2024年高考数学立体几何专项训练题库

2024年高考数学立体几何专项训练题库引言：立体几何的高考定位与复习策略立体几何作为高考数学的重要组成部分，不仅考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力，也检验其运用数学知识解决实际问题的能力。在高考中，立体几何通常占据相当的分值，题型稳定且具有一定的区分度。对于2024届考生而言，系统梳理立体几何知识体系，强化各类题型的解题技巧，是提升数学成绩的关键一环。本专项训练题库旨在通过典型例题的剖析与针对性练习，帮助考生巩固基础、突破难点、掌握方法。在复习过程中，建议同学们首先回归教材，夯实空间几何体的结构特征、三视图、表面积与体积计算等基础知识点；其次，要深刻理解并熟练运用空间点、线、面的位置关系的判定定理与性质定理，这是解决证明题的核心；再者，要注重空间向量在立体几何中的应用，特别是在求空间角与距离方面，向量方法往往能起到化繁为简的效果。同时，培养良好的作图习惯，能够准确画出空间图形并进行必要的辅助线添加，也是成功解题的前提。一、空间几何体的结构特征与三视图核心考点：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；简单组合体的结构特征；三视图的画法与识别；由三视图还原直观图。例题1：某几何体的三视图如图所示（单位：略），则该几何体的体积是（）（A）...（B）...（C）...（D）...（*此处因格式限制，略去三视图图形。实际出题时需配上标准三视图*）解析：由三视图可知，该几何体为一个...（此处描述几何体的构成，例如：底面为直角三角形的直三棱柱截去一个小三棱锥后剩余的部分）。我们可以通过“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还原出原几何体的直观图。首先，确定...（说明如何根据三视图的尺寸确定几何体各部分的棱长或半径等关键数据）。然后，计算其体积。若为组合体，则可采用“分割法”或“补形法”。例如，原几何体体积=直三棱柱体积-小三棱锥体积。具体计算过程如下：...（列出体积公式及代入数据的步骤）。故答案为...（选择正确选项）。例题2：下列说法正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D.以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱解析：本题考查空间几何体的基本定义。A选项错误，忽略了“其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一关键条件，反例如两个底面平行但侧面四边形不满足对边平行的几何体。B选项错误，忽略了“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，反例如两个共底面的棱锥组成的几何体。C选项错误，必须用“平行于棱锥底面”的平面去截，否则截得的几何体不是棱台。D选项正确，符合圆柱的定义。故答案为D。解题策略：1.熟悉各类基本几何体的定义和结构特征，这是解决此类问题的基础。2.三视图问题，关键在于“识图”与“还原”。要牢记三视图与直观图之间的对应关系，特别是“宽相等”在侧视图和俯视图中的体现。3.对于复杂的三视图，可先确定主体几何体，再分析是否有切割、挖空等情况。二、空间几何体的表面积与体积核心考点：柱、锥、台、球的表面积公式；柱、锥、台、球的体积公式；简单组合体的表面积与体积计算；利用体积法求点到面的距离。例题3：已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，求该正四棱锥的表面积和体积。解析：正四棱锥的表面积由底面积和四个侧面面积组成。底面积：S底=a²。侧面为四个全等的等腰三角形，斜高h'是关键。在侧面等腰三角形中，斜高、侧棱长的一半（或底面边长的一半）以及棱锥的高可构成直角三角形。首先，求棱锥的高h。连接顶点与底面中心（正方形对角线交点），此即为高h。底面正方形对角线长为a√2，所以底面中心到顶点的距离（即高h所在直角三角形的一条直角边）为(a√2)/2=a/√2。在由高h、侧棱长b、底面中心到顶点的距离a/√2构成的直角三角形中，由勾股定理得：h²+(a/√2)²=b²，解得h=√(b²-a²/2)。然后求斜高h'。在侧面等腰三角形中，斜高h'、底面边长的一半a/2、以及棱锥的高h并不直接构成直角三角形，而是斜高h'、底面边长的一半a/2、和侧面三角形的高（即斜高本身）？不，应是侧面三角形的高就是斜高h'。侧面三角形的腰长为侧棱长b，底边为a。所以，在以斜高h'、侧棱长b、底面边长一半a/2构成的直角三角形中（侧面的高、侧棱、底面边的一半）：h'²+(a/2)²=b²，解得h'=√(b²-a²/4)。故一个侧面的面积为(1/2)*a*h'=(1/2)*a*√(b²-a²/4)。所以，表面积S表=S底+4*S侧=a²+4*(1/2)*a*√(b²-a²/4)=a²+2a√(b²-a²/4)。体积V=(1/3)*S底*h=(1/3)*a²*√(b²-a²/2)。解题策略：1.熟记各类基本几何体的表面积和体积公式，注意区分侧面积与表面积。2.对于组合体，要分析其构成，采用“分解求和”或“整体求差”的思想。3.涉及“动态”或“最值”问题时，注意结合函数思想或不等式知识求解。4.体积法是求点到平面距离的重要方法：d=(3V)/S，其中V是已知几何体的体积，S是所求距离对应的底面面积。三、空间点、线、面的位置关系判断与证明核心考点：平面的基本性质（三个公理及其推论）；空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（平行、相交、异面）；线线平行、线面平行、面面平行的判定定理与性质定理；线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理。例题4：如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AB、BC的中点。