导数习题分类

导数定义

r"r<1

例1.y=f(x)=—在x=l处可导，则々=_______b=______

ax+bx>1

r~r<1

思路：y=/(x)=《-在x=l处可导，必连续lim/(x)=l

cix+bx>1s广

fM=a+b/(I)=1a+b=1

X—>1*

lim-=2lim-=aa=2b=-\

A2。-AvAt->o4Ax

例2.已知f(x)在x=a处可导，且f'(a)=b,求下列极限：

(1)limf-3m)；⑵痴-

M->o2hAA->Oh

分析：在导数定义中，增量Ax的形式是多种多样，但不论Ax选择哪种形式，也必需

选择相对应的形式。利用函数f(x)在不二。处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变

形转化为导数定义的结构形式。

解rnlim以。+3砥-f(a-h)_f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h)

用牛：k1/11111—11111

X)2h2h

=.上心忙/(〃)+11m1(—)

力TO2h2h

3刖以。+3〃)-f(a)1f(a-h)-f(a)

=—lim---------------1——lim--------------

2-。3h2力一。-h

31

=-f\ci)^-f\a)=2b

⑵出“22)-/(%山+—%

人->0hA—。h~

「f(a+h2)-f(a)..、八八

=lim------7―•lim/?t=f(a)-0=0

力TOh”力一>0

例3.视察,(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,是否可推断，可导的

奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

解：若/3)为偶函数f(-x)=f(x)令lim/*+&)/*)=/，(/

Ar->oA.r

fX-x)=lim=lim/if(x)

A10+AtZtO+Ax

uo一△」

・•・可导的偶函数的导函数是奇函数

另证：(="(一%)/=/(+力(-%)'=-r(x)

已知函数在定义域火上可导，设点尸是函数y=/(X)的图象上距离原点。最近的点.

⑴若点P的坐标为(q/(a)),求证：〃+/(〃)/'(。)=0;

(2)若函数)，=/(x)的图象不通过坐标原点0,证明宜.线OP与函数)，=/3)的图象上

点P处切线垂直.

证：⑴设Q(x,f(x))为y=f(x)上的动点，则|OQ|2=x2-f2(x),

设F(x)=x2+f2(x),

则F(x)=2x+2f(x)f,(x)

已知P为y=f(x)图形上距离原点0最近的一点，

・・・|0P|2为F(x)的最小值,即F(x)在x=a处有最小值,亦即F(x)在x=a处有微小值

F'(a)=0,即2a+2f(a)f'(a)=0

(2)线段OP的斜率为侬，y=f(x)之图形上过P点的切线/的斜率为f,(a)

a

由(1)知f(a)『(a)=一a,

・••图象不过原点，.丁—。，=

a

A0P1/,即直线0P与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.

利用导数证明不等式

例6.求证下列不等式

Y2*X9

(1)x------<ln(l+x)<x---------------XG(0,4-00)(相减)

22(1+x)

(2)sinx>—x=(0,—)(相除)

712

(3)x-sinx<tanx-xxe(0,—)

2

K1X-1

证：⑴f(x)=ln(l4-x)-(x-:—)/(0)=0f\x)=---------1+x=--------->0

2\+xx+1

:.)，=/3)为(0,十8)上1・・・xe(0,+oo)f(x)>0恒成立

X"X

；・ln(l+x)>.r-yg(x)=x--ln(1+^r)g(())=()

，/、i4x2+4x-2x212x2„

g(x)=1------------------彳----------------=------------>0

4(1+x)-1+x4(1+厂)

.r2

g(x)在(0,+8)上T:.xG(0,+co)x------:---------ln(l+x)>0恒成立

2(1+x)

Qinr77T

(2)原式=-_—>一令f(x)=sinx/xxG(0,—)cosx>0

X712

x-tanx<0

._cosx(x-tanx)

••J(x)=—x£(0,3)<0(0,—)4<

jr

一冗、2..2x

/(-)=—・,smx>—

271兀

(3)令/(x)=lanx-2x+sinx/(0)=0

「,,、、c(1-cosx)(cosx+sin2x)

/(x)=see-x-2+cosx=------------------------------

cos'x

xw(0,g)f\x)>0.・・(O,g)T

22

/.tanx-x>x-siiix

(理做)15f(x)=x—1-\vrx-\-2aInx(x>0).

