8.3.1棱柱、棱锥棱台的表面积和体积（学历案）高一数学人教A版（2019）必修 第二册

高一必修二学历案8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积自主学习【学】1．了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式．(重点)2．能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积，理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系．(难点)3．会求组合体的表面积及体积．(难点、易错点)[巧梳理]1．表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．2．体积(1)一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh．(2)一般地，如果棱锥的底面积是S，高是h，那么这个棱锥的体积V棱锥＝eq\f(1,3)Sh．(3)如果棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)．【自学评价】阅读课本P114~P116，阅读完课本后尝试回答下列问题：1.棱柱、棱锥、棱台的表面积问题1.棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？问题2.棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？问题3.棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．2.棱柱、棱锥、棱台的体积（1）一般棱柱的体积公式也是V=Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。（2）棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即。其中棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。问题4.根据台体的特征，如何求台体的体积？问题5.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？研习探究【研】例1.如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积.变式1.正三棱锥的地面边长为a,高为，求它的侧面积。变式2.一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面边长为6，求它的表面积．变式3.一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，高为3，求它的表面积。例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？达标练习【练】练习1.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________.体积为________2.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该正四棱锥的体积为()A.43B.23C.43.四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm，侧面面积为448cm2，求它的体积？4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积..5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.6.如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2.上面是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，求组合体的表面积和体积．总结：求几何体体积的常用方法【布置作业】训练(二十二).总结提升【结】【课堂总结】总结与评价8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积参考答案自主学习【学】1．了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式．(重点)2．能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积，理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系．(难点)3．会求组合体的表面积及体积．(难点、易错点)[巧梳理]1．表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．2．体积(1)一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh．(2)一般地，如果棱锥的底面积是S，高是h，那么这个棱锥的体积V棱锥＝eq\f(1,3)Sh．(3)如果棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)．【自学评价】阅读课本P114~P116，阅读完课本后尝试回答下列问题：1.棱柱、棱锥、棱台的表面积问题1.棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？问题2.棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？问题3.棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．2.棱柱、棱锥、棱台的体积（1）一般棱柱的体积公式也是V=Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。（2）棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即。其中棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。问题4.根据台体的特征，如何求台体的体积？问题5.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？研习探究【研】例1.如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积.【答案】【解析】【分析】因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.【详解】解：因为是正三角形，其边长为，所以.因此，四面体的表面积.【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题.变式1.正三棱锥的地面边长为a,高为，求它的侧面积。答案：变式2.一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面边长为6，求它的表面积．答案：84变式3.一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，高为3，求它的表面积。答案：例2..如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？【答案】【解析】【分析】漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.【详解】解：由题意知长方体的体积，棱锥的体积，所以这个漏斗的容积.【点睛】本题考查多面体的体积，是基础题.达标练习【练】练习1.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为_.体积为______【详解】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，同时几何体是由8个底面边长为的等边三角形和边长为的6个正方形组成的一个14面体，所以该几何体的表面积为：.2.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该正四棱锥的体积为(D)A.43B.23C.43.四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm，侧面面积为448cm2，求它的体积？4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积..5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形