中考数学函数应用典型题汇编

中考数学函数应用典型题汇编函数作为描述变量之间依存关系的数学模型，其应用广泛且灵活，是中考数学考查学生分析问题、解决问题能力的重要载体。掌握函数应用，关键在于理解题意，将实际问题抽象为数学问题，建立函数模型，并运用函数的性质求解。本汇编精选中考中函数应用的典型题型，涵盖一次函数、反比例函数及二次函数的核心应用场景，旨在帮助同学们梳理思路，提升解题能力。一、一次函数的应用一次函数因其线性特性，在实际问题中常用于刻画匀速变化过程、方案选择、最值比较等场景。解决此类问题的关键是找到两个变量之间的线性关系，确定函数解析式，进而根据函数性质或实际意义求解。（一）行程与工程问题典型题1：甲、乙两地相距若干千米，一辆货车从甲地匀速驶向乙地，到达乙地后停止。另一辆轿车从乙地匀速驶向甲地，到达甲地后停止。两车同时出发，设货车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，y与x的函数关系如图所示。（1）求甲、乙两地之间的距离。（2）求轿车的速度。（3）求两车相遇后，y与x之间的函数关系式。分析：这类问题的图象往往直观反映了行程中的关键节点，如出发点、相遇点、终点等。首先要明确横纵坐标的含义（x：时间，y：两车距离）。图象起点（0，初始距离）即为甲乙两地距离。图象下降阶段表示两车相向而行直至相遇，相遇时y=0。之后图象上升，需判断哪辆车先到达终点，从而确定y的变化趋势及后续函数关系。解答：（1）由图象可知，当x=0时，y的值即为甲、乙两地之间的距离，所以两地距离为[具体数值需结合图象]千米。（2）设货车速度为v₁千米/小时，轿车速度为v₂千米/小时。根据图象中相遇的时间点（设为t₁），可得(v₁+v₂)*t₁=两地距离。再结合货车或轿车单独行驶全程的时间（图象中y达到最大并保持不变的时间点t₂或t₃），可列出方程求出v₂。（3）相遇后，两车继续行驶，y表示两车距离。需分情况讨论：若轿车先到达甲地，则轿车停止后，货车继续行驶，y的变化仅由货车速度决定；反之亦然。根据图象转折点确定关键时间，进而求出不同阶段的函数解析式。点评：行程问题的核心是速度、时间、路程的关系。结合函数图象时，要抓住图象的“拐点”所代表的实际意义，明确每个时间段内物体的运动状态。（二）经济与决策问题典型题2：某商店销售一种进价为每件a元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应值如下表：销售单价x（元）...bc...:--------------:--:--:--:--销售量y（件）...de...（1）求y与x之间的函数关系式。（2）若商店每天想获得f元的利润，销售单价应定为多少元？（3）为了回馈顾客，该商店决定在每天获得不低于g元利润的前提下，尽可能让利于顾客，销售单价应定为多少元？分析：经济问题中，常用到的等量关系有：利润=（售价-进价）×销售量。题目已告知y与x是一次函数关系，故可设y=kx+m，利用表格中的两组数据求出k和m。第（2）问通过利润公式列出方程求解。第（3）问则是在利润不低于g元的条件下，求使售价x最低（让利于顾客）的值，需结合函数性质或不等式求解。解答：（1）设y=kx+m，将（b，d），（c，e）代入，解方程组可得k和m的值，从而得到y与x的函数关系式。（2）根据利润=（x-a）y=f，将（1）中所求y代入，得到关于x的一元二次方程，解方程并检验，舍去不符合实际意义的解。（3）由题意得（x-a）y≥g，将y代入后得到关于x的不等式。可先求出利润等于g元时的售价x₁和x₂（x₁<x₂），结合二次函数（利润关于x的函数）的开口方向，确定利润不低于g元时x的取值范围。再根据“尽可能让利于顾客”，选择该范围内的最低售价。点评：解决经济决策类问题，要明确各量之间的关系，尤其是利润的构成。对于最值或取值范围问题，要结合函数的增减性及自变量的实际取值范围综合考虑。二、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中常用来表示两个成反比例关系的变量，如路程一定时，速度与时间的关系；压力一定时，压强与受力面积的关系等。其核心是理解“乘积为定值”的含义。（一）基本量的反比例关系典型题3：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一条河，他们想知道河的宽度。小组选了河对岸岸边的一棵树A，在河这边沿岸选取了点B和点C，使得B、C、D在同一直线上，且BC=h米。测得∠ACB=α度，∠ADB=β度。已知他们使用的测角仪高度为i米（即观测点到地面的距离）。（1）请你根据以上数据，用含h、α、β、i的式子表示河宽AE（E为树A在地面上的垂足，假设AE垂直于BC所在直线）。（2）若h=j米，α=k度，β=l度，i=m米，求河宽AE（精确到n米）。（注：此题为几何测量，若引入反比例函数，可假设在一定范围内，测量误差与测量距离成反比例关系，此处为示例，原题可能直接为几何计算，反比例应用需另寻典型）（调整后反比例典型题）典型题3：某汽车油箱的容积为p升，汽车每行驶q千米耗油1升。设汽车行驶的路程为x千米，油箱剩余油量为y升。