(【)令F(x)=VZ(X),探讨F(x)在(0.+8)内的单调性并求极值;

(II)求证：当x>1J't>恒有x>\n2x_2aInxI1.

(I)解：依据求导法则有八%)=]_网£+网，1>o，

XX

7

故7(x)=,y(x)=x-2lnx+2ax>0»于是=]_2=-2,x>o»

XX

列表如下：

X(0,2)2(2,+8)

尸。)—0+

F(x)微小值2(2)/

故知口(九)在(0,2)内是减函数，在(2,+8)内是增函数，所以，在x=2处取得微小值

F(2)=2-2ln2+2a.

(II)证明：由a»0知,一(X)的微小值由⑵=2-21n2+%>0.

于是由上表知,对一切XW(0,+8),恒有尸(x)=MX0>o.

从而当x>0时，恒有外幻>0,故/(x)在(0,+8)内单调增加.

所以当X>1时，/⑴"⑴=0,即1-帚X+2〃1门>0.i利用单调性证明不等式)

故当%>1时，恒有-2alnx+l.

(全国卷22)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx,

(i)求函数函x)的最大值;(ii)设0<a〈b,证明0<g(a)+g(b)-2g(誓)<(b-a)ln2.

.⑴解：函数f(x)的定义域是(-1,8),f'(x)=——一1,令f*)=0,解得x=0,

1+x

当-1<X〈O时，f(x)〉0,当x>0时，f(x)<0,又f(0)=0,故当且仅当x=0时，f(x)取得

最大值，最大值是0・

(H)证法一:

g⑷+gS)―2g(〃+/)=a\na+b\nb-(a+b)lna+b.2a,,2b

----=a\n------F/jln---

22a+ba+b

由⑴的结论如ln(l+x)-入〈0(/>-1,且¥。0),由题设0<a<b,得

b-a八.a-b八

---->0,-1<-----<0,

2a2b

miii2aI”b-a、b-a

因此In----=-ln(l+-----)>------

a+bla2a

a-b

In=-ln(14-)>

a+b2b~2b

.2a,.lbb-aa-b八

所以。In----+Z?ln---->------------=0

a+b〃+>22

「2aa+b

又——r<——

a+b2b

,2a..2b.a+b..2b

ain----+8In-----<a\n-----+/?ln----=(b-a)In----<(/?-«)In2

a+b〃+b2ba+ba+b

a+b

综上0<g(a)+gS)-28()<(/?-«)In2

~2~

⑴)证法二：g(x)=xlni,g(x)=\nx+\,设/(x)=g(a)+g(x)-2g(三一)，

则尸(x)=g*)-2[g(号)]'=lnx-ln"土，当0<x〈a时/(x)<0,因此F(x)在(0,a)

内为减函数•当x>a时尸(x)>0,因此F(x)在(a,+oo)上为增函数•从而,当x=a时，F(x)

有微小值F(a).因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+gS)-g(^^)

♦〃+Y

设G(x)=F(x)-(x-a)\n2，则G(x)=lnx-ln——ln2=lnx-ln(a+x)当x>0

时,G'(x)<0,因此G(x)在(0,+co)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即

g(a)+gS)—2^(^—^)<(b-a)\n2

(2009全国卷II理)(本小题满分12分)设函数/(》)=/+(而(1+另有两个极值点

王、x2,且王<々

(I)求a的取值范围，并探讨了(x)的单调性；(H)证明：/(9)>:

皿八、\ca2x2+2x+a「

解：⑴f(x)=2xd-----=-----------(x>-l)

1+xl+x

g(x)=2x2+2x+a,其对称轴为工二一］。由题意知内、/是方程g(x)=。的两个

A=4->01

均大于-1的不相等的实根，其充要条件为1,得0<。<一

g(-1)=々>02

⑴当X£(―1,内)时，/(%)>0,/./(X)在(一1小)内为增函数；

⑵当X£(内,七)时，/'(x)V0,/(x)在(X],与)内为减函数；

⑶当X£(毛+8)时，/'(X)>0,：.f(x)在(2+9)内为增函数；

2

(II)由(I)^(0)=a>0,.\<x2<0,a=-(2x2+2x2)

2=x

/./(x2)=x2+aln[\+x2)2-Qx'+XWMl+w)

设/?(/)=x?-(2x2-2x)ln(1+x)(x>--^),

则hr(x)=2x-2(2x+V)ln(1+x)-2x=-2(2x4-V)ln(1+x)

⑴当xe(-g,0)时,“(加0,.,./7(幻在[一3，。)单调递增；

(2)当X£(0,+oc)时，/(x)<0,〃(x)在(0,+8)单调递减。

二.当X€(一3,0)时,〃(1)>/?(一g)=~~~-^―

故/(/)=力(£)>^1^.

