−2x−2≥0，

令p(x)=2ex−2x−2，求导得p′(x)=2ex−2，

令p′(x)=0，解得x=0，

当x<0时，p′(x)<0，p(x)单调递减；当x>0时，p′(x)>0，p(x)单调递增，

因此p(x)在x=0处取得最小值p(0)=2e0−0−2=0，

所以p(x)≥0，即g(x)≥3x+2

(i)(0,1)；(ⅱ)证明：由(i)知h(x)的最小值为h(−lna)=1−1a+lna，

要证h(x)>3lna−a2−1a，

只需证1−1a+lna>3lna−a2−1a，

化简得1>2lna−a2，

令r(a)=a2−2lna+1，

求导得r′(a)=2a−2a【解析】解：(1)证明：要证g(x)≥3x+2，即证2ex+x≥3x+2，即证2ex−2x−2≥0，

令p(