求证：（1）EF//平面A₁B₁C₁D₁；（2）平面A₁DC₁⊥平面BB₁D₁D。（*此处因格式限制，略去正方体图形。实际出题时需配上标准直观图*）证明：（1）要证EF//平面A₁B₁C₁D₁，根据线面平行的判定定理，只需证明EF平行于平面A₁B₁C₁D₁内的一条直线。在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、BC的中点，所以EF是△ABC的中位线。因此，EF//AC。又因为AC//A₁C₁（正方体中，面对角线平行），所以EF//A₁C₁。由于A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，EF⊄平面A₁B₁C₁D₁，所以EF//平面A₁B₁C₁D₁。（证毕）（2）要证平面A₁DC₁⊥平面BB₁D₁D，根据面面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面。在正方体中，A₁B₁C₁D₁是正方形，所以A₁C₁⊥B₁D₁（正方形对角线互相垂直）。又因为BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，所以BB₁⊥A₁C₁。因为B₁D₁∩BB₁=B₁，且B₁D₁、BB₁⊂平面BB₁D₁D，所以A₁C₁⊥平面BB₁D₁D。又因为A₁C₁⊂平面A₁DC₁，所以平面A₁DC₁⊥平面BB₁D₁D。（证毕）解题策略：1.证明平行关系：*线线平行：利用平行公理（传递性）、中位线定理、平行四边形性质、线面平行性质、面面平行性质等。*线面平行：判定定理（线线平行推线面平行）；面面平行性质（面面平行推线面平行）。*面面平行：判定定理（一个平面内两条相交直线平行于另一个平面）；垂直于同一直线的两平面平行；平行于同一平面的两平面平行。2.证明垂直关系：*线线垂直：利用直角三角形、等腰三角形三线合一、线面垂直性质（线面垂直则线线垂直）。*线面垂直：判定定理（一条直线垂直于平面内两条相交直线）；面面垂直性质（在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面）；平行线垂直平面的传递性。*面面垂直：判定定理（一个平面经过另一个平面的一条垂线）。3.辅助线（面）作法：常见的有取中点连线、作平行线、作垂线等，目的是将空间问题转化为平面问题，或构造定理所需的条件。4.证明过程要严谨，定理条件要写全，逻辑清晰。四、空间角与距离的计算核心考点：异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角；点到平面的距离；异面直线间的距离（理科要求，文科可能不做要求）。例题5：在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求：（1）直线A₁B与直线AD₁所成角的大小；（2）直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角的大小；（3）平面A₁BD与平面C₁BD所成二面角的余弦值。解析：本题可采用几何法或空间向量法求解。向量法思路相对固定，易于掌握。（向量法）：以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz。则各点坐标为：D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，A₁(a,0,a)，B₁(a,a,a)，C₁(0,a,a)，D₁(0,0,a)。（1）求异面直线A₁B与AD₁所成角：向量A₁B=B-A₁=(a,a,0)-(a,0,a)=(0,a,-a)。向量AD₁=D₁-A=(0,0,a)-(a,0,0)=(-a,0,a)。设异面直线A₁B与AD₁所成角为θ（θ∈(0°,90°]），则cosθ=|A₁B·AD₁|/(|A₁B||AD₁|)A₁B·AD₁=0*(-a)+a*0+(-a)*a=-a²。A₁BAD₁所以cosθ=|-a²|/(a√2*a√2)=a²/(2a²)=1/2。故θ=60°。（2）求直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角：平面BCC₁B₁的一个法向量可以取向量BA=A-B=(a,0,0)-(a,a,0)=(0,-a,0)，因为BA垂直于平面BCC₁B₁（BA垂直于BC和BB₁）。向量A₁B=(0,a,-a)（同（1））。设直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角为φ（φ∈[0°,90°]），则sinφ=|A₁B·n|/(|A₁B||n|)，其中n为平面法向量。A₁B·n=(0,a,-a)·(0,-a,0)=0*0+a*(-a)+(-a)*0=-a²。n所以sinφ=|-a²|/(a√2*a)=a²/(a²√2)=1/√2=√2/2。故φ=45°。（3）求平面A₁BD与平面C₁BD所成二面角的余弦值：先求两个平面的法向量。平面A₁BD：点A₁(a,0,a)，B(a,a,0)，D(0,0,0)。向量DB=B-D=(a,a,0)，向量DA₁=A₁-D=(a,0,a)。设平面A₁BD的法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁)。则n₁·DB=0，n₁·DA₁=0。即：ax₁+ay₁=0-->x₁+y₁=0，ax₁+az₁=0-->x₁+z₁=0。令x₁=1，则y₁=-1，z₁=-1。所以n₁=(1,-1,-1)。平面C₁BD：点C₁(0,a,a)，B(a,a,0)，D(0,0,0)。向量DB=(a,a,0)（同上），向量DC₁=C₁-D=(0,a,a)。设平面C₁BD的法向量为n₂=(x₂,y₂,z₂)。则n₂·DB=0，n₂·DC₁=0。即：ax₂+ay₂=0-->x₂+y₂=0，0x₂+ay₂+az₂=0-->y₂+z₂=0。令x₂=1，则y₂=-1，z₂=1。所以n₂=