X

已知函数/(/)=x,&O)=ln(l+x),h(x)=——.

1+x

(1)证明：当x>0时，恒有/(x)>g(x);

kx

(2)当x>0时，不等式g(x)>——仅20)恒成立，求实数k的取值范围;

k+x

1jr

解.：(1)设b(x)=/(x)—g(x),贝IJ尸(x)=l-----=——，

1+XI+X

当x>0时，F(x)>0,所以函数F(x)在(0,+8)单调递增，又F(x)

在x=()处连续，所以/")>/(0)=0,即/(x)-g(x)>0,

所以/(x)>g(x)。

kY

(2)设G(x)=g(x)—L，

k+x

则G(x)在(0,+8、)恒大于0,G(x)=ln(l+x)-％+----,

k+x

112d+QZ—l2A

1+X(k+X)2(1+X)(Z+X)2

，+(2左一左2»=()的根为0和22—2k,

即在区间(0,+8)上，G(x)=0的根为0和公一2七

若1-2%>0,则G(x)在(0,&2-2%)单调递减,

且G(0)=0,与G(K)在(0,+00)恒大于0冲突;

若H-),G(.r)在(0,+8)单调递增,

且G(0)=0,满意题设条件，所以攵2—2%W0,所以OKAKZ。

(1)已知：XG(O+oo),求证一!—<In<—；

八+1AA

(2)已知：且〃N2,求证：—+—4----+—<lr)7i<l+—4--«+—!—

23n2〃-1

(1)令1H—=t»由x>0,t>l>x=-----

xt-\

原不等式等价于l--<lnz<r-l

t

令f(t)=t-l-lnt,

•••/”)二1一；当，£(1,+8)时，有/'(Z)>0,J函数f(t)在/£(1,+8)递增

/.f(t)>f(l)即r-Klnt

]/-I

另令g(r)=lnr-l+-，则有g«)=^^>。

tv

・・・g⑴在(L+oo)上递增,.・・g(t)>g⑴=o

z.Inr>1——

t

,,,_1,x+11

粽上得----<In-------<—

x+1xx

(2)由(1)令x=l,2,......(n-D并相加得

111,2.3,n.11

—+—+…+—vln—+ln—+…+ln------<1+—+•••+-------

23n12n-\2n-\

即得1----F,•,4—<In<14----F,••4--------

23n2n-\

利用导数求和

例7.利用导数求和：

⑴S”=l+2x+3/—・・・+内】("0,力£2)；

(2)S*=C；+2C；+交；+・・・+阀C；(%w产。

分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导

公式(./)'=〃工"t,可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更

加简捷。

解：(1)当X=1时，

=1+2+3+…+力=」/(阀+1)

2

当Xr1时,

X+X2+X3+•••+X

两边都是关于x的函数，求导得

*+1

(0x+X2+▲X3+1•••+xX)=-X-~--X--.

1-X

即M=1+2x+3x2+­••+加犬-1=1―(,+1)五*五”"

(一)2

(2)V(1+x)x=1+C%+C；,+…+c；x\

两边都是关于x的函数，求导得〃(1+XT"=+2C>+3c*2+…+〃C；/T。

令x=l得

"2"-i=C；+2C：+3C：+…+〃C；

9

即S*=C；+2C；+3C：+…+y=*2*・】°

单调区间探讨

例.设。>0,求函数/(©=6-ln(x+Q)*w(0,+8)的单调区间.

分析：木小题主要考查导数的概念和计算，应用导数探讨函数性质的方法及推理和运

算实力.

解：f'M=-^=--—(x>0).

2Vxx+a

当〃>0,x>0时f\x)>0<=>x2+(2。-4»+〃2>o.

f'(x)<0<^>x2+(2a-4)x+a2<0

(i)当a>l时，对全部x>0,有x?+(2。-4)+〃2>o.

即f\x)>0,此时/(%)在(0,4-oo)内单调递增.

(ii)当〃=1时，对xwl,有工2+(2〃-4»+/>0,

即/'。)>0,此时/")在(0,1)内单调递增，又知函数/(x)在x=l处连续，因此，

函数/")在(0,+oc)内单调递增

(iii)当0<。<1时，令/'(x)>0,即/+(2a-4)x+a?>0.