（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。（2）若该汽车从A地出发，前往相距r千米的B地，在途中不加油的情况下，油箱中的油是否够用？请说明理由。（3）若汽车油箱中的剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）满足反比例函数关系y=s/t（s为常数），当t=u小时时，y=v升。求当t=w小时时，油箱中的剩余油量。分析：（1）此问为一次函数关系，y=p-(x/q)。（3）此问为反比例函数应用。已知一对t与y的值，可求出比例系数s，进而得到反比例函数解析式，再代入t=w求解。解答：（3）因为y与t成反比例，设y=s/t。当t=u时，y=v，所以v=s/u，解得s=u*v。因此，反比例函数解析式为y=(u*v)/t。当t=w小时时，y=(u*v)/w升。点评：反比例函数应用的关键是找到两个变量的乘积为常数k。在审题时要注意识别“成反比例”或隐含反比例关系的表述。三、二次函数的应用二次函数因其图象为抛物线，具有最值性质，故在实际问题中常用于解决“最大利润”、“最大面积”、“最优化方案”等问题。建立二次函数模型后，通过配方或利用顶点公式求最值是常用方法。（一）图形面积的最值问题典型题4：如图，在一面靠墙（墙足够长）的空地上，用长为t米的篱笆围成一个矩形花园ABCD，其中点A、D在墙上，点B、C在篱笆上。（1）设AB=x米，花园的面积为S平方米，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（2）当x为何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形面积=长×宽。AB=x米，由于一面靠墙，篱笆只围了三边（假设BC和CD、DA，需根据图形确定）。若AB和CD为宽，BC为长，则BC=t-2x。因此面积S=x(t-2x)。自变量x需满足t-2x>0，即x<t/2，且x>0。（2）S是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x=t/4，在自变量取值范围内，顶点处取得最大值。解答：（1）S=x(t-2x)=-2x²+tx。自变量x的取值范围是0<x<t/2。（2）S=-2x²+tx=-2(x²-(t/2)x)=-2(x-t/4)²+t²/8。因为a=-2<0，所以抛物线开口向下，当x=t/4时，S取得最大值，最大值为t²/8平方米。点评：面积最值问题是二次函数应用的经典题型。关键在于根据图形特点，用含一个变量的代数式表示出面积，从而建立二次函数模型。注意自变量的取值范围要符合实际意义，最值不一定在顶点处取得，需结合对称轴与取值范围判断。（二）利润与销售的最值问题典型题5：某网店销售一种时令水果，每盒进价为v元，售价为w元时，每天可售出x盒。为了扩大销售，增加盈利，该网店决定适当降价。经市场调查发现，如果每盒水果每降价1元，那么每天可多售出y盒。设每盒水果降价m元。（1）用含m的代数式表示：每盒水果的售价为______元，每天的销售量为______盒。（2）若该网店每天销售这种水果的盈利为z元，求z与m之间的函数关系式。（3）当每盒水果降价多少元时，每天的盈利最大？最大盈利是多少元？分析：（1）售价=原售价-降价金额，即(w-m)元；销售量=原销售量+因降价而增加的销售量，即(x+y*m)盒。（2）盈利z=(售价-进价)×销售量=(w-m-v)(x+y*m)。展开后即可得到z关于m的二次函数关系式。（3）将（2）中所得二次函数配方成顶点式，或利用顶点坐标公式，结合m的实际取值范围（m≥0，且w-m-v>0），求出盈利的最大值及对应的m值。解答：（1）售价：(w-m)；销售量：(x+y*m)。（2）z=(w-m-v)(x+y*m)=((w-v)-m)(x+y*m)=(w-v)x+(w-v)y*m-x*m-y*m²=-y*m²+[(w-v)y-x]m+(w-v)x。（3）z=-y*m²+[(w-v)y-x]m+(w-v)x，其中a=-y<0，抛物线开口向下，函数有最大值。对称轴为m=-b/(2a)=-[(w-v)y-x]/(2*(-y))=[(w-v)y-x]/(2y)。若对称轴m的值在m≥0且w-m-v>0的范围内，则当m取对称轴值时，z有最大值，将m代入z的表达式即可求出最大盈利。若对称轴m的值不在此范围内，则根据函数的增减性在边界处取得最大值。点评：此类问题与一次函数的经济问题类似，但因销售量随价格变动的幅度更大（通常是“每降/涨a元，销量增/减b件”），导致利润函数成为二次函数。求解时务必注意自变量m的取值范围，确保售价高于进价。总结与备考建议函数应用题型千变万化，但万变不离其宗，核心在于“数学建模”——将实际问题转化为函数问题。同学们在备考时应注意以下几点：1.强化审题能力：仔细阅读题目，圈点关键信息，明确已知量、未知量以及它们之间的关系。特别注意区分“一次”、“反比例”、“二次”等函数特征词。2.熟练掌握函数表达式的求法：无论是通过待定系数法求解析式，还是根据题意直接列出函数关系式，都需要扎实的基本功。3.注重数学思想方法的运用：如方程思想（列方程求解函数解析式中的参数或特定值）