专题06 数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练)（原卷版）

专题06数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍常见的裂项技巧类型一：等差型=1\*GB3①特别注意②如：（尤其要注意不能丢前边的）类型二：无理型=1\*GB3①如：类型三：指数型①如：类型四：通项裂项为“”型如：①②本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.二、典型例题类型一：等差型例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知是等差数列的前项和，，，公差，且___________.从①为与等比中项，②等比数列的公比为，这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列存在并作答.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：.第（2）问解题思路点拨：由（1）知：第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，设，则，典型的裂项相消的特征，可将通项裂项为：解答过程：由题意知：；例题2．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和．第（2）问解题思路点拨：由（1）知：第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，典型的裂项相消的特征，可将通项裂项为：解答过程：由题意知：；感悟升华（核心秘籍）本例是裂项相消法的等差型，注意裂项，是裂通项，裂项的过程中注意前面的系数不要忽略了.类型二：无理型例题3．（2022·重庆八中模拟预测）已知各项均为正数的等差数列满足，．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和．第（2）问解题思路点拨：由（1）知：第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，典型的裂项相消的无理型特征，可将通项分母有理化为：解答过程：由题意知：；例题4．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和为.第（2）问解题思路点拨：由（1）知：第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，典型的裂项相消的无理型特征，可将通项分母有理化为：解答过程：由题意知：；感悟升华（核心秘籍）本例是裂项相消法的无理型，具有明显的特征，其技巧在于分母有理化，注意裂项相消的过程中，是连续相消，还是隔项相消，计算注意细节.类型三：指数型例题5．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列满足，且，，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．第（2）问解题思路点拨：由（1）知：第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，具有明显的裂项相消法的特征，但是裂项是难点，在裂项时要把握住“型”，再结合待定系数法解答过程：用待定系数法裂通项：与对比，得通分，逆向求裂项求和．感悟升华（核心秘籍）（1）本例通项符合裂项的特征，但是裂项是难点；（2）在裂项的过程中，对于指数型，裂项过程可以采用待定系数法检验；如本例：（3）疑问：裂项过程中，分子如何裂项出一个，一个；（在裂项过程中，分母裂开后结构上形似：，注意到第一个分母比大，所以分子也是大的在前，小的在后，而已知中，分子只有一个，所以在裂项的时候裂出一个和，注意此类型裂项结构的特征，可作为一个裂项技巧记忆）（4）对于指数型，还可细分指数式在分子和指数式在分母（注意比较细节）；①若分子中含有指数式，则在裂项中，比大，分母大的写前面，分母小的写后面②若分母中含有指数式，如例题6，裂项时，分母和，较小的写前面，较大的写后面.例题6．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和.第（2）问解题思路点拨：由（1）知：第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，具有明显的裂项相消法的特征，但是裂项是难点，在裂项时要把握住“型”，再结合待定系数法解答过程：用待定系数法裂通项：与对比，得通分，逆向求裂项求和类型四：通项裂项为“”型例题7．（2022·吉林辽源·高二期末）已知等差数列的前n项和，数列的前项和，.(1)求数列和的通项公式；(2)令，求数列的前项和.第（2）问解题思路点拨：由（1）知：第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，注意通项中含有明显的裂项的两个特征，①含有分式②含有（注意通项中含有是裂项为“”型的重要标志），但是裂项是难点，在裂项时要把握住“型”，再结合待定系数法解答过程：用待定系数法裂通项：与对比，得则：，注意到通项中含有，需分奇偶讨论通分，逆向求当为偶数（为正），（注意此时为偶数，代入偶数的结论中）当为奇数（为偶数）综上：【答案】(1)，(2)感悟升华（核心秘籍）（1）对于本例通项：具有裂项的特征，但注意到同时又含有“”，此时是通项裂项为“”型的重要标志，此标志作为核心技巧记忆，裂项时，裂项为“”型（2）在裂项的过程中，对于比较复杂的通项，都可以通过待定系数法，逆向通分和原式比较，来检验裂项的正确性.例题8．（2022·陕西·长安一中高二期中（文））已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．第（2）问解题思路点拨：由（1）知：第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，注意通项中含有明显的裂项的两个特征，①含有分式②含有（注意通项中含有是裂项为“”型的重要标志），但是裂项是难点，在裂项时要把握住“型”，再结合待定系数法解答过程：用待定系数法裂通项：与对比，得，通分，逆向求当为奇数（为正），（注意此时为奇数，代入奇数的结论中）当为偶数（为奇数）综上：三、题型归类练1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知在等差数列中，，．(1)求数列的通项公式;(2)设，求数列的前n项和．2．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知单调递增的等差数列的前n项和为，成等比数列，正项等比数列满足.(1)求与的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.3．（2022·河南·模拟预测（理））已知正项数列的前项和为，且．(1)求的值和数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．4．（2022·河北保定·一模）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前项和．5．（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（文））已知数列的前n项和为，，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．6．（2022·江苏盐城·三模）已知正项等比数列满足，请在①，②，③，，中选择一个填在横线上并完成下面问题：(1)求的通项公式；(2)设，的前和为，求证：．7．（2022·浙江金华·模拟预测）已知数列，其中为等差数列，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求证：8．（2022·湖北·二模）已知正项等差数列满足：，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．9．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知数列，，，为其前n项和，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．10．（2022·重庆八中模拟预测）已知是公差不为零的等差数列的前n项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列，数列化的前2n项和为，若，求正整数n的最小值.11．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）已知是等差数列，是等比数列，且．(1)求数列的通项公式；(2)记的