解得x<2—6?—2Jl-a,flJcx>2-a+2.-a.

因此，函数/(x)在区间(0,2-a-2j0)内单调递增，在区间(2—。+2小心,中功

内也单调递增.

令f\x)<0,即x?+(2a-4)x+a2<0,解得2-a-2」\-a<x<2-a+2”-a.

因此，函数/(x)在区间(2—a-2j匚£,2—4+2/匚")内单调递减.

2

(2009安徽卷理)已知函数f(x)=x一一+〃(2-安幻,(〃>0),探讨/*)的单调性.

x

解析―一)的定义域是10,-8),/<»=1+4-士='--2

XXX

设g(x)=--ax+2:二次方程g(x)=0的判别式A=a2-8.

当△=--&<0,即0<a<20时，对一切五>0都有尸⑴>0：此时“功在］0,丑0上是噌函数。

①当△=/-8=0：即。=2J2时，仅对x=J2有/(五)=0：对其余的x>0都有

/r(x)>0：此时/。)在(0,也)上也是噌函数。

①当A=a2—8>0,即。>2加时，

、・J口/\，、八”.人才【二I"，」卜口'—8ci+Ja~-8

方程g(x)=()有两个不同的实根司=-----------,%2=----------，0<M<X.

222

X(0，M)%(司，工2)七(12，+°°)

八幻+o_o+

fM单调递增/极大单调递减、微小单调递增

此时/(此在(0."一彳二)上单调递增,在(空五三8,土¥三8)是上单调递减，

222

在丝叵三8收调递增

2

3.设函数/。)=ax2+bx+k(k>0)在x=()处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1"⑴)处

的切线垂直于直线x+2)，+l=0.(I)求。,〃的值；(II)若函数g(x)=，:，探讨g(x)

/(%)

的单调性.

解3)因/(x)=a/+占x+上(上>0),如'(X)=2。五+3又/(x)在x=0处取得极限值，故f(x)=0,从

而8=0由曲线y=/(x)在(1,f(1))处的切线与直线+1=0相互垂直可知

该切线斜率为2,即/'。)=2,有2a=2,从而有1

(II)由(I)知，gW=^-(^>0)J%-：：产%,o)

X2+k(犬+幻2

令g'(x)=0,有/-2x+Ar=0

(1)当A=4-批<0,即当k>l时，/G)>0在区上恒成立,故函数86)在区上为增函数

(2)当A=4-伏=0,即当仁1时，g'(x)=HW>0(xH0)K=1时，g(x)在R上为噌函数

(/+上>

(3)A=4-4%>0,即当0〈k〈l时，方程,-2x+%=0有两个不相等实根

x,=1-4\-k,x2=14-\/\-k当

%£(-00,1-7^1)是8'(》)>0,故8*)在(-8,1-上为增函数当

工£(1一/^^,1+，?二1)时，g'(x)<0,故g(x)在(l一^/^二T,l+^/[TT)上为减函数

xe(1+J1-3+8)时，g<x)>0,故g(x)在(\++oo)上为增函数

(2009山东卷文)已知函数/(4)=5a/+6小2+工+3,其中。。0(I)当。/满意什么条件

时,f(x)取得极值？(2)已知。>0,且f(x)在区间(0,1］上单调递增，试用。表示出〃的取值

范围.

解：(1)由已知得了'。)=。/+28五+1：令/，0)=0：得4/+28彳+1=0,

/«要取得极值:方程”+2以+1=0必须有解，

所以△二4/一4。>0即/>0：此时方程+23x+1=0的根为

-2b--4a-b-Jb2-a-2b+\!4b2-4a-b-]-yjb2-a

所以f'(x)=a(x-X1)(x-x2)

当〃>0时,

(-8,X|)X2(X2,+e)

XXI(X1,X2)

f'(x)+0—0+

f(X)增函数极大值减函数微小值增函数

所以f(x)在XI,X2处分别取得极大值和微小值.

当a<0时，

X(-8,X2)X2(X2,X|)XI(XI,+8)

r(x)—0+0-

f(x)减函数微小值增函数极大值减函数

所以在X1,X2处分别取得极大值和微小值.综上，当4,b满意/时，/*)取得极

值.

