专题07 利用导函数研究函数零点问题 (典型例题+题型归类练)（解析版）

专题07利用导函数研究函数零点问题(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．（2）三个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．2、函数零点的判定如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点3、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．4、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．二、典型例题例题1．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知函数在和处取得极值．(1)求，的值；(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围．第（2）问解题思路函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，等价于：，则原题意等价于图象与轴有三个交点利用导数研究的图象：∵，∴由，解得或，由，解得，∴在时取得极大值，在时取得极小值，要满足图象与轴有三个交点，则极大值，且极小值，即：，解得，故m的取值范围为．【答案】(1)；(2).(1)由题可得，由题意，得，则，解得，经检验，此时满足在和处取得极值，所以；(2)令，则原题意等价于图象与轴有三个交点．∵，∴由，解得或，由，解得，∴在时取得极大值，在时取得极小值，依题意得，解得，故m的取值范围为．例题2．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个零点，求实数的取值范围.第（2）问解题思路有两个零点，即：在上有两个不等的实数根，可考虑变量分离法：即在上有两个不等的实数根，等价转化为：，两个函数有两个交点；利用导数研究的图象：当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为又，当时，，当时，（注意，一定要利用极限判定当时，，否则就是错解）画出的图象：由图可得要使直线与有两个交点，则，故实数的取值范围为.点评：本例中，分离成两个函数找交点的个数后，画图是关键，本例利用了极限，当时，，如果直接由单调性画图，很可能造成错解，在利用图象解决零点个数问题，注意巧妙地利用极限.【答案】(1)见解析(2)(1)函数的定义域为，当时，易知，在上为减函数，所以在上为减函数，且当时，当时，故函数的递增区间为，递减区间为.(2)有两个零点，所以在上有两个不等的实数根，即在上有两个不等的实数根，即直线与有两个交点，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为又，当时，，当时，由图可得要使直线与有两个交点，则，故实数的取值范围为.题型归类练1．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若仅有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)(1)由题意知：定义域为，；当时，，则在上恒成立，在上单调递增；当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)仅有一个零点等价于：有且仅有一个根，即有且仅有一个根，令，则仅有一个零点等价于与有且仅有一个交点；，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；，又；当时，，大致图象如下图所示，由图形可知：当或时，与有且仅有一个交点；若仅有一个零点，实数的取值范围为.2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数.(1)当时，求在区间上的最小值；(2)若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)；(2).(1)解：，令，得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.当时，有极小值，也是最小值，最小值为.(2)解：，定义域，由题意，即有两个零点，令所以在时，，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以函数的最大值时，，函数的图象如图所示，所以，所以.3．（2022·广东·高二阶段练习）已知函数在与处都取得极值.(1)求实数a，b的值；(2)若函数有三个不同的零点，求c的范围.【答案】(1)(2)(1)，解得，此时.当x∈,时,，单调递增，当x∈时，,单调递减，满足在x=与x=处都取得极值、故(2)由(1)可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增，即的极大值为，极小值为，要使函数有三个不同零点,则，∴为所求.4．（2022·山西太原·三模（理））已知函数.(1)若函数的图像与直线相切，求实数a的值；(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)（0，）(1)，设切点为，则∴时，显然不成立，∴消去a得∴；(2)令，即有且只有一个解，当时，显然不成立，∴，令，∴与有且只有一个交点，∵，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，又当时，→0，当当时，，当时，如图所示，综上，a的取值范围是.5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，（且）.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)增区间为，减区间为(2)（1）当时，，当时，，当时；故的单调递增区间为，递减区间为.（2）由题意知在有两个不等实根，，令，，所以在上单调递增，在上单调递减；又，，，，，，作出的图象如图所示：由图可知，解得且，即a的取值范围为.6．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知曲线．(1)若，过点作的切线，求切线的方程；(2)当有3个零点时，求a的取值范围．【答案】(1)和(2)(1)因为，所以，所以，设所求切线的切点坐标为，切线斜率为，则所求切线方程为．因为切线过点，所以，即，解得：或．所以或．即所求的切线有两条，方程分别是和．即和．(2)，令，解得，．令，得或，在上为增函数，令，得，在上为减函数，所以的极大值为，极小值为．因为有3个零点，所以，解得：．所以a的取值范围是7．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数的导函数有两个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(1)当时，，则，，又，所