【初中数学】直角三角形第2课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用3直角三角形第2课时直角三角形全等的判定素养目标1.掌握“斜边、直角边”的判定方法．2.能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等．3.使学生经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维．教学重难点重点：“斜边、直角边”判定方法的使用．难点：分析问题，探索直角三角形全等的条件．导入新课问题1:我们已经学习过哪些判定三角形全等的方法?如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E。(1)若∠A=∠D，AB=DE，则根据______，△ABC≌△DEF；ABCFED(2)若∠A=∠D，BC=EF，则根据______，△ABC≌△DEF；(3)若AB=DE，BC=EF，则根据______，△ABC≌△DEF；(4)若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据______，△ABC≌△DEF。ASAAASSASSSS导入新课问题2:如果两个三角形满足两边分别相等且其中一组等边的对角相等(即边边角),那么它们一定全等吗?不一定全等.在一般三角形中,“边边角”不一定成立,但如果其中一组等边的对角都是直角呢?今天我们就来探究直角三角形特有的全等判定方法.新知探究活动一:探究证明“斜边、直角边”判定定理问题:已知斜边和一条直角边,如何作出这个直角三角形呢?(1)假设满足条件的直角三角形已经作出,你能画出这个直角三角形的草图吗?(2)你是按照怎样的步骤画这个直角三角形的草图的?先画一画,再用尺规试一试.梳理上述作图过程,你能总结“已知直角三角形的斜边和一条直角边,用尺规作这个三角形”的方法和步骤吗?作法图形如图，已知线段a，c(a<c)，用尺规作Rt△ABC，使∠C=90°，AB=c，BC=a.a

cNCMBA1.作射线CN.2.过点C作射线CN的垂线CM.3.在射线CM上截取CB=a.4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A.5.连接AB.△ABC就是所要作的直角三角形.新知探究把你作的直角三角形与同伴作的直角三角形进行比较,它们一定全等吗?由此,你得到了什么结论?这些三角形全等.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.你能证明你发现的结论吗?新知探究已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:△ABC≌△A'B'C'.证明:在△ABC中,∵∠C=90°,∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).同理,B'C'2=A'B'2-A'C'2.∵AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).新知探究

例1如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系?解：根据题意，可知∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).∴∠CBA=∠DEF(全等三角形的对应角相等).∵∠DEF+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)，∴∠CBA+∠EFD=90°.活动二:应用“斜边、直角边”判定定理解决实际问题如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝

DE，点B，E，C，F在同一条直线上，且BE＝FC.

求证：

Rt△ABC≌Rt△DFE.

跟踪练习一般三角形与直角三角形全等的判定方法的比较：注意：在应用“HL”定理时，要在两个直角三角形的前提下，利用“斜边和一条直角边对应相等”证明这两个直角三角形全等.一般三角形全等的判定直角三角形全等的判定SASASAAASSSSSASASAAASHLSSS

B

课堂练习

D

3.

（教材P30例题变式）如图，有两个长度相等的滑梯（即BC

＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF

相等.有下列结论：①AB＝DE；②∠ABC＋∠DFE＝90°；

③∠ABC＝∠DEF.

其中正确的有（

C

）A.1个B.2个C.3个D.0个C

B

5.

如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延

长线上一点，点E在边BC上，且AE＝CF.

（1）求证：BE＝BF；解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴BE＝BF.

5.

如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延

长线上一点，点E在边BC上，且AE＝CF.

（2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数.解：（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－22°＝23°.由（1），知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝23°，∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝23°＋45°＝68°.

求证:

课堂总结1.“HL”定理的内容是什么?它与一般三角形全等的判定有什么关系?2.