(2)要使/(.r)在区间(0,1］上单调递增，需使/'(-r)=ar2+26x+120在(0,1］上恒成立.

即〃之一竺一_L,X£((),1]恒成立，所以bN(----)nm

22x22x

ax1，(T

设ga)=

~22x22x2

令夕(幻=0得太=不或“(舍去),

当。>1时当xw（0,3）时g'（x）>O,g"）二-竺一单调增函数;

ayja22x

当X£(J=,1]时g'(x)<0,g(x)=-竺一单调减函数,

\!a22x

所以当x二9时,g（x）取得最大，最大值为=-yfa.

所以Z?2-\[ci

当OvaWl时,J=N1,此时短（幻之0在区间（0,1］恒成立，所以g（x）二一丝一二-在区

22x

间（0J］上单调递增，当x=1时月（幻最大，最大值为以1）二一号士所以〃

综上，当。>1时，b>-4a;当0<aWl时，/>2-。+1

2

【命题7意】：本题为三次函数,利用求导的方法探讨函数的极值、单调性和函数的最值,

函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转

为函数探讨最值.运用函数与方程的思想.化归思想和分类探讨的思想解答问题.

（2009浙江文）已知函数/（1）=%3+（1一编/—4（。+2»+/?g,bsR）.

（I）若函数/（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求。泊的值；（II）若函

数/（X）在区间（一1,1）上不单调，求。的取值范围.

解析（I）由题意得/（工）=3,+2（l—a）x—a（a+2）

/(())=6=()

又《八,解得〃=0,。=一3或。=1

八0)=—。3+2)=-3

（II）函数/（x）在区间（—1,1）不单调，等价于

导函数/'（X）在（-U）既能取到大于。的实数，又能取到小于0的实数

即函数/'（X）在（-L1）上存在零点，依据零点存在定理，有

尸(T)/(1)<0,即：[3+2(1-。)一。(。+2)][3-2(1-6/)-a(a+2)]<0

整理得：（。+5）（〃+1）（。-1）2<0,解得一5〈。<一1

分别常数

已知函数/（x）=xlnx.（【）求/（幻的最小值；（II）若对全部％之1都有/（x）Nav-l,求

实数〃的取值范围.

解：/(x)的定义域为(()，+oo),/(幻的导数r(x)=l+lnx.令r(x)>0,解得

x>-：令/'(X)<0,解得0<X<L从而/*)在(()2］单调递减，在+8］单调递

eeIejleJ

增.所以，当x时'/*)取得最小值一1.

ee

(I【)解法一：令g(x)=/(x)-(依-1),则g'(x)=/'(x)-4=1-a+lnx,

①若当x〉l时，g,(x)=l-«+lnx>l-6/>0,

故g(外在(1,+8)上为增函数，所以,XN1时，g(x)Ng(l)=l-〃N0,即〃/)之火一1.

②若。>1,方程g'(x)=0的根为％=e"T,此时，若xw(1,/),则g'(x)<0,故g(x)

在该区间为减函数.所以大£(1,%)时，g(x)<g⑴=1一。<0,即/。)<奴一1,与题设

/(幻之,a-1相冲突.综上，满意条件的〃的取值范围是(―川.

解法二:依题意，得〃幻2方-1在［1,+8)上恒成立，即K等式。Wlnx+'对于工£［1,+8)

X

I11\(

恒成立.令g(x)=lnx+—,则g<x)=-----7=-1—.当x>l时，因为

XXx~x\X)

/(幻=斗」］>0,

故g(x)是(1，+8)上的增函数，所以以幻的最小值是g(l)=l,所以4的取值范围是

(-8,1］.

［广东省海珠区2009届高三综合测试二理科数学第21题］(本小题满分14分)

已知/(x)=x\nx,g(x)=x3+ax2-x+2

(I)求函数/⑴的单调区间；

(II)求函数/⑴在，/+2K>0)上的最小值;

(HI)对一切的x£(O,”),2/(x)Wg(6+2恒成立，求实数〃的取值范围.

