【初中数学】等腰三角形第二课时教学课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.2.2等腰三角形

第二课时北师大版八年级下册数学学习目标1.经历“猜想→验证→证明”的探究过程，理解等腰三角形“等角对等边”的判定定理，能独立完成定理的逻辑证明，并熟练运用定理判定等腰三角形。2.理解反证法的基本证题思路，培养逆向思维能力，能将反证法简单应用于几何证明。3.能根据题目条件选择合适的等腰三角形判定方法，提升几何分析和推理解决问题的能力。问题1：上节课我们学习了等腰三角形的性质，谁能说说等腰三角形有哪些重要特征？（引导学生回答：两腰相等、两底角相等（等边对等角）、三线合一、是轴对称图形，对称轴是底边上的高/中线/顶角平分线所在直线）提问2：若一个三角形是等腰三角形，已知顶角为70°，它的底角是多少度？若已知一个底角为65°，顶角又为多少度？（学生口答：55°，50°）复习引入新课探究

我们已经知道

“有两边相等的三角形，两角必然相等”，那反过来思考，如果一个三角形有两个角相等，它的两边是否也相等呢？

这节课我们就带着这个问题，继续探究等腰三角形的相关知识。学生猜测：相等

老师追问：如何证明这个猜测是正确的？ABC新课探究已知：在△ABC

中，∠B

=∠C。求证：AB

=

AC。ABC分析：证明两条线段相等的方法有哪些？这道题的大背景是三角形，想到构造全等三角形，利用全等三角形的性质来证明两条线段相等法一：证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D则∠ADB=∠ADC=90°又∵∠B=∠C，AD=AD∴△ADB≌△ADC（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）D还有没有其他的证明方法？归纳总结法二：证明：如图，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）ABCD等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。归纳总结这一定理可以简述为：等角对等边。几何语言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=ACABC归纳总结等腰三角形的判定与性质的异同相同点：都是在同一个三角形中区别：判定是由角的关系得到边的关系，性质是由边的关系得到角的关系。即：等边等角性质判定例题展示例1已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E。求证：△AED是等腰三角形。证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD

≌△DCA（SSS）∴∠ADB=∠DAC（全等三角形的对应角相等）∴AE=DE（等角对等边）∴△AED

是等腰三角形分析：利用等腰三角形的判定定理：等角对等边来证明等角等边等腰三角形练一练如图，AE平分∠BAC，DE

//AB，若AD=3，则DE的长是______。3尝试思考小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？小明的思考过程如下。你能理解他的推理过程吗？

如图，在△ABC

中，已知∠B

≠∠C，此时

AB

与

AC

要么相等，要么不相等。假设

AB

=

AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C

=∠B，这与已知条件∠B

≠∠C

相矛盾，因此AB

≠

AC。ABC理解，这是反证法总结反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。1.先假设命题的结论不成立；2.从这个假设出发，应用正确的推理证明，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；3.由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。用反证法证明的一般步骤用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知条：△ABC求证：∠A,∠B，∠C不能有两个直角.

证明：假设∠A,∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A,∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C=180°+∠C＞180°这与三角形内角和等于180°相矛盾所以“假设∠A,∠B是直角”不成立.所以一个三角形中不能有两个直角三角形.练一练随堂练习1.若一个三角形的两个内角分别为70°和40°，则这个三角形的形状是？等腰三角形解析：第三个内角=180°-70°-40°=70°，有两个角相等，根据“等角对等边”判定为等腰三角形。2.已知△ABC中，∠B=∠C，AB=5cm，则AC的长度为？5cm解析：∠B=∠C，由“等角对等边”得AC=AB=5cm。3.等边三角形的一个内角的度数为？若其边长为3cm，则周长为？60°；9cm解析：等边三角形三角相等且和为180°，每个角为60°；三边相等，周长=3×3=9cm。随堂练习4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形。证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°在△ADB和△ADC中∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB=∠ADC∴△ADB≌△ADC（ASA）∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形5.已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，且AD⊥BC，BD=2cm，求△ABC的边长。解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC∴AD是BC边上的中线（等边三角形三线合一）∴BC=2BD=2×2=4cm即△ABC的边长为4cm随堂练习随堂练习6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△BCD均为等腰三角形。证明：∵AB=AC，∠A=36°∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°∴∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD（△ABD为等腰三角形）∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°∴∠BDC=∠C=72°∴BD=BC（△BCD为等腰三角形）随堂练习7.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF交BC于点D，求证：DE=DF。证明：过点E作EG∥AC交BC于点G∵EG∥AC，∴∠EGD=∠FCD，∠GEB=∠A∵AB=AC，∴∠B=∠ACB又∵∠GEB=∠A，∴∠B=∠EGB，∴BE=EG（等角对等边）∵BE=CF，∴EG=CF在△EGD和△FCD中∠EGD=∠FCD,∠EDG=∠FDC,EG=CF∴△E