(I)/(x)=lnx+l,令/'(x)<0,解得0<xJ,

e

”r购单调递减区间是(()［)；……2分

4/(x)>0,解得X〉L

e

单调递减区间是(一位)……4分

(II)(i)0〈tvt+2<Lt无解；...5分

e

(ii)0<t<i<t+2,即0<t<，时，/U)min=/(-)=--;……7分

(iii)-<r<r+2,即d二时，/(x)在［y+2］单调递增，

ee

/Wmin=/(0=t,nt……9分

10<r<-

7，/……I。分

tint摩一

e

(HI)由题意:2xlnxW3x2+2ax-1+2xG(0,+co)上恒成立

即2xInx<3x2+2ax+1

可得aNlnx—-,……11分(分别常数)

22x

设h(x)=Inx——----

2

则〃(犬)」-3+」(工_l*3x+1)

12分

2人2

,/、1

令人(工)=0,得x=1,工=一4(舍)

当0<xv1时,〃(x)>0;当x>1时，h(x)<0

当为=1时,Mx)取得最大值，A(x)max=-2……13分

/.ciN—2.

己知函数/(%)=加工*(*)=@(々>0),设尸0)=f(x)+g(x).(I)求函数F(x)的单

x

调区间；

(II)若以函数y=F(x)(xG(0,31)图像上随意一点尸1%,为)为切点的切线的斜率攵

恒成立，求实数。的最小值；

解析：(I)F(x)=/(A)+^(X)=lnx+—(x>0),

X

F*(x)=----g=xJ'(x>0);a>0,由尸'(1)>()=%£(。,+00),F(J)在

XJCX

(4+8)上单调递增。由尸(x)<()=x£(0,a)，:.F(x)在(0,4)上单调递减。,F(x)

的单调递减区间为(0,4),单调递增区间为(。,+8)。

,

(II)F'(A:)=^^(()<X<3),A：=F(XO)=^4^<-(O<XO<3)恒成立

x不)2

<=>a>i--x^+题)(分别常数)

I2/max

当/=1时，一gx：+工0取得最大值;。工4'〃min

设函数〃幻=2丁+3/+3桁+&、在X=1刚好X=2取得极值.(【)求4、〃的值；(II)

若对于随意的[0,3],都有/。)</成立，求c的取值范围.

解3)/(乃=6，+6»+%，因为函数/㈤在彳=1及五=2取得极值，则有尸(1)=0,八2)=0.即

6+6〃+劭=0,._一，

<解侍z以=-3,6=4.

24+12。+劭=0.

(II)由(I)可知，/(X)=2X3-9X2+12X+&7,fXx)=6?-18x+12=6(x-l)(x-2).

当xe(0,l)时，/V)>0；当xw(l,2)时，/r(x)<0；当五e(2,3)时，尸(x)>0.所以，当x=l时,

/(x)取得极大值/(1)=5+在，又/(0)=在，/(3)=9+笈.

则当x«O,3]时，/5)的最大值为/(3)=9+8c.因为对于随意的X£[O,3],有/3)<。2

恒成立，所以9+8c<c2,解得。<一1或。>9,因此。的取值范围为

(-co,-1)J(9,+8).

18.(2009全国卷【理)本小题满分12分。设函数/(x)=V+3版2+3cx在两个极值点

内、x2,且王£[-1,0],々£口,2].(I)求氏。满意的约束条件，并在下面的坐标平面内,

画出满意这些条件的点(仇c)的区域；⑴)证明：—10工/(々)工一3

分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的实

力。大部分考生有思路并能够得分。/(/)=3丁+6历:+3。由题意知

z

方程/(x)=0有两个根xPx2且玉e[-L0],x2e[l,2].则有

/'(一1)2(),r(0)<0,/(!)<(),/'(2)之()故有

(2b-c-l<0右图中阴影部分即是满意这些条件的点

,c~°(he)的区域。

2b+c+l<0

4Z>+c+4>0

(II)这一问考生不易得分，有肯定的区分度。主要缘由是含字母较多，不易找到突破口。

此题主要利用消元的手段，消去目标/（&）=匕3+3法22+3用中的方，（假如消C会较

繁琐）再利用々的范隹，并借助（D中的约束条件得C£[-2,0]进而求解，有较强的技

巧性。

,2

解析由题意有/（X2）=3X2+6/?X2+3C=0.①又

3

/（.r,）=.r2+3bx+3c6…②（消元）

I3r

消去〃可得/（x2）=--W+—々.又,.,X2G[1,2],且ce[-2,0]

•4--10<f（x2）<

21.[浙江省富阳新中2008（上）高三期中考试数学（理科）试卷第22题]（本小题满分15

分）

设函数/*）=/+/nQ+1）,其中〃。0；

（I）若b=—12,求/⑶在口,3]的最小值;

（II）假如/（工）在定义域内既有极大值又有微小值，求实数〃的取值范围；

（III）是否存在最小的正整数N,使得当时，不等式1。变4>2?恒成

nn

立.

21.[浙江省富阳新中2（）。8（上）高三期中考试数学（理科）试卷第22题]

解：（I）由题意知，FG）的定义域为（-1,+00）,

人=一12时，由r（幻二2〜3-二2厂+212=0,得x=2（1=一3舍去），

x+1x+\

当X£[l,2）时，/W<0,当天£（2,3]时-，r*）>0,

所以当x£[l,2）时，/（幻单调递减：当工£（2,3]时，f（x）单调递增，

所以/Q）min=/（2）=4_121n3..........................................5分

（II）由题意f\x）=2x+—=2r+2x+b=（）在（—i,+8）有两个不等实根，

x+]X+1

即2/+2x+〃=（）在（-l,+a>）有两个不等实根,

、[A=4—8Z?>01

设8(1)=21+2工+/?,则《，解之得0<b<一；.......10分

U(-D>02

(III)当b=-l时，函数/(%)=/-in(r+i),

32

令函数=_f(x)=x-x+ln(x+1)

...\c'c13『+(戈—1)2

则h(x)=3x~-2x+——=----------———,

x+Lx+1

.,.当xw[0,+x))时，〃(工)>0(换元，令，=x)

n

所以函数/i(x)在[(),+00)上单调递增，又/?(())=0,XG(0,4-00)时,恒有/l(x)>/7(0)=0

即V/+in*+1)恒成立.取X=L£(o,+oo),则有ln(L+1)>乙-4恒成立.

nnn~n

明显,存在最小的正整数

使得当时，不等式心(工+1)>」？--!?恒成立.........15分

nn~n

(天津文21)

设函数“X)=f*—。)2(xeR),其中4£R.

(I)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(2,7(2))处的切线方程；

(II)当。工0时，求函数/*)的极大值和微小值；

(III)当〃>3时，证明存在A4-1,0],使得不等式cosx)》/伏2—cc/x)对

随意的X£R恒成立.

本小题主要考查运用导数探讨函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不

等式等基础学问，考查综合分析和解决问题的实力及分类探讨的思想方法.满分

14分.

(【)解：当。=1时，/(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-X,得/(2)=-2,且

f\x)=-3x2+4x-l,f(2)=-5.

所以，曲线)，=-1。-1)2在点(2,-2)处的切线方程是)，+2=-5。-2),整理得

5x+y-8=0.

(II)解：/(x)=-x(x-a)2=-x34-lax2-a2x

f'M=-3x2+4av-a2=-(3JV-Q)(工-a).

令r(x)=O,解得x或x=a.

由于awO,以下分两种状况探讨.

(1)若。＞0,当x改变时，/'(x)的正负如下表:

XTa3qa(a,+°0)

f(x)—0+0—

因此，函数/*)在x=£处取得微小值/(三)，且

4

3；

Jb—J=---2-7-a

函数/(外在x=〃处取得极大值/(a),且

(2)若。＜0,当x改变时，/'3)的正负如下表:

(a]a

X(一8,〃)aCb—

I3,13

f(x)—0+0—

因此，函数/*)在工=。处取得微小值八幻，且

/(«)=0；

/、

函数f(x)在X=m处取得极大值f-,且

f(a\43

/U—J=---2-7-ci.

(III)证明：由a>3,得N>1,当Z时,

3

攵一cosxWl,k2-cos21.

由(II)知，/(x)在(一8,1］上是减函数，要使/(&-COSX)2/(k2-cos2%),XGR

只要k-cosxW代-cos2x(xwR)

即

cos2x—cosxk2—k(MGR)①

iSg(x)=cos2x-cosx=^cosx-^一;，则函数g(x)在R上的最大值为2.

要使①式恒成立，必需公一女22,即Z22或ZW—1.

所以，在区间［-1叫上存在Z=-1,使得/(A-cosx)2/(公-coYx)对随意的

x«=R恒成立.

求取值范围

Q

(2009江西卷文)设函数/(幻=x3--x2+6x-a.(I)对于随意实数x,f'(x)恒

成立，求机的最大值；(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求。的取值范围.

解析⑴/(工)=3X2—9x+6=3(x-l)(x-2),因为X£(-8,+OO),/(X)2M,即

3

3/-9工+(6-〃?)20恒成立，所以△=81-1